Тема Дополнительные построения в планике

Удвоение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дополнительные построения в планике

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#86296Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике равны две медианы. Докажите, что он равнобедренный.

Показать доказательство

Пусть $M$ — точка пересечения медиан. Как известно, она делит медиану в отношении $2:1,$ считая от вершины. Таким образом, раз равны медианы, то $AM = MB.$ Но тогда $ΔAMB$ — равнобедренный. Удвоим обе медианы, тогда $AB = XC = CY$ и $XA1 = A1B =AB1 = B1Y,∠CXM = ∠MBA = ∠MAB = ∠MY X.$ Заметим, что $ΔCXA1 =ΔCY B1.$ откуда $CA1 =CB1,$ а это равносильно $CA = CB,$ что и требовалось.

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#86297Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ известно, что $AE =AD, AC =AB$ и $∠DAC = ∠AEB + ∠ABE.$ Докажите, что сторона $DC$ в два раза больше медианы $AK$ треугольника $ABE.$

Показать доказательство

Удвоим медиану $AK,$ тогда $BT = AD = AE,∠BEA = ∠EBT$ и $∠CAD = ∠ABT.$ Заметим, что $ΔABT = ΔCAD,$ а значит $CD = AT = 2AK.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#86298Максимум баллов за задание: 7

На медиане $BM$ треугольника $ABC$ взяли точку $E$ так, что угол $CEM$ равен углу $ABM.$ Докажите, что отрезок $EC$ равен одной из сторон треугольника.

Показать доказательство

Удвоим медиану и заметим, что $∠ABX = ∠EXC =∠XEC,$ а значит $ΔXEC$ — равнобедренный, откуда $EC =CX =AB,$ что и требовалось.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#86299Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AC.$ На стороне $BC$ взяли точку $K$ так, что угол $BMK$ прямой. Оказалось, что $BK = AB.$ Найдите $∠BKM,$ если $∘ ∠A +∠C = 70.$

Показать ответ и решение

Удвоим медиану. В силу параллельности $∠BAC =∠ACX,$ а значит $BCX = 70∘.$ Заметим, что $ΔBKX$ — равнобедренный, тогда $KX =KB =BA = CX,$ следовательно $ΔCKX$ — равнобедренный. Таким образом, имеем: $∘ 70 =∠XCK = ∠XKC,$ откуда $∘ ∠BKX = 110 ,$ а значит $∘ ∠BKM = 55.$

$PIC$

Ответ:

$55∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#31985Максимум баллов за задание: 7

Пусть $P$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ на его гипотенузу $BC$ , a $M$ — середина отрезка $CP$ . Обозначим через $E$ точку на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ такую, что $AB = BE$ . Докажите, что прямые $EP$ и $AM$ перпендикулярны.

Источники: Всесиб-2021, 9.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Да-а, кажется без дополнительных построений тут не обойдётся. Какое же построение хочется сделать? Правильно, давайте построим точку K — точку, симметричную A относительно M.

Подсказка 2

Хмм, посмотрим внимательно на получившуюся картинку. Несложно доказать, что KP ⊥ AE, а также можно увидеть, что BM является средней линией △EAK.

Подсказка 3

Что же получается? На рисунке есть какая-то точка, которая играет очень важную роль. Действительно, ведь точка P является ортоцентром △EAK!!!

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка, симметричная $A$ относительно $M,$ тогда четырехугольник $ACKP$ является параллелограммом, поскольку $M$ делит пополам каждую из его диагоналей, следовательно, прямая $KP$ параллельна прямой $CA,$ а значит перпендикулярна прямой $AE.$

С другой стороны, $BM$ является средней линией в треугольнике $EAK,$ поэтому $EK$ параллельна $BM,$ т.е. перпендикулярна прямой $AP.$

$PIC$

Таким образом, точка $P$ является ортоцентром в треугольнике $EAK,$ а значит прямая $EP$ перпендикулярна $AM.$

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#100188Максимум баллов за задание: 7

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD, X$ — середина диагонали $AC.$ Оказалось, что $CD ∥BX.$ Найдите $AD,$ если известно, что $BX = 3,BC =7,CD = 6.$

Источники: Муницип - 2020, Москва, 9.3 (см. vos.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Удвоим BX за точку X и получим точку M. Тогда сразу получится, что ABCM параллелограмм. А есть ли на картинке еще какой-нибудь параллелограмм?

Подсказка 2

Верно! BCDM — тоже параллелограмм. Можно ли тогда понять что-нибудь о расположении точки M?

Подсказка 3

Верно! Так как DM и AM параллельны BC, точка M лежит на AD. Как тогда найти нужный отрезок?

Показать ответ и решение

Удвоим медиану $BX$ треугольника $ABC,$ получим точку $M.$ Четырёхугольник $ABCM$ — параллелограмм.

Заметим, что $BCDM$ также является параллелограммом, так как отрезки $BM$ и $CD$ равны по длине (оба по $6)$ и параллельны. Это означает, что точка $M$ лежит на отрезке $AD,$ так как $AM ∥BC$ и $MD ∥BC.$

$PIC$

Теперь нетрудно найти искомый отрезок:

AD =AM +MD =BC + BC = 14

Ответ: 14

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#68083Максимум баллов за задание: 7

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $AC.$ На меньшей дуге $AD$ описанной окружности треугольника $ABD$ выбрана точка $E$ так, что $AB = AE.$ Найдите угол $∠CED.$

Источники: ИТМО - 2019, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Продлим отрезок $AC$ за точку $A$ на его длину, получим точку $K.$ Пусть углы $CBA$ и $BCA$ равны по $α.$ Тогда угол $CAD$ равен $α,$ угол $BAC$ — $∘ 180 − 2α.$

$PIC$

Теперь нетрудно вычислить, что углы $BAD$ и $KAD$ равны по $∘ 180 − α,$ то есть точки $B$ и $K$ симметричны относительно $AD.$ Следовательно, угол $DBA$ равен углу $AKD,$ который, в свою очередь, равен углу $AEK,$ поскольку треугольник $AKE$ равнобедренный. Углы $AEK$ и $AED$ в сумме дают $180∘,$ потому что четырёхугольник $ABDE$ — вписанный. Отсюда получаем, что точки $K,E$ и $D$ коллинеарны.

Осталось заметить, что треугольник $CEK$ прямоугольный, потому что медиана равна половине стороны, к которой она проведена. То есть угол $CEK$ прямой, а значит смежный с ним угол $CED$ также прямой.

Второе решение.

Из равнобедренности треугольника $ABC$ и параллельности $BC$ и $AD$ получаем $∠ABC =$ $∠ACB = ∠CAD = α.$

$PIC$

Пусть прямая $BC$ пересекается с описанной окружностью треугольника $ABD$ в точке $F.$ Тогда $ABF D$ — вписанная, т.е. равнобедренная, трапеџия, откуда дуги $AB,AE$ и $DF$ равны. Отсюда $∠ABE = ∠DBF =β.$ $∠EAD =∠EBD = γ,$ так как эти углы опираются на одну дугу. $∠ABD =∠ABE + ∠EBD =β +γ.$ $∠EAC =∠EAD +∠CAD =γ +α.$ Значит, в равнобедренном треугольнике $EAC$ вьполняется равенство $∠ACE = ∠AEC = 180∘−2α−γ.$ Кроме того, $α= ∠ABC = ∠ABF = ∠ABD +∠DBF =2β+ γ$

∠CED = ∠AED − ∠AEC = (180∘− ∠ABD )− 180∘−-α−-γ= 180∘ − β − γ − 90∘+ 2β+-2γ-= 90∘. 2 2

Ответ:

$90∘$

Критерии оценки

Идея какого-либо дополнительного построения и ощутимые продвижения в подсчёте углов оцениваются половиной баллов. Только ответ - 0 баллов за задачу.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#49005Максимум баллов за задание: 7

$ABCD$ – вписанный четырёхугольник, $AB >CD, BC >AD.$ На сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что $AX = CD$ и $AD = CY.$ $M$ – середина $XY.$ Докажите, что угол $AMC$ – прямой.

Источники: Курчатов-2015, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, точки X и Y в явном виде нам вряд-ли помогут, поскольку только с помощью этих точек мы не сможем определить ∠AMC. Тогда, давайте достроим картинку таким образом, чтобы MC и MA стали средними в треугольниках. Что для этого нужно сделать?

Подсказка 2

Да, нужно удвоить YC за точку C и XA за точку A! Для удобства обозначим точки, полученные после удвоения: Y’ и X’. Тогда, чтобы доказать, что ∠AMC прямой, достаточно доказать, что стороны треугольников, которые параллельны MC и MA – перпендикулярны! Отметим равны углы и стороны, можно ли найти на картинке равные треугольники?

Подсказка 3

Да, Y’CD и DAX равны! Заметим, что на картинке появилось два равнобедренных треугольника: XDY’ и X’DY. Тогда нам достаточно доказать, что угол между биссектрисами этих треугольников прямой! Осталось посчитать уголочки.

Показать доказательство

Удвоим $Y C$ за точку $C$ и $XA$ за точку $A$ и получим $X′$ и $Y′.$ Тогда $MA$ и $MC$ — средние линии в треугольниках $XY X′$ и $′ XY Y .$ Значит, достаточно доказать, что $XY$ и $′ XY$ перпендикулярны.

$PIC$

Заметим, что $YC = CY′ = DA,XA = AX ′ =CD$ и $Y′CD = DAX.$ Отсюда треугольники $YCD$ и $DAX ′$ равны и треугольники $Y ′CD$ и $DAX$ равны.

Тогда получается, что $XD = DY′$ и $X′D =DY.$ Это значит, что биссектрисы в треугольниках $XDY ′$ и $X ′DY$ также являются и высотами. Мы хотим доказать, что $XY$ и $XY ′$ перпендикулярны. Это равносильно тому, чтобы перпендикуляры к этим прямым были перпендикулярны, ведь угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к ним.

Мы уже заметили, что биссектрисы в треугольниках $XDY ′$ и $X ′DY$ также являются высотами, так значит, нам нужно показать, что угол между биссектрисами является прямым. Давайте его посчитаем:

∠Y ′DY + ∠YDX + ∠XDX ′− ∠Y′DX-− ∠Y-DX′ = 2 2

′ ′ ∠Y-′DY- ∠Y-DX- ∠YDX-- ∠X′DX- =∠Y DY + ∠YDX + ∠XDX − 2 − 2 − 2 − 2 =

∠Y′DY ∠X′DX ∠Y ′DY ∠X ′DX = ∠Y ′DY + ∠XDX ′− --2---− --2---= ---2-- +---2--

Заметим, что $∠Y′DY = ∠DXX ′+ ∠DX ′X = 180∘− ∠XDX ′,$ поэтому посчитанный выше угол равен $90∘.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#74337Максимум баллов за задание: 7

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ с углом в $100∘$ при вершине $C$ взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $AP = BC$ и $BQ = AC.$ Пусть $M, N,K$ — середины отрезков $AB,CP,CQ$ соответственно. Найдите угол $NMK.$

Источники: Олимпиада Эйлера, 2014, ЗЭ, 2 задача(см. old.mccme.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Достроим треугольник до параллелограмма $ACBD.$ Тогда $M$ является серединой отрезка $CD.$ Так как $AP = BC =AD$ и $BQ =AC = BD,$ треугольники $APD$ и $BQD$ — равнобедренные. Поэтому $∠QDP = ∠ADP + ∠BDQ − ∠ADB$ = $(90∘ − ∠DAB ∕2)+ (90∘− ∠DBA ∕2)− 100∘$ = $80∘− (∠DAB +∠DBA )∕2$ = $40∘.$ Осталось заметить, что $∠QDP = ∠KMN,$ так как $MK$ и $MN$ — средние линии треугольников $DQC$ и $DP C$ соответственно.

Ответ:

$40∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#74610Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM.$ Известно, что $∠ABM = 40∘,$ a $∠CBM = 70∘.$ Найдите отношение $AB :BM.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCD.$ Так как диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам, точка $M$ является точкой их пересечения и $BD = 2BM.$ С другой стороны, $∠BDA = ∠CBD =70∘,$ а $∠BAD =180∘− ∠BDA − ∠ABD = 70∘ = ∠BDA,$ откуда $AB = BD =2BM$ и $AB :BM =2BM :BM = 2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#43638Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ в два раза меньше стороны $AB$ и образует с ней угол $40∘.$ Найдите градусную меру угла $ABC$ .

Источники: Муницип - 2009, Москва, 8.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, у нас есть условие про медиану. Тогда что самое первое можно сделать в задаче?

Подсказка 2

Да, конечно нужно удвоить медиану. У нас получился параллелограмм. Отлично! Теперь давайте пользоваться другими хорошими условиями задачи. Какой же один из треугольников у нас тогда получился?

Подсказка 3

Верно, получился равнобедренный треугольник из-за того, что сторона равна удвоенной медиане. Осталось теперь только посчитать уголки и воспользоваться параллельностью сторон в параллелограмме. Победа!

Показать ответ и решение

Продлим медиану $BM$ за точку $B$ на ее длину и получим точку $D$ .

$PIC$

Так как $AB = 2BM$ , получаем, что $AB =BD$ , т.е. треугольник $ABD$ равнобедренный. Следовательно,

∠BAD = ∠BDA = (180∘− 40∘):2= 70∘

Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,

∠CBD =∠ADB =70∘

Тогда

∠ABC =∠ABD +∠CBD =110∘

Ответ:

$110∘$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#79219Максимум баллов за задание: 7

Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ прямоугольного треугольника $ABC (∠B = 90∘)$ пересекаются в точке $O.$ Найти площадь треугольника $ABC$ , если $CO = 9,OD = 5.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сходу непонятно, что делать. У нас имеется медиана, почему бы ее не удвоить...

Подсказка 2

Обозначим за K- точку, симметричную A относительно M. Тогда видно, что треугольники △AOD и △COK подобны с коэффициентом 5/9. Тогда AD/CK=5/9 ⇒ AD/BD=5/4. Можем ли мы найти sin∠A-?

Подсказка 3

По свойству биссектрисы получаем, что sin∠A=BC/AC=4/5. Тогда cos∠A=3/5. Если обозначить AB за 9c, то AC=15c и BD=4с. Тогда из теоремы Пифагора для треугольника △BDC мы можем найти с. Я верю, что и площадь вы легко найдете!

Показать ответ и решение

$PIC$

На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MK$ , равный $AM$ . Тогда $ABKC$ — параллелограмм.

Обозначим $AB = c$ . Треугольники $AOD$ и $KOC$ подобны (по двум углам), значит

AD = KC ⋅ OD-= AB ⋅ OD-= 5c OC OC 9

BD =AB − AD = 4c 9

По свойству биссектрисы треугольника

BC :AC = BD :AD = 4:5

Поэтому

4c AB :AC =3 :5, то есть BC = 3

По теореме Пифагора

(4c)2 ( 4c)2 -3 + 9- =142

( ) откуда c2 =-1 ⋅ 63 2 10 2

Следовательно,

1 4 2 1323 SABC = 2 ⋅3 ⋅c =-20-

Ответ:

$1323 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#68861Максимум баллов за задание: 7

Разрежьте данный параллелограмм на две части, из которых можно составить треугольник. Не забудьте объяснить, как именно составить треугольник и почему образуется именно он.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, нам нужны две фигуры, из которых можно составить треугольник. Получается, что эти фигуры нам придётся "склеивать" какой-то стороной, то есть какие-то две стороны у них будут равны между собой. На какое построение намекают эти размышления?

Подсказка 2

Имеет смысл отметить середину у одной из сторон параллелограмма! Осталось лишь придумать, как же провести нужный разрез через неё ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

Из параллелограмма $ABDC$ получится треугольник $ABA ′$ .

Почему это работает? Давайте посмотрим на построение. Точка $E$ — середина стороны $CD$ . Удвоим $AE$ за точку $E$ , получим точку $A′$ . Треугольники $AEC$ и $A′ED$ равны по двум сторонам и углу между ними, так как $AE = EA′$ по построению, $CE = ED$ , потому что $E$ — середина отрезка $CD$ , $∠AEC = ∠DEA ′$ как вертикальные. Теперь поймем, почему точки $B$ , $D$ , $A′$ лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что $∠BDA ′ = ∠BDE + ∠EDA ′ =180∘$ . Но это верно, ведь мы поняли, что треугольники $AEC$ и $A′ED$ равны, то есть углы $ACE$ и $EDA ′$ равны как соответственные, а так же нам дано, что $ABDC$ — параллелограмм, значит, $∠ACD +∠CDB = 180∘$ как односторонние при параллельных прямых $BD$ и $AC$ и секущей $CD$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#68862Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$ . Найдите расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$ , если $AB =4$ , $AC = 5$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем чертёж. И обратим внимание на то, что по сути мы удвоили медиану AM. Длину каких отрезков надо найти, чтобы найти расстояние от A' до B и C?

Подсказка 2

Отлично, нам нужно найти длины отрезков A'B и A'C! Давайте их проведём. На что похож четырёхугольник ABA'C?

Подсказка 3

Что-то намекает на то, что ABA'C — параллелограмм! Давайте попробуем доказать это строго, например, найдём какие-то равные треугольники.

Подсказка 4

Когда мы построили медиану, мы получили равенство BM = MC. А какие еще отрезки у нас равны?

Подсказка 5

AM = MA'! А в каких треугольниках присутствуют эти две пары равных отрезков?

Подсказка 6

Рассмотрите треугольники BMA' и CMA. Что можно сказать про их стороны и углы? ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $A′$ — точка на продолжении медианы $AM$ за точку $M$ , причём $MA′ = AM$ . Треугольники $A′MB$ и $AMC$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $A′B = AC =5$ . Аналогично, $A′C =AB = 4$ .

Ответ: 5 и 4.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#68864Максимум баллов за задание: 7

Точка $M$ — середина стороны $CD$ параллелограмма $ABCD$ . Точка $K$ делит его сторону $BC$ на отрезки с длинами $a$ и $b$ так, что угол $∘ AMK = 90$ . Найдите $AK$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

KM пока что отрезок лишь внутри параллелограмма, быть может, продлим его до пересечения с прямой AD в новой точке K'?

Подсказка 2

Что можно сказать про треугольник AKK'?

Подсказка 3

Чем является AM в треугольнике AKK'?

Подсказка 4

Именно, AM — высота и медиана в треугольнике AKK'. Что тогда можно про него сказать?

Подсказка 5

AK = AK'. А можно ли выразить AK' через a и b?

Подсказка 6

AD = a+b! А как найти DK'? Быть может, можно заметить ещё какие-то равенства?

Подсказка 7

Обратите внимание на треугольники KCM и K'DM :)

Показать ответ и решение

Пусть точка $K′$ симметрична точке $K$ относительно $M.$ В треугольнике $KAK ′$ отрезок $AM$ является высотой и медианой, а значит треугольник является равнобедренным, т.е. $′ AK = AK .$

Треугольники $MKC$ и $′ MK D$ равны по двум сторонам и углу между ними, поскольку $CM = MD,$ $′ KM = MK$ и углы $′ ∠KMC, ∠DMK$ равны как вертикальные. Таким образом, $′ KC = K D = b$ как соответственные элементы равных трегольников, следовательно, $BC = AD =a +b$ как противоположные стороны параллелограмма, а значит

AK = AK ′ =AD + DK ′ =(a+ b)+b= a+ 2b.

$PIC$

Ответ:

$a+ 2b.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#68865Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AC$ . На стороне $BC$ взяли точку $K$ так, что угол $BMK$ прямой. Оказалось, что $BK = AB$ . Найдите $∠BKM$ , если $∘ ∠A +∠C = 70$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как воспользоваться тем, что какой-то отрезок равен AB? Быть может, мы сможем построить ещё один отрезок, равный AB, и записать цепочку равенств?

Подсказка 2

Очень часто в подобных задачах помогает удвоить медиану, так как после этого появляется сторона, равная AB!

Подсказка 3

Итак, удвоим медиану BM до BD. Из теоретического материала мы знаем, что AB = CD (докажите самостоятельно!) А что можно интересного сказать про треугольник BKD? Как воспользоваться условием на прямой угол?

Подсказка 4

Чем является KM в треугольнике BKD?

Подсказка 5

KM и медиана, и высота, так что BKD равнобедренный! Интересно, у нас уже немало отрезков, равных BK ;) Запишем цепочку равенств!

Подсказка 6

CD = AB = BK = KD. О чем это говорит для треугольника KCD? Быть может, мы знаем его углы?

Подсказка 7

Треугольник KCD равнобедренный, а угол MCD равен углу BAM. Чему тогда равен угол KCD?

Подсказка 8

Угол KCD равен 70°! Тогда, так как KCD равнобедренный, мы можем посчитать все остальные его углы ;)

Подсказка 9

Получается, что угол DKC тоже равен 70°! Отлично, мы уже очень близки к нужному углу BKM! Осталось лишь понять, как именно его величина связана с величиной угла BKD и DKC ;)

Показать ответ и решение

Пусть $D$ — точка, симметричная точке $B$ относительно $M.$ Отрезок $KM$ является высотой, а так же медианой треугольника $BKM,$ следовательно, $BK = KD.$ Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, т.е. $CD = AB$ и