Гомотетия

Назовём центры окружностей соответственно и Вторую точку пересечения с назовём . Без ограничения общности скажем, что радиус меньше радиуса (случай равенства радиусов невозможен, ведь тогда касательные не имели бы точки пересечения). Тогда лежит на отрезке .

Докажем, что прямая составляет равные углы с касательной к в точке и с касательной к в точке . Гомотетия с центром и коэффициентом переводит в , при этом точки пересечения прямой с окружностью переходят в точки пересечения с в порядке их следования на луче Значит, точка перейдет в точку , а точка – в точку

При гомотетии касательная к в точке переходит в касательную к в точке Согласно теореме о б угле между касательной и хордой, касательные к в точках и составляют равные углы с хордой из чего следует, что прямая составляет равные углы с касательной к в точке и с касательной к в Утверждение доказано. (Отметим, что если касательные из доказанного утверждения параллельны, то прямая содержит и а значит точки и совпадают, что противоречит условию.)

Осталось доказать Для этого рассмотрим прямую являющуюся осью симметрии окружностей и относительно неё симметричны прямые и касательные к в и Значит, равен углу между и касательной к в этот угол равен

Предположим, что вершины и квадрата находятся на стороне треугольника а вершины и — на сторонах и соответственно. На луче возьмём произвольную точку

Через эту точку проведем прямые, параллельные сторонам квадрата, до пересечения с лучами и в точках и соответственно. Пусть — проекция точки на Тогда — квадрат, гомотетичный квадрату при гомотетии с центром в точке

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим произвольный квадрат с вершинами и на луче и с вершиной на луче Пересечение луча со стороной есть вершина искомого квадрата.

Обозначим радиусы окружностей через и Сделаем гомотетию в точке с коэффициентом переводящую в Если докажем, что при гомотетии перейдёт в то получим требуемое, так как — центр гомотетии.

Давайте посмотрим на прямую Она перейдёт в прямую, параллельную себе, касающуюся и находящуюся выше точки Это прямая Стало быть, — точка пересечения и перейдёт в точку пересечения и то есть в точку Получили требуемое.

Пусть и — середины сторон и соответственно. Заметим, что — серединный перпендикуляр к отрезку Значит, Аналогично, Тогда гомотетия с центром в точке переводящая точку в точку переводит в а в Следовательно, точки и лежат на одной прямой.

Сделаем гомотетию с центром в точке касания окружностей, переводящую в Прямая перейдёт в прямую, параллельную себе и касающуюся то есть прямую Аналогично прямая перейдёт в прямую Значит, точка — точка пересечения прямых и перейдёт в — точку пересечения и Значит, точка касания окружностей лежит на прямой

Пусть — центр первой окружности. Тогда рассмотрим треугольник

Прямая — биссектриса угла прямая — диагональ параллелограмма, то есть эти прямые не зависят от выбора окружностей. Заметим, что при некотором другом выборе окружностей новый треугольник будет подобен старому треугольнику а, значит, угол будет постоянным. Таким образом, все линии центров образуют одинаковый угол с прямой которая не зависит от выбора окружностей.

Рассмотрим гомотетию в точке переводящую в Она же переводит в ( Тогда середина при этой гомотетии переходит в середину т.е. эти две точки лежат с на одной прямой.

Пусть точка диаметрально противоположная Аналогично рассматривая гомотетию с центром в точке переводящую в получим, что середина середина и лежат на одной прямой. Это и доказывает задачу.

Пусть и — центры описанной и вписанной окружностей треугольника — ортоцентр треугольника Проведем в треугольнике высоты и По свойству ортоцентра — инцентр треугольника

Стороны исходного треугольника являются касательными к окружности в соответствующих точках. Каждый отрезок, соединяющий основания высот параллелен соответствующей касательной, проведённой к описанной окружности в соответствующей вершине треугольника (эту несложную лемму можно использовать в данной задаче без доказательства). В итоге стороны треугольников и параллельны.

Значит, существует гомотетия, переводящая треугольник в При этой гомотетии точка переходит в точку центр описанной окружности а точка — в точку

Пусть центр гомотетии — некоторая точка тогда тройки точек центр описанной окружности и коллинеарны.

А ведь центр описанной окружности — центр окружности Эйлера для Значит, он лежит на его прямой Эйлера Но тогда и лежит на этой прямой.

Первое решение.

Пусть - середины высот и а - середины отрезков и Обозначим окружности, вписанные в треугольники через а их центры - через и соответственно. Треугольники и - равнобедренные, поэтому точки и лежат на соответствующих высотах и этих треугольников. Отрезки и являются биссектрисами треугольников и поэтому, записывая для них основное свойство биссектрисы, получаем соотношения Разделив первое на второе и учитывая равенство получаем, что Поскольку - центр гомотетии, переводящей в то лежит на линии и верно равенство: Но тогда

где обозначает расстояние от точки до прямой С другой стороны, по свойству средней линии и то есть и Значит и - прямоугольники, то есть и Тогда выполнены равенства

где последнее равенство выполнено, поскольку и есть в точности общие перпендикуляры к парам параллельных прямых и Собирая все доказанные равенства вместе, получаем, что

откуда следует, что точки и лежат на одной прямой.

Второе решение.

Как и в первом решении обозначим окружности, вписанные в треугольники и через их центры через и соответственно, а середины отрезков и — через и Пусть также — точка пересечения внешних касательных к

Заметим, что четвёрка точек — гармоническая, то есть двойное отношение равно Спроецируем эту четвёрку точек на прямую с центром в точке Точка лежит на прямой поскольку эта прямая является одной из внешних касательных к и поэтому перейдёт в Точка перейдёт в точку пересечения прямых и которая является серединой поскольку в треугольнике отрезок — средняя линия. Точка перейдёт в бесконечно удалённую точку прямой поскольку

Но при центральной проекции сохраняется двойное отношение четвёрки точек, а четвёрка — гармоническая. Значит, образом точки при данной проекции является точка что и требовалось доказать.

Утверждение задачи равносильно тому, что радиус окружности , проходящей через точки , , и , равен , где — радиус описанной окружности треугольника , а, стало быть, и тому, что радиус окружности , гомотетичной окружности с центром и коэффициентом , равен . Но — это описанная окружность треугольника , а она, как хорошо известно, симметрична описанной окружности треугольника относительной прямой .

Пусть прямая пересекает окружность в точке Заметим, что окружности и гомотетичны с центром в точке Тогда точка переходит в точку и касательная к окружности переходит в параллельную ей касательную, проходящую через Теперь рассмотрим гомотетию с центром переводящую окружность в Так как тут происходит то же самое, касательная к окружности перейдёт в параллельную касательную, касающуюся в какой-то точке, но таких касательных только две. Если это та же касательная проходящая через точку то мы победили! Почему же это не диаметрально противоположная касательная?

Давайте посмотрим на полуплоскость, где лежат окружности и Пусть они лежат в полуплоскости относительно прямой а другая полуплоскость будет Но тогда при нашей гомотетии с отрицательным коэффициентом окружность должна оказаться уже на отрицательной полуплоскости относительно касательной, что будет неверно, когда касательная диаметрально противоположная(прямая просто “съедет” сохранив ориентацию, но окружность окажется на другой полуплоскости). Значит, такой случай невозможен, и обе прямые пересекутся в точке касания окружности и прямой, параллельной исходной.

Заметим, что окружность при гомотетии с центром в точке переходит в окружность при этом переходит в переходит в значит переходит в а значит эти прямые параллельные, так как при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую.

Пусть — прямая, проходящая через точку (середину ) параллельно биссектрисе угла Сделаем гомотетию в точке пересечения медиан треугольника с коэффициентом По свойству центра тяжести точка перейдёт в точку Биссектриса угла перейдёт в параллельную прямую, проходящую через точку то есть в

Таким образом, этой гомотетией мы перевели биссектрисы в соответствующие прямые. Биссектрисы пересекались в одной точке, значит и искомые прямые пересекаются в одной точке, что и требовалось.

Продлим и до пересечения с большей окружностью получив точки и соответсвенно.

Заметим, что меньшая окружность и большая гомотетичны относительно и переходят в и соответсвенно. Значит паралельно значит паралельно значит значит,

Рассмотрим следующее утверждение, называемое леммой Архимеда:

Окружность касается хорды окружности в точке а окружности касается в точке Тогда проходит через середину дуги окружности не содержащей точку

Докажем его. Отметим, что и гомотетичны с центром гомотетии в точке При гомотетии, переводящей в прямая перейдет в касательную к параллельную и перейдет в соответствующую точку касания. Очевидно, что эта точка касания делит пополам дугу не содержащую С другой стороны, образ под действием такой гомотетии это и есть точка пересечения и

Вернёмся к нашей задаче и рассмотрим треугольник . Согласно лемме Архимеда, является его биссектрисой. Поэтому Если повторить рассуждения выше для пар точек и мы аналогично получим, что и По условию, чевианы пересекаются в одной точке, откуда, по теореме Чевы

откуда

Отметим, что является вписанным выпуклым шестиугольником. Согласно задаче из выражения выше следует, что его главные диагонали пересекаются в одной точке. Другими словами, прямые пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Обозначим центры тяжести треугольников точками Сделаем гомотетию в точке (середине отрезка ) с коэффициентом По свойству точки пересечения медиан точки и перейдут в точки и соответственно. Значит, прямая перейдёт в прямую откуда следует их параллельность. Из аналогичной гомотетии в середине отрезка следует, что Таким образом, Точно так же доказывается параллельность прямых и Следовательно, — параллелограмм, что и требовалось.

Пусть — точка внутри квадрата, a точки — середины сторон квадрата. Нетрудно понять, что четырёхугольник — квадрат. Сделаем гомотетию в точке с коэффициентом тогда квадрат перейдёт в четырёхугольник которые являются образами точки при отражении относительно середин сторон. Значит, также является квадратом, что и требовалось.

Пусть — вершины правильных треугольников, построенных на основаниях и соотвественно.

Сделаем гомотетию в точке пересечения диагоналей трапеции с коэффициентом Точка перейдёт в точку точка — в точку основание в основание Прямая до гомотетии образовывала угол с прямой Значит, она перейдёт в прямую, проходящую через точку под углом к прямой то есть в прямую Аналогично прямая перейдёт в прямую Таким образом, точка пересечения прямых и то есть точка перейдёт в точку пересечения прямых и то есть в точку Отсюда точки и центр гомотетии коллинеарны, что и требовалось.

Пусть  — высота,  — середина а  — точка касания вписанной окружности с Гомотетия с центром переводящая вписанную окружность во вневписанную, переводит точку симметричную относительно в Поэтому  — медиана треугольника и Поскольку то  — точка пересечения касательных к окружности в точках и Поэтому  — симедиана треугольника откуда Значит, окружность касается Середина имеет равные степени относительно окружностей и поэтому окружность тоже касается . Следовательно, Тогда четырехугольник вписан, и

Обозначим точку касания через Сделаем гомотетию с центром в переводящую вторую окружность в первую. Прямая перейдёт в прямую, которая касается первой окружности, причём лежит между и этой прямой. Ясно, что такими свойствами обладает лишь прямая Аналогично прямая перейдёт в прямую Следовательно, точка пересечения прямых и (точка ) перейдёт в точку пересечения прямых и то есть в точку Таким образом, точки и коллинеарны, что и требовалось.

Из симметрии, прямая является биссектрисой угла и проходит через центры окружностей и

Поскольку соответственные стороны треугольников и параллельны, существует гомотетия с центром переводящая первый треугольник во второй. Эта гомотетия переводит окружность с диаметром в окружность с диаметром то есть в Отрезок касающийся перейдёт в параллельный ему отрезок касающийся при этом, поскольку треугольник равнобедренный.

Пусть — центр Поскольку и — касательные к то — биссектриса в равнобедренном треугольнике а стало быть — и высота. Итак, медиана треугольника является высотой, откуда и следует требуемое.