Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из точки 
пересечения диагоналей 
и 
вписанного четырёхугольника 
опущены перпендикуляры 
на
его стороны 
соответственно, причём основания перпендикуляров принадлежат соответствующим сторонам. Найдите
площадь четырёхугольника 
если известно, что 
а расстояние от точки 
до прямой 
равно
Источники:
Подсказка 1
После построения перпендикуляров из точки E, на картинке образовалось много четырехугольников и прямых углов. Быть может, можно заметить что-то полезное благодаря этому?
Подсказка 2
Что можно сказать, например, о четырехугольнике ENAK?
Подсказка 3
Он вписанный! Смотрите-ка, у нас появилось 4 вписанных четырехугольника ;) давайте тогда отметим равные углы, вытекающие из этого! А еще надо вспомнить условие на ABCD…
Подсказка 4
ABCD тоже вписанный! Отметив все равные углы, приходим к выводу: углы ∠ENK, ∠BAC, ∠BDC, ∠MNE равны! Что тогда можно сказать о EN?
Подсказка 5
Это биссектриса угла MNK! А какое свойство биссектрисы связано с перпендикулярами?
Подсказка 6
Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла! Тогда воспользуемся этим при вычислении длин перпендикуляров) А что тогда можно сказать о точке E?
Подсказка 7
Точка E — это центр окружности, вписанной в четырехугольник MNKL! А какая у нас есть удобная формула площади для такого четырехугольника?
Подсказка 8
S = p*r, где p — периметр, а r — радиус вписанной окружности!
Поскольку 
четырёхугольник 
вписанный и 
как опирающиеся на одну дугу. Аналогично,
По условию 
— вписанный, поэтому 
Отсюда,
Следовательно, 
— биссектриса угла 
то есть точка 
равноудалена от 
и 
Аналогично, точка 
равноудалена
от всех сторон четырёхугольника 
то есть является центром вписанной в него окружности.
Получается, 
— описанный, а суммы длин противоположных сторон описанного четырёхуголька равны. Значит, периметр
равен 
Радиус же описанной окружности равен расстоянию от точки 
до прямой 
которое по условию
равно 
Вспомним формулу площади описанных фигур
где 
— полупериметр, а 
— радиус вписанной окружности.
Итак, тогда площадь 
равна 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
