Гомотетия
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
и 
— середины сторон 
и 
параллелограмма 
соответственно. Точки 
и 
выбраны на отрезках
и 
выбраны соответственно так, что четырехугольники 
и 
— прямоугольники. Докажите, что
Подсказка 1
Пусть G — пересечения медиан треугольника BAD. Сделаем гомотетию с центром в точке G и коэффициентом -2. Куда перейдут точки M и N при этой гомотетии?
Подсказка 2
Правильно! В точки D и B соответственно! Пусть P' и S' образы точек P и S при этой гомотетии соответственно. Что тогда можно сказать про середины отрезков BS' и DP'?
Подсказка 3
Верно! Они совпадают с точками Q и R соответственно. Как можно тогда оценить сверху отрезок QR умноженный на 2?
Подсказка 4
Точно! Из того, что QR — средняя линия четырёхугольника BS'P'D следует, что P'S'+ BD ≥ 2QR. Осталось понять, как длины отрезков P'S' и BD связаны с длинами отрезков PS и MN.
Пусть 
— точка пересечения медиан треугольника 
Сделаем гомотетию с центром в точке 
и коэффициентом 
. Пусть точки
и 
при этой гомотетии перешли в точки 
и 
соответственно. Тогда точка 
лежит на прямой 
так, что 
— середина
отрезка 
так как точка 
перешла при этой гомотетии в точку 
Аналогично точка 
— середина отрезка 
Следовательно,
прямая 
— средняя линия четырёхугольника 
а значит, 
Учитывая, что 
и 
мы
получаем утверждение задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
