Поворот

Сначала напомним себе, что многоугольник называется правильным, если всего его стороны и все углы равны.

Рассмотрим произвольный правильный многоугольник, обозначим его центр через . Рассмотрим пять подряд идущих вершин этого многоугольника, назовем их в порядке обхода по часовой стрелке , , , , (см. картинку).

Середины отрезков , , и обозначим через , , и соответственно. Заметим, что так как исходный многоугольник правильный, то .

Повернем пятиугольник вокруг точки на угол по часовой стрелке. Тогда точки , , и перейдут соответственно в точки , , и . Также середины отрезков , , перейдут в середины отрезков , и . Поэтому, в частности, переходит в , значит, , и по аналогичным рассуждениям все стороны внутреннего многоугольника равны.

При том же повороте переходит в , значит, два соседних угла внутреннего многоугольника равны, и, проделав те же рассуждения для всех пятерок последовательных вершин исходного многоугольника мы получим, что все соседние углы внутреннего многоугольника равны, значит, вообще все его углы равны между собой.

Таким образом, и стороны, и углы внутреннего многоугольника равны, значит, он правильный.