Тема Треугольники с фиксированными углами

Прямоугольные треугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники с фиксированными углами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80697

Точки $E$ и $K$ — середины сторон $AD$ и $DC$ параллелограмма $ABCD.$ Из его вершины $B$ на прямую $EK$ опустили перпендикуляр $BH.$ На стороне $BC$ выбрали точку $F$ так, что углы $FHK$ и $KED$ равны. Найдите $BF :F C.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интересно, что нам дает условие про равные углы? На картинке они расположены неудобно. Вот бы придумать доп. построение, чтобы равные углы оказались в одном треугольнике(и тогда он равнобедренный)/равных треугольниках.

Подсказка 2

Давайте продлим KE до пересечения с BC! Тогда возникнет равнобедренный треугольник HFG (где G - точка пересечения BC и EK). А еще возникают равные треугольники EDK и KCG! С этим уже приятнее работать. Подумайте, как теперь применить условие, что BHK - прямой угол (посчитайте уголки на чертеже)

Подсказка 3

Можно доказать, что BHF тоже равнобедренный! Какая приятная картинка - так много равных сторон. Давайте обозначать их за переменные. Например, ED = a, FC = b (или как-то по-другому на ваше усмотрение). Осталось выразить BF:FC, используя факты из прошлых подсказок

Показать ответ и решение

$PIC$

Продлим $HK$ за точку $K,$ пересечем с прямой $BC,$ получим точку $G.∠BGK = ∠KED = α$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BG$ и $AD$ и секущей $EG.∠GBH = 90∘− α,∠BHF = 90∘− α,$ а значит, треугольник $BFH$ равнобедренный и $BF = FH.$ Аналогично треугольник $HF G$ равнобедренный с углом при основании $α,$ то есть $HF = FG.$ Отсюда $BF = FH = FG.$ Рассмотрим треугольники $CKG$ и $DKE.$ Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам $(CK = DK,∠CKG = ∠DKE,∠KCG = ∠KDE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Значит, $ED =CG = a,$ пусть $FC =b,BF =a +b,$ тогда $BC =AD = 2a= (a +b)+ b,$ отсюда $2b= a,b= 12a.$

BF :FC = (a +b):b= (a + 1a): 1a= 3: 1= 3:1 2 2 2 2

Ответ:

$3 :1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#84745

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH.$ Пусть $I,I 1$ и $I 2$ центры вписанных окружностей треугольников $ABC,ACH$ и $BCH$ соответственно. Докажите, что $CI$ перпендикулярно $I1I2.$

Показать доказательство

$PIC$

Заметим, что

∠CAI +∠ACI2 = ∠A-+90∘− ∠BCH--= 90∘ 2 2

А значит, $AI ⊥CI2,$ откуда $I1I ⊥ CI2.$ Аналогично $I2I ⊥ CI1,$ откуда следует, что $I$ это ортоцентр треугольника $AI1I2.$ А значит $CI ⊥I1I2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89112

В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC$ равна $1,$ $∠CAB = 30∘.$ Пусть $BH$ — высота этого треугольника, $HK$ — высота треугольнике $AHB.$ Найдите длину $HK.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем разбираться с условием) KH - катет напротив угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике KAH, тогда он равен половине гипотенузы AH! Осталось найти AH. Для этого свойство про 30 градусов возможно придется применить снова

Подсказка 2

Обратим внимание, что треугольник HBC тоже прямоугольный с углом 30 градусов. Как теперь посчитать AH?

Показать ответ и решение

Заметим, что $∠ACB = 90∘ − ∠CAB = 60∘.$ Тогда в прямоугольном треугольнике $△CHB$ угол $∠CBH = 90∘− ∠HCB =30∘.$

$PIC$

В прямоугольном треугольнике катет напротив угла в $30∘$ равен половине гипотенузы. То есть для прямоугольных треугольников $△ACB, △BHC, △AKH,$ выполнено:

BC = 1AC,HC = 1BC,HK = 1 AH 2 2 2

Откуда $HC = 1AC = 1. 4 4$ Тогда

HK = 1AH = 1(AC − CH )= 1⋅ 3 = 3 2 2 2 4 8

Ответ:

$3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89597

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ равен $120∘.$ Точка $M$ — середина стороны $AB.$ Точка $P$ симметрична точке $M$ относительно стороны $BC.$ Отрезки $AP$ и $BC$ пересекаются в точке $Q.$ Прямые $QM$ и $AC$ пересекаются в точке $R.$ Докажите, что $MR = AP.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что хорошего можно сказать про отражение M относительно BC? У нас ведь понятные углы на картинке.

Подсказка 2

Получаем, что треугольник MBP - равносторонний. На картинке есть ещё один отрезок, по длине равный стороне MBP. Хотелось бы полезный вывод из равенств отрезков.

Подсказка 3

Ага, треугольник APB является прямоугольным, ещё и с углами 30, 60. Может у нас где-то ещё есть треугольник с такими углами?

Подсказка 4

Действительно, треугольник AQB равнобедренный, QM - его высота, вот уже угол 90 градусов. Не забываем, что хотим приблизиться к отрезку MR, так что из имеющихся прямоугольных треугольников нас интересует ARM. Осталось посчитать остальные его углы и доказать равенство треугольника с APB.

Показать доказательство

Проведем $MP$ . Заметим, что $∠MBP = 60∘,$ при этом $BM = BP,$ тогда треугольник $MBP$ — правильный. Тогда $MP = BM =MA.$ Следовательно, треугольник $AP B$ — прямоугольный. Мы знаем, что $∘ ∠BAP =30 .$ Тогда треугольник $AQB$ — равнобедренный с основанием $AB.$ Получаем, что $QM$ — высота в этом треугольнике, следовательно, треугольник $ARM$ — прямоугольный с углом $MAR,$ равным $∘ 60 ,$ и $RA =2MA = BA.$ То есть треугольники $RAM$ и $ABP$ равны. Тогда $RM = AP,$ что и требовалось.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97834

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB = 7,$ а гипотенуза $BC = 18.$ Найдите длину биссектрисы $BL.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть L делит сторону AC на отрезки длиной AL= x и CL = y. Попробуйте выразить x через y, используя основное свойство биссектрисы.

Подсказка 2

Получиться, что y = x*18/7. Теперь чему равна сторона AC (через x)?

Подсказка 3.

Верно! AC = 25/7*x. Осталось воспользоваться теоремой Пифагора и решить уравнение на x.

Показать ответ и решение

Пусть $L$ делит сторону $AC$ на отрезки длиной $AL= x$ и $CL = y.$

$PIC$

По свойству биссектрисы $xy = 718.$ Тогда $y = 187 x.$ По теореме Пифагора $72+ x2 =BL2.$ Остается найти $x.$

AC =x + 18x = 25x 7 7

По теореме Пифагора $AC2 + AB2 = 182,$ то есть

252x2+ 49 =182 72

Решаем это уравнение и получаем $x= 7√11. 5$ Итак,

∘ ----2- 42 BL= 49 +x = 5 =8,4

Варианты правильных ответов:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63596

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $AB.$ На катетах $AC$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $∘ ∠PMQ = 90.$ Докажите, что $2 2 2 AP +BQ = PQ .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужное равенство похоже на теорему Пифагора, поэтому попробуем ее применить. У нас есть прямой угол ∠ACB. Как можно перебросить куда-нибудь BQ так, чтобы получился новый прямой угол?

Подсказка 2

Верно! Удвоив MQ за точку M к новой точке T, получим параллелограмм ATBQ. Тогда угол ∠CAT прямой и BQ = AT. Что теперь осталось доказать?

Подсказка 3

Точно! Остается проверить, что PT = PQ. Вспомним, что ∠PMQ тоже прямой. Как тогда доказать нужное равенство?

Показать доказательство

$PIC$

Чтобы доказать это равенство, соберём все отрезки в один прямоугольный треугольник и применим теорему Пифагора.

Удвоим $MQ$ до точки $T$ за точку $M.$ Заметим, что $ATBQ$ является параллелограммом, поскольку его диагонали пересекаются в своих серединах. Отсюда $AT ∥ BC ⊥AC$ и $BQ = AT.$

Остаётся доказать, что $P Q= PT$ (и из треугольника $PAT$ мы получим требуемое). Но действительно, $PM$ является медианой (по построению) и высотой (по условию) треугольника $PTQ,$ откуда он равнобедренный и $PT =PQ.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#100109

В прямоугольном треугольнике $ABC,$ где $∠ABC = 90∘,$ на сторонах $BC$ и $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD = DE.$ Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABE$ лежит на биссектрисе угла $∠BDE.$

Источники: Муницип - 2023, Мос. область, 10.5 (см. tasks.olimpiada.ru)

Показать доказательство

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABE$ и $∠BAC = α:$

$PIC$

Тогда

∠ACB = ∠CED = 90∘ − α

∠BDE =180∘− 2α = 180∘− ∠BOE

Значит, четырёхугольник BOED вписанный. Так что углы $BDO$ и $EDO$ равны, как вписанные, опирающиеся на равные хорды $OB = OE$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31385

Вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ соединили с серединой $M$ стороны $CD$ . Известно, что угол $MAD$ равен $30∘$ . Докажите, что перпендикуляр $BH$ на прямую $AM$ равен одной из сторон параллелограмма.

Показать доказательство

Продлим $AM$ до пересечения с $BC$ в точке $K$ . Тогда $DM = MC,∠ADM = ∠MCK, ∠AMD = ∠CMK$ , а значит, $ΔAMD =ΔKMC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда $AD = CK$ , а ещё $AD = BC$ как противоположные стороны параллелограмма.

$PIC$

Первый способ.

В прямоугольном $ΔBHK$ проведём медиану $CH$ к гипотенузе, тогда $CH =BC = CK$ . В силу параллельности $∘ ∠DAM =∠MKC = 30$ . $ΔCHK$ — равнобедренный, тогда $∘ ∠CHK =30$ , откуда $∘ ∠BCH = 60$ как внешний угол $ΔCHK$ . Заметим, что $ΔBCH$ — равнобедренный с углом $∘ 60$ , а значит, равносторонний, $BH = BC.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ.

В прямоугольном $△BHK$ катет $BH$ напротив угла в $30$ градусов равен половине гипотенузы $BK = 2BC$ , так что равен одной из сторон параллелограмма.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31718

Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ равна $c.$ Через середину $M$ его катета $AC$ провели прямую, которая делит гипотенузу в отношении $1:3,$ считая от вершины $A.$ Найдите отрезок данной прямой, заключённый внутри треугольника.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

М - уже середина катета. Пусть точка, которая делит гипотенузу 1к3 - Е. Давайте попробуем отметить середину гипотенузы и провести среднюю линию между ними!

Подсказка 2

Она разделит AB пополам, а как разделится половина гипотенузы, содержащая точку Е?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точка $E$ на отрезке $AB$ делит его в отношении $1:3.$ Проведём среднюю линию $MN ∥ BC,$ отсюда $△AMN$ прямоугольный и $ME$ — его медиана, то есть $ME = AB ∕4 =c∕4.$

Ответ:

$c∕4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31722

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точки $K$ и $L$ так, что $KL = BC$ и $AK = LB.$ Докажите, что отрезок $KL$ виден из середины $M$ стороны $AC$ под прямым углом.

Замечание. Отрезок $KL$ виден из точки $M$ под углом $KML.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказывать прямоугольность треугольника очень удобно через факт о том, что медиана равна половине гипотенузы - попробуйте найти здесь применение для этого признака.

Подсказка 2

Для этого нужно, конечно, провести медиану MN к предполагаемой гипотенузе (мы пока не доказали, что треугольник прямоугольный, только хотим это доказать). Если отметить все равные отрезки, можно заметить, что у нас еще и средняя линия треугольника таким образом появилась - MN, тоже полезный объект!

Показать доказательство

$PIC$

Заметим, что обозначения $L$ и $K$ симметричны, потому можем считать, что $K$ лежит между $A$ и $L.$ Пусть $N$ — середина $AB,$ но из $AK =LB$ она также будет серединой $LK,$ осталось заметить, что $MN = BC∕2= LK∕2,$ откуда $MN = KN = NL$ и $∠KML$ прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31723

Два отрезка, соединяющие вершину параллелограмма с серединами не содержащих её сторон, перпендикулярны. Найдите отношение диагоналей параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем как-то связать обе диагонали. Для этого заметим, что две середины сторон параллелограмма из условия образуют среднюю линию треугольника из двух сторон и диагонали! А чем в этом треугольнике является вторая диагональ?

Подсказка 2

Медианой! Ведь в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. То есть и нашу среднюю линию эта диагональ будет делить пополам! И какое-то условие мы еще не использовали...

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть эта вершина — $B,$ а $E$ и $F$ — середины $AD$ и $CD,$ а также $T$ — середина $EF.$ Тогда $EF$ — средняя линия $△ACD,$ при этом, раз $BD ∩AC = O$ — середина $AC,$ то $T ∈ BD.$ Из прямоугольного треугольника $BEF$ для его медианы $BT$ имеем, что $3∕4BD = BT = EF ∕2 =AC ∕4⇒ AC = 3BD.$

Ответ:

$3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31724

Угол $C$ треугольника $ABC$ равен $150∘.$ Из середины стороны $AB$ на сторону $BC$ опустили перпендикуляр. Найдите длину этого перпендикуляра, если $AC = 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что угол, дополняющий угол С до 180 это 30. Как мы можем этим воспользоваться? Вспоминаем, что мы знаем про угол в 30 градусов.

Подсказка 2

Про угол в 30 градусов хорошо известно, если он в прямоугольном треугольнике. Давайте и сделаем дополнительное построение для прямоугольного треугольника! Из точки А проведем прямую, параллельную перпендикуляру к ВС из условия.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $M$ — середина $AB$ и $H$ — основание перпендикуляра. Проведём $AT ∥MH, T ∈ BC,$ тогда $∠ACT = 30∘$ и $∠AT C =90∘.$ Следовательно, $AT = 2MH$ и $AT =AC ∕2.$ Итак, $MH = AC∕4= 1∕4.$

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32991

Докажите, что высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу в отношении квадратов катетов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметьте, что из-за прямых и общих углов получилось получилось 3 подобных треугольника. Тогда что можно сделать?

Подсказка 2

Записать отношение сторон! Остаётся их аккуратно скомбинировать, чтобы выделить нужные отрезки

Подсказка 3

Хм. а какой вообще луч делит сторону в отношении квадратов прилежащих сторон? Симедиана! Так можно просто попробовать доказать, что высота в прямоугольном треугольнике является симедианой

Показать доказательство

Пусть $BH$ и $BM$ — высота и медиана треугольника $ABC,$ где $∠ABC = 90∘.$

$PIC$

Первое решение.

Заметим, что

cos∠A = AH-= AB-,cos∠C = CH-= CB- AB AC CB AC

Отсюда

AH- = AH-⋅AC--=-AB⋅AB- CH CH ⋅AC CB ⋅CB

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что

∘ ∠ABH = 90 − ∠A = ∠C = ∠CBM

Отсюда по свойству симедианы $BH$

AH- AB2- CH =BC2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#37840

В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$ , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$ . Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $BC$ , пересекает сторону $AD$ в точке $M$ .

а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $AED$ ;

б) Найдите $EM$ , если $AB = 7,CE = 3,∠ADB = α$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас в задаче есть прямоугольные треугольники(много), а еще вписаности! На что это намекает обычно, какие мы можем извлечь из этого полезные факты?

Подсказка 2!

2) Да, на такой картинке удобно считать углы! Давайте этим и воспользуемся для доказательства пункта а, и попробуем доказать, что EM - медиана DEA (который, кстати, является прямоугольным треугольником, что-то мы знаем про его медиану..!)

Подсказка 3!

3) Итак, в пункте б нам нужно найти медиану прямоугольного треугольника, то есть половину его гипотенузы! Мы знаем его угол, а значит, нам достаточно посчитать любой из катетов!

Подсказка 4!

4) Осталось аккуратно, пользуясь удачно большим количеством прямоугольных треугольников, посчитать EM

Показать ответ и решение

$PIC$

а) Поскольку $∠ADB = ∠ACB$ , то $△ADE ∼△BCE$ . Поскольку $EH$ ( $H = ME ∩ BC$ ) является высотой в прямоугольном треугольнике $△BEC$ , то $∠BCE =∠BEH = ∠MED$ , как вертикальные, откуда $ME$ будет медианой в прямоугольном треугольнике.

Замечание. Указанный в задаче факт известен как "теорема Брахмагупты". Но так как в пункте (а) задача явно заключается в том, чтобы доказать напрямую это утверждение, не следует просто так ссылаться на эту теорему!

Можно также заметить, что прямые $AD$ и $BC$ антипараллельны относительно угла $AED$ , а высота $EH$ прямоугольного треугольника $BEC$ , как известно, является также симедианой в этом треугольнике, соответственно делит антипараллельный отрезку $BC$ отрезок $AD$ пополам.

б) Заметим, что

BE = CE tg α= 3tg α

В силу перпендикулярности диагоналей четырёхугольника отрезок $AE$ можем, во-первых, найти по теореме Пифагора из треугольника $ABE$

AE = ∘49−-9tg2α

А во-вторых, из треугольника $AED$

∘--------- EM = AD-= AE--= -49−-9tg2α- 2 sinα 2sinα

Ответ:

$√49−9tg2α 2sinα$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38692

Найдите величину угла, изображенного на картинке ниже.

$PIC$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Смотря на картинку, сразу хочется достроить чертеж до треугольника) Каким он получится?

Подсказка 2

Равнобедренным, да. Пусть углы треугольника названы как A, B, C, начиная с нужного нам и по часовой стрелке. Попробуем найти угол B (именно его, т.к. AB = BC).

Подсказка 3

Попробуем доказать, что угол B равен 90. Для этого проведем горизонтальную прямую по линиям сетки через B и докажем, что сумма двух новых углов равна 90, тогда у угол B будем равен 90

Подсказка 4

Опустим перпендикуляры из A и C на новую прямую, чтобы на рисунке появились прямоугольные треугольники. Какие они между собой? И как можно найти те углы, про которые говорится в подсказке 3?

Показать ответ и решение

Проведём третий отрезок и получим равнобедеренный треугольник $ABC$ (см. рисунок ниже). Заметим, что треугольники $AXB$ и $BYC$ равны по двум сторонам и прямому углу $AXB$ , равному $BY C$ , а значит, $∠CBY = ∠BAX$ . Тогда

∘ ∘ ∘ ∠ABC =180 − ∠XBA − ∠CBY = 180 − ∠XBA − ∠BAX = 90

. Откуда получаем, что $∠ABC = 90∘$ , а значит, из равнобедренности, $∠BAC = ∠BCA = 45∘.$

$PIC$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#80691

В четырехугольнике два противоположных угла прямые, а соединяющая их диагональ делится пополам другой диагональю. Докажите, что эти диагонали либо равны, либо перпендикулярны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На картинке целых два прямых угла! Какие хорошие свойства прямоугольных треугольников мы знаем? Можно ли воспользоваться этими свойствами?

Подсказка 2

Медиана к гипотенузе равна ее половине. Отметьте середину M диагонали AC напротив прямых углов. Теперь докажите, что диагонали равны или перпендикулярны.

Подсказка 3

Либо M - точка пересечения диагоналей (что тогда можно сказать про диагонали?), либо BMD - равнобедренный треугольник! Осталось вспомнить, что BD делится пополам точкой пересечения диагоналей

Показать доказательство

Пусть углы $B$ и $D$ данного четырехугольника $ABCD$ прямые, а его диагонали пересекаются в точке $E.$

1 случай. $AE = EC.$

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ADC.$ Он прямоугольный, и в нем $DE$ — медиана. Значит, $1 DE = 2AC.$ Аналогично $1 BE = 2AC.$ Следовательно, $AC = DE + BE =DB.$

2 случай. $AE ⁄= EC.$

$PIC$

Пусть $F$ — середина $AC.$ Тогда в прямоугольном треугольнике $ADC$ $DF$ — медиана. Значит, $DF = 12AC.$ Аналогично $BF = 12AC.$ Значит, $DF = BF,$ то есть треугольник $DF B$ равнобедренный. Тогда $FE$ — медиана этого равнобедренного треугольника, а значит, $FE$ и высота. Следовательно, $AC,$ содержащий отрезок $F E,$ перпендикулярен $DB.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#86301

Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из той же вершины, образует с этими сторонами углы $30∘$ и $∘ 90 .$

Показать ответ и решение

Удвоим медиану и заметим, что $ΔABX$ — прямоугольный с углом $30∘,$ а значит катет напротив этого угла равен половине гипотенузы, то есть $AB- BC = AX = 2 ,$ а значит искомое отношение равно $2:1.$

$PIC$

Ответ:

$2 :1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#86302

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA ,BB ,CC 1 1 1$ и высоты $AA ,BB ,CC . 2 2 2$ Докажите, что длина ломаной $A1B2C1A2B1C2A1$ равна периметру треугольника $ABC.$

Показать доказательство

Заметим, что каждое из звеньев этой ломаной является медианой в прямоугольном треугольнике, проведённой к гипотенузе.

$PIC$

Значит:

A1B2 = BC-,B2C1 = AB-,C1A2 = AB 2 2 2

A2B1 = AC,B1C2 = AC-,C2A1 = BC 2 2 2

тогда если просуммировать длины этих отрезков, получится величина $BC +AC + AB,$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#86303

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена биссектриса $CD.$ Прямая, проходящая через точку $D$ перпендикулярно $DC,$ пересекает $AC$ в точке $E.$ Докажите, что $EC = 2AD.$

Показать доказательство

Пусть $M$ — середина отрезка $EC,$ тогда $DM = MC,$ поскольку $ΔDEC$ — прямоугольный. Заметим, что достаточно доказать, что $ΔADM$ — равнобедренный. Пусть $∠BCD = ∠DCA = α,$ тогда $∠BAC =2α,$ Также $∠DMA =2α$ как внешний угол у равнобедренного $ΔDMC,$ получили требуемое.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#86304

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ угол $B$ — прямой, а диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$ и равна стороне $AD.$ В треугольнике $ADC$ провели высоту $DH.$ Докажите, что прямая $BH$ делит отрезок $CD$ пополам.

Показать доказательство

Пересечём $BH$ и $CD$ в точке $X.$ Пусть $∠BAC = ∠DAC = 2α.$ Заметим, что $ΔABC = ΔAHD$ по гипотенузе и прилежащему углу, откуда $AB = AH,$ а значит $∘ ∠AHB =90 − α.$ Следовательно,

∘ ∘ ∠DHX =180 − ∠AHB − 90 = α

Также в силу вышеупомянутого равенства треугольников

∠HDA =∠BCA = 90∘− 2α

$ΔDAC$ — равнобедренный, откуда $∠ADC = 90− α.$ Теперь видно, что

∠HDC = ∠ADC − ∠ADH = α

то есть $ΔDHX$ — равнобедренный, а значит $HX =DX.$ Далее совсем нетрудно убедиться, подсчитав углы в $ΔDHC,$ что $ΔHCX$ также равнобедренный, следовательно $HX = XC,$ что и требовалось.

$PIC$

Предыдущий раздел

Следующий раздел