Гомотетия

Рассмотрим следующее утверждение, называемое леммой Архимеда:

Окружность касается хорды окружности в точке а окружности касается в точке Тогда проходит через середину дуги окружности не содержащей точку

Докажем его. Отметим, что и гомотетичны с центром гомотетии в точке При гомотетии, переводящей в прямая перейдет в касательную к параллельную и перейдет в соответствующую точку касания. Очевидно, что эта точка касания делит пополам дугу не содержащую С другой стороны, образ под действием такой гомотетии это и есть точка пересечения и

Вернёмся к нашей задаче и рассмотрим треугольник . Согласно лемме Архимеда, является его биссектрисой. Поэтому Если повторить рассуждения выше для пар точек и мы аналогично получим, что и По условию, чевианы пересекаются в одной точке, откуда, по теореме Чевы

откуда

Отметим, что является вписанным выпуклым шестиугольником. Согласно задаче из выражения выше следует, что его главные диагонали пересекаются в одной точке. Другими словами, прямые пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.