Проецирование в планике

Предположим, что можно расставить стрелки так, чтобы сумма всех полученных векторов была равна нулевому вектору.

Спроецируем все эти векторы на прямую, перпендикулярную линии, содержащей точки . Заметим, что каждый из этих векторов, в зависимости от направления стрелки, спроецируется либо на вектор , либо на , где и — проекции точки и точек соответственно.

Обозначим число векторов, спроецированных на , через Тогда число векторов, спроецированных на равно Согласно предположению, сумма всех векторов равна нулю, а значит, сумма их проекций также должна быть равна нулю.

Однако проекции и противоположно направлены. Для того чтобы их сумма была равна нулю, числа и должны быть равными, что невозможно, так как — нечётное число. Таким образом, остаётся хотя бы одна ненулевая проекция, что приводит к противоречию.