Гомотетия

Назовём центры окружностей соответственно и Вторую точку пересечения с назовём . Без ограничения общности скажем, что радиус меньше радиуса (случай равенства радиусов невозможен, ведь тогда касательные не имели бы точки пересечения). Тогда лежит на отрезке .

Докажем, что прямая составляет равные углы с касательной к в точке и с касательной к в точке . Гомотетия с центром и коэффициентом переводит в , при этом точки пересечения прямой с окружностью переходят в точки пересечения с в порядке их следования на луче Значит, точка перейдет в точку , а точка – в точку

При гомотетии касательная к в точке переходит в касательную к в точке Согласно теореме о б угле между касательной и хордой, касательные к в точках и составляют равные углы с хордой из чего следует, что прямая составляет равные углы с касательной к в точке и с касательной к в Утверждение доказано. (Отметим, что если касательные из доказанного утверждения параллельны, то прямая содержит и а значит точки и совпадают, что противоречит условию.)

Осталось доказать Для этого рассмотрим прямую являющуюся осью симметрии окружностей и относительно неё симметричны прямые и касательные к в и Значит, равен углу между и касательной к в этот угол равен