Гомотетия

Пусть — точка на прямой такая, что Согласно условию, четырехугольник является вписанным. Таким образом, если лежит между и то точки и находятся по разные стороны прямой и мы заключаем, что является вписанным четырехугольником. И если лежит между и то аналогичный аргумент показывает, что но теперь точки и лежат на одной стороне так что является вписанным четырехугольником.

В любом случае мы получаем равенство из которого следует, что Таким образом, треугольники и либо гомотетичны, либо совмещаются параллельным переносом. Более конкретно, треугольник является изображением в соответствии с отображением которое переносит точки соответственно в и является либо гомотетией, либо параллельным переносом. Заметим, что однозначно определяется этими условиями и только положением точек

Пусть теперь — точка на прямой такая, что Те же рассуждения, что и выше, применимы к точкам вместо подразумевая, что треугольник подобен при том же отображении Таким образом, отправляет четыре точки соответственно в

Если так что является гомотетией с центром то прямые — то есть прямые — параллельны в точке И поскольку и являются вписанными четырехугольникам, справедливы равенства

показывающие, что четырехугольник является вписанным.

Наконец, если так что — это параллельный перенос, то Таким образом, и — равнобедренные трапеции. Тогда также является равнобедренной трапецией, следовательно, четырёхугольник вписанный.