Проецирование в планике

Пусть — высота треугольника, — ее середина, а — точка пересечения с Тогда точки — проекции на прямые соответственно — лежат на одной прямой, следовательно, четырехугольник вписанный и

Так как середина стороны равноудалена от и а , то откуда и следует искомое неравенство.

Пусть — проекции точек на прямую — проекции на прямую

Легко видеть, что точка лежит на луче — на луче поэтому аналогично Кроме того, если точка — проекция на (она лежит на отрезке ), то

Аналогично Осталось заметить, что

Обозначим середину за лежит на прямой, являющейся ГМТ таких, что расстояния от них до и равны. Отсюда препендикуляры и к прямым и равны, притом лежат на одной прямой, тогда как вертикальные, а значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно — прямоугольник, тогда откуда по двум сторонам и прямому углу между ними, значит,

Предположим, что можно расставить стрелки так, чтобы сумма всех полученных векторов была равна нулевому вектору.

Спроецируем все эти векторы на прямую, перпендикулярную линии, содержащей точки . Заметим, что каждый из этих векторов, в зависимости от направления стрелки, спроецируется либо на вектор , либо на , где и — проекции точки и точек соответственно.

Обозначим число векторов, спроецированных на , через Тогда число векторов, спроецированных на равно Согласно предположению, сумма всех векторов равна нулю, а значит, сумма их проекций также должна быть равна нулю.

Однако проекции и противоположно направлены. Для того чтобы их сумма была равна нулю, числа и должны быть равными, что невозможно, так как — нечётное число. Таким образом, остаётся хотя бы одна ненулевая проекция, что приводит к противоречию.

Проведем параллельную вектору суммы прямую так, чтобы она проходил через диаметр окружности. Если диаметр пересекает сторону многоугольника не в вершине, то разделим пересекаемую сторону на две относительно точки пересечения и разрешим ставить стрелочки разных направлений на них. Тем самым мы только обобщим задачу.

Спроецируем все векторы на диаметр. Если сначала все векторы сложить, а потом спроецировать или сначала спроецировать, а потом сложить, получим одно и то же.

Рассмотрим одну полуокружность. Если все стрелочки направляются в одну сторону(например, вправо), то сумма проекций векторов равна диаметру, то есть . Поэтому если стрелки направлены в разные стороны, то сумма проекций векторов точно не больше, чем

Сумма длин проекций векторов из нижней полуокружности также не превосходит диаметр. Складывая, получаем, что сумма проекций всех векторов не превосходит значит и сумма векторов не превосходит

Четырёхугольник — вписанный, поэтому Аналогично четырёхугольник — вписанный, поэтому

Опустим высоты и на прямую Заметим, что прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу , откуда получаем

Заметим, что прямоугольные треугольники и равны по катету и острому углу откуда получаем Тогда

Получается, что Следовательно, в треугольнике высота совпадает с медианой, поэтому он является равнобедренным, и что и требовалось.

Заметим, что если доказать обратную теорему Чевы для треугольника (то есть равенство то мы получим требуемое. Обозначим параллельные прямые через и

Давайте проведём прямую перпендикулярную прямым и спроецируем ортогонально точки на неё. Нам это выгодно, потому что отношение, в которых делит точка отрезок при проектировании, как известно, сохраняется (это просто теорема Фалеса). Точки и перейдут в и

Введём декартову систему координат таким образом, что прямая — ось а прямая — ось Обозначим ординату через а ординату через Точка при проецировании переходит в точку точка — в точку точка — в точку

Как мы знаем, отношения при проектировании сохраняются, а значит, нам достаточно доказать, что

Нетрудно видеть, что длина любого отрезка из равенства равна модулю разности ординат его концов, поэтому его можно записать в таком виде:

Теперь видно, что всё сокращается, а значит, мы получили требуемое.

Так как Так как Пусть и — перпендикуляры, опущенные из и на и соответственно.

Тогда прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу, откуда Это значит, что расстояния между прямыми и и между прямыми и равны. Таким образом, прямые и пересекаясь, образуют ромб где — точка пересечения и По свойству ромба =

Пусть отрезок пересекает диагонали и в точках и соответственно. Тогда = = Значит, в треугольнике углы при основании равны, он равнобедренный, и поэтому внешняя биссектриса его угла параллельна что и требовалось. Если же полученное равенство углов сразу говорит, что — биссектриса угла

Пусть а Тогда откуда по теореме о внешнем угле треугольника откуда Опустим из точки перпендикуляр на прямую а из точки — перпендикуляр на прямую Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу откуда Осталось заметить, что и — это высоты треугольников и опущенные на равные стороны, отсюда из формулы площади треугольника следует требуемое равенство.