Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи

a) Пусть биссектриса угла пересекает в точке Тогда является так же и высотой треугольника так как он равнобедренный. При этом откуда — точка касания и вписанной окружности.

Пусть Знаем, что как отрезки касательных, откуда — равнобедренный. Раз — биссектриса , то — высота то есть Заметим, что треугольники и подобны, так как — общий. Отсюда

При этом, — биссектриса, то есть А так же по свойству угла между касательной и хордой. Получается,

Итак, — соотвественные при прямых и и секущей откуда

б) Раз — медиана треугольника следовательно,

Так как — биссектриса то, по основному свойству биссектрисы:

Получается, По теореме Пифагора:

Найдём площадь треугольника

Треугольники и имеют общую высоту откуда их площади относятся так же, как и основания и Получается,