Осевая симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Один из углов остроугольного треугольника равен 
На каждой его стороне выбрали по одной точке. Докажите, что минимальный
периметр образованного этими точками треугольника равен одной из высот исходного треугольника.
Подсказка 1
Пусть нам дан треугольник ABC, где угол A = 30⁰. Произвольные точки на сторонах AB, BC, AC обозначим Y, X, Z соответственно. Часто в задачах на поиск минимума помогает осевая симметрия.
Подсказка 2
Если мы отразим точку X относительно сторон AB и AC, получив при этом точки X₁ и X₂, то отрезки YX и ZX можно заменить на равные, которые образуются на рисунке. Что это за отрезки? Как теперь можно выразить периметр треугольника XYZ?
Подсказка 3
Периметр треугольника XYZ равен X₁Y+YZ+ZX₂. Как можно оценить снизу данную величину?
Подсказка 4
По неравенству ломанной последнее не меньше, чем X₁X₂. Можно ли выразить данный отрезок, не используя точки X₁ и X₂? Что можно сказать про треугольник AX₁X₂?
Подсказка 5
Он является правильным, а значит X₁X₂ = AX₁ = AX. Когда AX минимально?
Подсказка 6
Когда AX является высотой. Таким образом, мы поняли, что длина периметра XYZ не меньше длины высота из вершины A. Остается понять, почему данная оценка достигается — для этого достаточно воспользоваться теми знаниями про точки X, Y, Z, которые мы приобрели в прошлых подсказках.
Пусть нам дан треугольник 
где 
Произвольные точки на сторонах 
обозначим 
соответственно.
Отразим точку 
относительно двух других сторон треугольника: точка 
симметрична относительно 
а 
— относительно
Тогда 
и 
Заметим, что периметр нашего исходного треугольника на самом деле
равен 
при этом 
Значит, он будет минимальным, когда точки
лежат на одной прямой и получится, что 
Но когда 
будет минимально? Когда будет
являться высотой. Следовательно, мы доказали, что минимальный периметр треугольника будет равен одной из высот
треугольника.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
