Прямоугольные треугольники

Пусть — медиана прямоугольного треугольника , , , значит, . , отсюда треугольник — равнобедренный с углом , то есть он равносторонний. А значит, .

Пусть , тогда медиана равна . Периметр треугольника равен , тогда отсюда . Периметр треугольника равен , тогда отсюда .

По свойству прямоугольного треугольника с углом катет, лежащий напротив угла в в два раза меньше гипотенузы, то есть

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна поэтому Аналогично, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна поэтому Тогда так как катет лежит напротив угла

Получается, Заметим, что — прямоугольный треугольник с углом Отсюда

Продлим прямые и до пересечения друг с другом. Пусть они пересекаются в точке

Рассмотрим треугольник по свойству смежных углов. так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Получается, в треугольнике два угла равны а, значит, третий его угол так же равен то есть треугольник правильный. Отсюда

Заметим, что — прямоугольный треугольник с углом Отсюда

Тогда

Разложим наш треугольник обратно и обозначим все углы.

так как накрест лежащие углы у параллельных прямых.

Рассмотрим и

Так как — общая гипотенуза и следовательно Из равенства треугольников следует, что Рассмотрим Так как гипотенуза в два раза больше, чем катет то

Тогда

Как центры описанных окружностей, точки и лежат на серединных перпендикулярах к и соответственно, причём пересечением перпендикуляров является точка Так как и взаимноперпендикулярны, то и серединные перпендикуляры к ним тоже взаимноперпендикулярны. Поэтому треугольник — прямоугольный с прямым углом при вершине

Отношение площадей прямоугольных треугольников равно отношению произведений их катетов, то есть

По условию окружности касаются поэтому радиусы и перпендикулярны касательной Тогда из соответствующих прямоугольных треугольников

В итоге

Так как окончательно получаем

По теореме Менелая для треугольника и точек

Отсюда Пусть тогда По свойству биссектрисы:

Пусть тогда Отсюда По теореме Пифагора для треугольника

По теореме Пифагора для треугольника

Тогда площадь треугольника равна:

Продлим за точку пересечем с прямой получим точку как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей а значит, треугольник равнобедренный и Аналогично треугольник равнобедренный с углом при основании то есть Отсюда Рассмотрим треугольники и Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Значит, пусть тогда отсюда

Заметим, что

А значит, откуда Аналогично откуда следует, что это ортоцентр треугольника А значит

Заметим, что Тогда в прямоугольном треугольнике угол

В прямоугольном треугольнике катет напротив угла в равен половине гипотенузы. То есть для прямоугольных треугольников выполнено:

Откуда Тогда

Проведем . Заметим, что при этом тогда треугольник — правильный. Тогда Следовательно, треугольник — прямоугольный. Мы знаем, что Тогда треугольник — равнобедренный с основанием Получаем, что — высота в этом треугольнике, следовательно, треугольник — прямоугольный с углом равным и То есть треугольники и равны. Тогда что и требовалось.

Пусть делит сторону на отрезки длиной и

По свойству биссектрисы Тогда По теореме Пифагора Остается найти

По теореме Пифагора то есть

Решаем это уравнение и получаем Итак,

Пусть гипотенуза равна Тогда катет лежащий напротив угла равен Пусть — высота. Заметим, что

Значит, в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то есть Далее вычисляем и получаем требуемое отношение.

Обозначим наш треугольник с прямым углом Пусть — медиана. Она проведена к гипотенузе, а значит, равна её половине, то есть Треугольник — равнобедренный, а значит, его внешний угол равен Следовательно, в прямоугольном треугольнике где — основание высоты, катет равен потому что лежит напротив угла

Чтобы доказать это равенство, соберём все отрезки в один прямоугольный треугольник и применим теорему Пифагора.

Удвоим до точки за точку Заметим, что является параллелограммом, поскольку его диагонали пересекаются в своих серединах. Отсюда и

Остаётся доказать, что (и из треугольника мы получим требуемое). Но действительно, является медианой (по построению) и высотой (по условию) треугольника откуда он равнобедренный и

Пусть — центр описанной окружности треугольника и

Тогда

Значит, четырёхугольник BOED вписанный. Так что углы и равны, как вписанные, опирающиеся на равные хорды .

Продлим до пересечения с в точке . Тогда , а значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда , а ещё как противоположные стороны параллелограмма.

Первый способ.

В прямоугольном проведём медиану к гипотенузе, тогда . В силу параллельности . — равнобедренный, тогда , откуда как внешний угол . Заметим, что — равнобедренный с углом , а значит, равносторонний,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ.

В прямоугольном катет напротив угла в градусов равен половине гипотенузы , так что равен одной из сторон параллелограмма.

Пусть точка на отрезке делит его в отношении Проведём среднюю линию отсюда прямоугольный и — его медиана, то есть

Заметим, что обозначения и симметричны, потому можем считать, что лежит между и Пусть — середина но из она также будет серединой осталось заметить, что откуда и прямой.

Пусть эта вершина — а и — середины и а также — середина Тогда — средняя линия при этом, раз — середина то Из прямоугольного треугольника для его медианы имеем, что