Тема . Треугольники с фиксированными углами

Треугольник с углом 60 градусов

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела треугольники с фиксированными углами
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74129

Неравнобедренный треугольник ABC,  в котором ∠ACB  =60∘,  вписан в окружность Ω.  На биссектрисе угла BAC  выбрана точка   A′,  а на биссектрисе угла ABC  — точка  ′
B так, что   ′
AB ∥ BC  и    ′
BA  ∥AC.  Прямая  ′ ′
AB пересекает Ω  в точках D  и E.  Докажите, что треугольник CDE  равнобедренный.

Показать доказательство

Так как ∠AB′B =∠CBB ′ = ∠ABB ′,  то AB′ = AB.  Аналогично AB =A ′B.  Обозначим ∠A = 2α,∠B = 2β.  Пусть α> β.  Обозначим через  ′
E середину дуги ACB  окружности Ω.  Тогда треугольник     ′
ABE равносторонний(    ′         ∘
∠AE B = ∠C =60 ). Поэтому точка A  — центр описанной окружности треугольника    ′ ′
BE B .  Следовательно:

   ′  ′     ′  ′    ∘
∠E AB  = 2∠E BB  =120 − 2β

    ′ ′   ∘       ′  ′   ∘
∠AE B  =90 − 1∕2∠E AB  =30 + β

Аналогично ∠BE ′A′ = 30∘+α,  откуда

∠B ′E′A+ ∠AE ′B +∠BE ′A′ = (30∘+ β)+60∘+ (30∘+ α)=180∘

Итак, точка E′ лежит на прямой A′B′,  будем считать, что она совпадает с E.  Пусть T  — середина меньшей дуги EC  окружности Ω.  Заметим, что

∠AET =∠ABT  =1∕2(∠ABE  +∠B )=30∘+ β = ∠AEB ′

Значит, точка T  также лежит на прямой A′B′,  и треугольник CDE  совпадает с треугольником CET.  Этот треугольник равнобедренный, поскольку ET = EC.

PIC

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!