Четырёхугольники в окружности, счёт отрезков и углов, теорема Птолемея
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В угол с вершиной 
вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках 
и 
. Прямая, проходящая через 
, пересекает
окружность в точках 
и 
. Хорда 
параллельна прямой 
. В каком отношении прямая 
делит хорду 
?
Источники:
Подсказка 1
Для начала давайте поймём, зачем нам нужна параллельность. Она дает равные углы или равные дуги, только и всего. Потому что если смотреть на картинку, то параллельность дальше при построении никакой роли не играет. Что тогда можно сказать про ∠DMC?
Подсказка 2
Этот угол равен полусумме дуг DC и XE, при этом XE равна BD, а значит, что ∠DMC равен половине ∠BOC. Что из этого следует? Что нам дает факт о том, что центральный ∠BOC, который делится на два равных прямой AO равен удвоенному ∠DMC?
Подсказка 3
Это даёт нам равенство ∠AMC и ∠AOC, а значит, A, O, M, C лежат на одной окружности. Но ведь тогда ∠AMO = ∠ACO = 90°. Что это нам дает? Какой ответ на вопрос из условия?
Первое решение.
Пусть 
— центр окружности, 
— точка пересечения 
и 
. Докажем, что 
, и значит, 
.
Прежде всего, угол 
равен полусумме дуг 
и 
. Так как дуги между параллельными хордами 
и 
равны, то
, поэтому
из равенства прямоугольных треугольников 
и 
Из равенства углов 
и 
следует, что точки 
лежат на одной окружности. Поскольку радиус 
перпендикулярен касательной 
, диаметр этой окружности совпадает с отрезком 
. Значит, 
, то есть
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Отметим, что 
, так как соответствующие дуги заключены между параллельными хордами. Кроме того, из равенства
углов 
и 
следует подобие треугольников 
и 
, и значит, равенство
Аналогично получаем, что
то есть 
По теореме Птолемея 
Пусть теперь 
пересекает 
в точке 
. Тогда треугольники 
и 
подобны, следовательно, 
.
Отсюда и из предыдущего равенства получаем, что 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
