Прямоугольные треугольники
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность вписан четырёхугольник 
, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке 
. Прямая,
проходящая через точку 
и перпендикулярная к 
, пересекает сторону 
в точке 
.
а) Докажите, что 
— медиана треугольника 
;
б) Найдите 
, если 
.
Подсказка 1!
1) У нас в задаче есть прямоугольные треугольники(много), а еще вписаности! На что это намекает обычно, какие мы можем извлечь из этого полезные факты?
Подсказка 2!
2) Да, на такой картинке удобно считать углы! Давайте этим и воспользуемся для доказательства пункта а, и попробуем доказать, что EM - медиана DEA (который, кстати, является прямоугольным треугольником, что-то мы знаем про его медиану..!)
Подсказка 3!
3) Итак, в пункте б нам нужно найти медиану прямоугольного треугольника, то есть половину его гипотенузы! Мы знаем его угол, а значит, нам достаточно посчитать любой из катетов!
Подсказка 4!
4) Осталось аккуратно, пользуясь удачно большим количеством прямоугольных треугольников, посчитать EM
а) Поскольку 
, то 
. Поскольку 
(
) является высотой в прямоугольном
треугольнике 
, то 
, как вертикальные, откуда 
будет медианой в прямоугольном
треугольнике.
Замечание. Указанный в задаче факт известен как "теорема Брахмагупты". Но так как в пункте (а) задача явно заключается в том, чтобы доказать напрямую это утверждение, не следует просто так ссылаться на эту теорему!
Можно также заметить, что прямые 
и 
антипараллельны относительно угла 
, а высота 
прямоугольного
треугольника 
, как известно, является также симедианой в этом треугольнике, соответственно делит антипараллельный отрезку 
отрезок 
пополам.
б) Заметим, что
В силу перпендикулярности диагоналей четырёхугольника отрезок 
можем, во-первых, найти по теореме Пифагора из треугольника
А во-вторых, из треугольника 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
