Гомотетия

Первое решение.

Пусть - середины высот и а - середины отрезков и Обозначим окружности, вписанные в треугольники через а их центры - через и соответственно. Треугольники и - равнобедренные, поэтому точки и лежат на соответствующих высотах и этих треугольников. Отрезки и являются биссектрисами треугольников и поэтому, записывая для них основное свойство биссектрисы, получаем соотношения Разделив первое на второе и учитывая равенство получаем, что Поскольку - центр гомотетии, переводящей в то лежит на линии и верно равенство: Но тогда

где обозначает расстояние от точки до прямой С другой стороны, по свойству средней линии и то есть и Значит и - прямоугольники, то есть и Тогда выполнены равенства

где последнее равенство выполнено, поскольку и есть в точности общие перпендикуляры к парам параллельных прямых и Собирая все доказанные равенства вместе, получаем, что

откуда следует, что точки и лежат на одной прямой.

Второе решение.

Как и в первом решении обозначим окружности, вписанные в треугольники и через их центры через и соответственно, а середины отрезков и — через и Пусть также — точка пересечения внешних касательных к

Заметим, что четвёрка точек — гармоническая, то есть двойное отношение равно Спроецируем эту четвёрку точек на прямую с центром в точке Точка лежит на прямой поскольку эта прямая является одной из внешних касательных к и поэтому перейдёт в Точка перейдёт в точку пересечения прямых и которая является серединой поскольку в треугольнике отрезок — средняя линия. Точка перейдёт в бесконечно удалённую точку прямой поскольку

Но при центральной проекции сохраняется двойное отношение четвёрки точек, а четвёрка — гармоническая. Значит, образом точки при данной проекции является точка что и требовалось доказать.