Поворотная гомотетия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
вписанного четырёхугольника 
отмечены соответственно точки 
и 
так, что
и 
Докажите, что окружности, описанные около треугольников 
и 
пересекаются в одной точке.
Подсказка 1
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC в точке F, а S — точка Микеля для ABCD. Какие вписанные четырёхугольники можно найти из третей леммы о воробьях?
Подсказка 2
Верно! Точки S, E, K, M лежат на одной окружности и точки S, F, L, N лежат на одной окружности. Обозначим за X повторное пересечение этих окружностей. Теперь пока забудем про точки K, L, M, N, X. Что можно сказать про точку S, учитывая что четырехугольник ABCD вписанный?
Подсказка 3
Точно! Точки S, E, F лежат на одной прямой. Теперь докажем, что точка X — искомая точка пересечения четырёх окружностей. Для этого достаточно доказать, что X лежит на окружности (DMN). Попробуйте теперь посчитать углы.
Пусть прямые 
и 
пересекаются в точке 
а прямые 
и 
в точке 
Пусть 
— точка Микеля для 
Тогда по
третей лемме о воробьях получаем, что точки 
лежат на одной окружности и точки 
тоже лежат на
одной окружности. Обозначим за 
второе пересечение этих окружностей. Заметим, что так, как 
— точка Микеля,
то
поэтому точка 
лежит на прямой 
Докажем, что 
искомая точка пересечения окружностей. Для этого достаточно доказать,
что точка 
лежит на окружности 
Но это понятно в силу того, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
