Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея

пусть пусть — биссектриса треугольника

Точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к диагонали и биссектрисы угла в выпуклом четырехугольнике Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Действительно, опишем окружность около треугольника обозначим точку пересечения биссектрисы угла с окружностью через Тогда по свойству вписанных углов дуги и будут равны, хорды и тоже будут равны, треугольник будет равнобедренным, и серединный перпендикуляр к диагонали и биссектриса угла будут пересекаться в точке Следовательно,

Поскольку около четырехугольника можно описать окружность, то для его диагоналей верно равенство

Треугольник подобен , и , пусть поэтому

По теореме косинусов для треугольников и с учетом имеем

Для равнобедренного треугольника имеем