Гомотетия

Первое решение. Пусть Из равнобедренных треугольников и (или из того, что — центр окружности ) имеем Для решения задачи остаётся понять, что тому же равен

При гомотетии с центром и коэффициентом точки перейдут соответственно в — середины отрезков и . Вместо найдём заметив, что и — проекции на и а — центр параллелограмма, или середина тем самым, — проекция на Видим, что лежат на одной окружности с диаметром Отсюда Аналогично Из четырёхугольника видим, что что и требовалось.

Второе решение. Достаточно доказать равенство углов (т.е. изогональность и относительно Действительно, тогда будет лежать на внешней биссектрисе угла и на серединном перпендикуляре к а значит, будет совпадать с серединой дуги

Равенство углов в свою очередь, эквивалентно подобно Докажем это подобие.

Отметим на луче за точкой точку так, что а на луче за точкой точку так, что Легко понять, что треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда Рассмотрим серединный перпендикуляр к тогда он является перпендикуляром к параллельной прямой а поскольку то он же является серединным перпендикуляром к Таким образом, трапеция равнобедренная, а раз — параллелограмм, то — также равнобедренная трапеция, причём и Аналогичное получим для трапеции Видим, что откуда следует нужное нам