Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея, Кэзи
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длина стороны 
четырехугольника 
вписанного в окружность равна 5 . Точка 
делит эту сторону в отношении
, а прямые 
и 
параллельны сторонам 
и 
соответственно. Найти длину стороны 
четырехугольника.
Подсказка 1
Сразу обозначим все углы, вытекающие из параллельности. Как использовать отношение, данное в условии? Какую связь можно заметить между треугольниками на картинке?
Подсказка 2
Треугольники ABM и MCD подобны с коэффициентом 4. О равенстве каких углов теперь можно утверждать? Что хочется сказать о треугольнике BMC? Какое условие мы еще не использовали?
Подсказка 3
Докажем, что треугольник BMC подобен ABM и MCD. Помним, что четырехугольник вписан.
Подсказка 4
Теперь при помощи трех попарно подобных треугольников мы можем найти связь нужной нам BC и известной AD. Было бы удобно найти коэффициент подобия BAM и MBC…Как это сделать?
Подсказка 5
Обозначим стороны треугольника BAM через переменные. Остаётся лишь записать цепочку равенств! В этом нам может помочь данное в условии отношение)
Прямые 
и 
параллельны, поэтому углы 
и 
равны (обозначены на рисунке цифрой 2 ), аналогично равны углы
и 
(обозначены на рисунке цифрой 3). Отсюда следует подобие треугольников 
и 
с коэффициентом подобия 4 и
равенство углов 
и 
(обозначены на рисунке цифрой 1). Заметим, что 
.
Покажем, что треугольник 
подобен треугольникам 
и 
, вершины треугольников перечислены в порядке
соответствия. Углы 
и 
, полученные при пересечении прямой 
параллельными прямыми 
и 
, равны как
внутренние накрест лежащие. Сумма углов 
и 
равна 
, как сумма противоположных углов
вписанного в окружность четырёхугольника. Значит, угол 
и треугольник 
подобен треугольникам 
и
.
Положим 
и 
, тогда 
и 
. Треугольники 
и 
подобны с коэффициентом подобия 
, и
стороны 
и 
треугольника 
соответствуют сторонам 
и 
треугольника 
, поэтому 
. Значит, 
и, треугольники 
и 
подобны с коэффициентом подобия 2. Следовательно, сторона 
в два раза длиннее стороны 
, т.е.
длина стороны 
равна 2.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
