Тема . Преобразования плоскости

Гомотетия

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела преобразования плоскости
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127206

В остроугольном треугольнике ABC  проведены высоты AA ,
  1  BB ,
  1  CC ,
   1  а H  — его ортоцентр. Точку H  отразили относительно прямых B1C1,  C1A1,  A1B1 :  получили точки HA,  HB,  HC  соответственно. Докажите, что AHA,  BHB,  CHC  пересекаются в одной точке.

Показать доказательство

Заметим, что в силу вписанности четырёхугольников BC HA ,
  1   1  CB  HA ,
   1  1  BCB  C
    1 1  верна следующая цепочка равенств:

∠C1A1H =∠C1BH  =∠B1CH  =∠B1A1H.

Следовательно, точка H  лежит на биссектрисе угла B1A1C1.  Тогда точки HB  и HC  симметричны относительно этой биссектрисы, а значит, прямая HBHC  перпендикулярна прямой A1H,  то есть параллельна прямой BC.

PIC

Аналогично HAHC ∥ AC  и HAHB  ∥AB.  Следовательно, если пересечь прямые BHB  и CHC  в точке O,  то существует гомотетия с центром в точке O,  которая переводит отрезок HBHC  в отрезок BC,  а значит, треугольник HAHBHC  переходит в треугольник ABC.  Тогда прямая AHA  проходит через точку O.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!