Гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности 
и 
касаются прямой 
в точках 
и 
и лежат по одну сторону от неё. Окружность 
касается внешним
образом окружностей 
и 
в точках 
и 
Докажите, что прямые 
и 
пересекаются на окружности
Подсказка 1
Проведем A₁B₁ до пересечения с T₃ в Q и докажем, что A₂B₂ попадет туда же! Хмм, никаких углов, никакой информации - лишь касающиеся окружности и касательная...Какой приём может помочь связать окружности?
Подсказка 2
Гомотетия! Рассмотри гомотетии с центрами в точках B₁ и B₂, что интересного можно про них сказать?
Подсказка 3
Гомотетия с центром в B1 переведет T₁ в T₃, а касательную - в новую касательную в точке Q. Чтобы доказать требуемое, куда должна попасть касательная при гомотетии с центром в B₂?
Подсказка 4
В касательную, проходящую через Q! Но ведь она также может попасть в диаметрально противоположную касательную? Чтобы доказать, что это не так, рассмотрим полуплоскости и объекты в них и внимательно разберемся с коэффициентами гомотетий!
Пусть прямая 
пересекает окружность 
в точке 
Заметим, что окружности 
и 
гомотетичны с центром в точке 
Тогда точка 
переходит в точку 
и касательная к окружности 
переходит в параллельную ей касательную, проходящую через
Теперь рассмотрим гомотетию с центром 
переводящую окружность 
в 
Так как тут происходит то же самое, касательная к
окружности 
перейдёт в параллельную касательную, касающуюся 
в какой-то точке, но таких касательных только две. Если
это та же касательная проходящая через точку 
то мы победили! Почему же это не диаметрально противоположная
касательная?
Давайте посмотрим на полуплоскость, где лежат окружности 
и 
Пусть они лежат в 
полуплоскости
относительно прямой 
а другая полуплоскость будет 
Но тогда при нашей гомотетии с отрицательным коэффициентом
окружность 
должна оказаться уже на отрицательной полуплоскости относительно касательной, что будет неверно, когда касательная
диаметрально противоположная(прямая просто “съедет” сохранив ориентацию, но окружность окажется на другой полуплоскости).
Значит, такой случай невозможен, и обе прямые пересекутся в точке касания окружности 
и прямой, параллельной
исходной.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
