Тема Преобразования плоскости

Поворотная гомотетия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразования плоскости

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126447

Даны два одинаково ориентированных квадрата $A A A A 1 2 3 4$ и $B B B B . 1 2 3 4$ Серединные перпендикуляры к отрезкам $A B , 1 1$ $A B , 2 2$ $A3B3,$ $A4B4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A2B2,$ $A3B3,$ $A4B4,$ $A1B1$ в точках $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ соответственно. Докажите, что $PR ⊥QS.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Между двумя одинаково ориентированными квадратами существует красивое преобразование — поворотная гомотетия. А если сделать только половину от этого, что тогда можно сказать о точках Cᵢ — серединах отрезков AᵢBᵢ.

Подсказка 2

Середины отрезков AᵢBᵢ образуют квадрат. Часто при изучении поворотной гомотетии полезно проследить, сохраняются ли какие-то угловые соотношения, а если сохраняются углы, то может стоит поискать вписанные четырехугольники?

Подсказка 3

Двигаются четыре точки, даны 4 аналогичные точки P, Q, R, S, тогда может и окружностей тоже четверо, и они все проходят через O — центр поворотной гомотетии?

Подсказка 4

Как же я люблю окружности проходящие через центр преобразования, вот они слева направо: C₁PC₂, C₂QC₃, C₃RC₄, C₄SC₁. То есть у них есть одна точка пересечения O, может поискать и другие?

Подсказка 5

Точки P, Q, R, S разбили на пары PR и QS. Может найденные окружности тоже стоит разбить на пары и посмотреть на радоси и их место в этом мире квадратов.

Показать доказательство

Пусть $O$ — центр поворотной гомотетии, переводящей один квадрат в другой, $C i$ — середины отрезков $A B i i$ ( $i= 1,2,3,4$ ). Тогда: $C1C2C3C4$ — квадрат;

∠OC1P = ∠OC2Q =∠OC3R = ∠OC4S,

т.е. четырёхугольники $OC1PC2,$ $OC2QC3,$ $OC3RC4,$ $OC4SC1$ — вписанные.

$PIC$

Пусть первая и третья окружности вторично пересекаются в точке $U,$ а вторая и четвёртая — в точке $V.$ Тогда, из равенства углов $∠OC1P =∠OC3R$ и того, что данные углы опираются на те же, либо на дополняющие дуги, имеем, что углы $∠OUP$ и $∠OUR$ равны, следовательно, $PR$ проходит через $U.$ Аналогично $QS$ проходит через $V.$ Заметим, что

∠UOV =∠UOC2 + ∠C2OV = ∠C2PR +C2QS,

но точки $C2,P,Q$ лежат на одной прямой, значит, $∠UOV$ равен углу между прямыми $PR,QS.$

Так как $C1C2 ∥ C3C4,$ а $OC1PC2,$ $OC3RC4$ — вписанные, то $OU ∥C1C2,$ аналогично $OV ∥C2C3,$ а так как $C1C2 ⊥ C2C3,$ то $∠UOV =90∘.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126448

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ , $AB = AC$ , $P$ — середина меньшей дуги $AB$ окружности $ABC$ , $Q$ — середина отрезка $AC$ . Окружность с центром в $O$ , описанная около $APQ$ , вторично пересекает $AB$ в точке $K$ . Докажите, что прямые $PO$ и $KQ$ пересекаются на биссектрисе угла $ABC$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Две окружности пересекаются в точке P. Значит, существует поворотная гомотетия с центром в P, которая переводит одну в другую.

Подсказка 2

При поворотной гомотетии с центром P полезно проследить, куда переходят точки K, Q и O. Сохраняются ли какие-то угловые соотношения?

Подсказка 3

Пусть R — середина стороны AB. Тогда прямые PO и RQ антипараллельны относительно PR и KQ — вот и еще одна окружность.

Подсказка 4

Прямые PO и RQ пересекаются на окружности PRQ. Может биссектриса B тоже ее пересекает? А вдруг, в той же точке, что и PO?

Подсказка 5

Биссектриса угла B параллельна AP, а еще у нас есть серединный перпендикуляр к AC в точке Q. Может углы посчитать?

Подсказка 6

Углы OPQ и BSQ равны. Найдете вписанный четырехугольник?

Показать доказательство

Пусть $R,$ $S$ — середины отрезка $AB$ и меньшей дуги $AC$ соответственно. Докажем, что прямые $PO$ и $KQ$ пересекаются на окружности $PRQS.$

$PIC$

Поворотная гомотетия с центром $P,$ переводящая окружность $APQ$ в окружность $ABC,$ переводит $K$ в $B,$ $Q$ в $C,$ а $O$ в центр окружности $ABC,$ лежащий на прямой $P R.$ Следовательно, угол $OP R$ равен углу между прямыми $KQ$ и $BC,$ который равен углу $KQR,$ т.е. точка пересечения $P O$ и $KQ$ лежит на окружности $P QR.$

Покажем теперь, что $PO$ и биссектриса $BS$ угла $B$ также пересекаются на окружности $PRQS.$ Поскольку $BS ∥ AP$ и $QS ⊥ AC,$ то

∠OP Q= |90∘− ∠QAP |=|90∘ − ∠CT B|= ∠BSQ,

где $T$ — точка пересечения $BS$ и $AC,$ т.е. четырёхугольник, образованный прямыми $PO,$ $P Q,$ $QS$ и $BS,$ — вписанный.

Таким образом, прямые $PO,$ $KQ$ и $BS$ пересекают окружность $P RQS$ в одной и той же точке.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126468

(a) Прямые $AB$ и $′ ′ AB$ пересекаются в точке $E.$ Докажите, что существует единственная поворотная гомотетия, переводящая точку $A$ в $′ A,$ а $B$ в $′ B ,$ причем её центром является точка пересечения описанных окружностей треугольников $′ AA E$ и $′ BB E;$

(b) Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок $AB$ в отрезок $A1B1,$ совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок $AA1$ в отрезок $BB1;$

(c) Точка Микеля. Из предыдущих пунктов выведите, что если даны четыре прямые общего положения, тогда описанные окружности четырех треугольников, образованных этими прямыми, пересекаются в одной точке.

(d) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок $AB$ в отрезок $BC,$ является точка пересечения окружности, проходящей через точку $A$ и касающейся прямой $BC$ в точке $B$ , и окружности, проходящей через точку $C$ и касающейся прямой $AB$ в точке $B.$

Показать доказательство

(a) Пусть $O$ — точка пересечения окружностей $(AA′E)$ и $(BB ′E ).$ Тогда, в силу вписанностей четырехугольников $OEA ′A$ и $OEB ′B,$ имеем

′ ′ ∠OBE = ∠OB E; ∠OAE = ∠OA E,

следовательно, треугольники $OAB$ и $OA′B′$ подобны с коэффициентом $AB :A′B ′,$ а углы $∠AOA′$ и $∠BOB ′$ равны.

Таким образом, композиция поворота с центром в точке $O$ на угол $∠AOA ′$ и гомотетии с коэффициентом $AB :A′B′$ переведет точки $A$ и $B$ в точки $A′$ и $B ′$ соответственно.

$PIC$

Обратно, если $O$ — центр поворотной гомотетии, то треугольники $OA ′B ′$ и $OAB$ подобны, поскольку

OA :OA ′ =OB :OB ′

как коэффициенты гомотетии, и $′ ′ ∠AOB =∠A OB ,$ поскольку углы $′ ∠AOA ,$ $′ ∠BOB$ равны как углы поворота.

Тогда, в силу подобия, $′ ∠OB E = ∠OBE,$ а значит, $′ OEB B$ вписанный. С другой стороны, $′ ′ ∠OAB = ∠OA B ,$ следовательно, четырехугольник $′ OEA A$ также вписанный.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) Пусть $O$ — центр поворотной гомотетии переводящей отрезок $AB$ в $A1B1.$ Как было показано в первом пункте, это влечет подобие треугольников $OAB$ и $OA1B1,$ что равносильно подобию треугольников $OAA1$ и $OBB1,$ из чего заключаем, что существует поворотная гомотетия с центром в $O,$ переводящая отрезок $AA1$ в $BB1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(c) Пусть прямые в пересечении образуют выпуклый четырехугольник $ABB ′A′;$ прямые $AB$ и $A′B′$ пересекаются в точке $E,$ тогда, в силу пункта (a),точка $M$ — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок в $AB$ и $A ′B′$ , лежит на окружностях $(AA ′E )$ и $(BB′E).$

С другой стороны, в силу пункта (b), $M$ является центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок $AA ′$ в $BB ′,$ то есть, если прямые $AA ′$ и $BB ′$ пересекаются в точке $E′,$ лежит на окружностях $(ABE )$ и $(A′B′E).$

$PIC$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(d) Обозначим точку пересечения окружностей $Q.$ Тогда, в силу теоремы об угле между касательной и хордой

∠QAB = ∠QBC, ∠QBA =∠QCB.

Таким образом, треугольники $QAB$ и $QBC$ подобны, откуда, как уже было выяснено, следует требуемое.

$PIC$

Замечание. Точку $Q$ называют точкой Болтая треугольника $ABC,$ соответствующей точке $B.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126469

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D.$ Описанная окружность треугольника $BCD$ вторично пересекает окружность, проходящую через точки $A$ и $D$ и касающуюся прямой $CD,$ в точке $K.$ Точка $M$ — середина $BC,$ $N$ — середина $AD.$ Докажите, что точки $B,$ $M,$ $N$ и $K$ лежат на одной окружности.

Показать доказательство

По теореме между касательной и хордой верно, что $∠KAD = ∠KDC,$ последний же, в силу выписанности четырехугольника $KCBD,$ равен углу $KBC.$ По той же выписанности равны углы $KDA$ и $KCB.$

$PIC$

Таким образом, треугольники $KAD$ и $KBC$ подобны, а значит, существует поворотная гомотетия с центром в точке $K,$ которая переводит первый из них во второй, но она же переводит точку $N$ в $M,$ т.е. переводит угол $KND$ в $KMC,$ следовательно, они равны, что доказывает выписанность четырехугольника $NKMB.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126470

(a) Третья лемма о воробьях. Точки $X$ и $Y$ движутся с постоянными скоростями (не обязательно равными) по двум прямым, пересекающимся в точке $E.$ Докажите, что окружность, описанная около треугольника $XY E,$ проходит через 2 фиксированные точки $E$ и $Z,$ где $Z$ является центром поворотной гомотетии, переводящей местоположения точек $X$ в местоположения точек $Y.$

(b) Стороны $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$ . Точка $M$ — середина $AB$ , $N$ — середина $CD$ . Докажите, что центры описанных окружностей треугольников $BCE,$ $ADE$ и $MNE$ лежат на одной прямой.

Показать доказательство

(a) Пусть $X ′,Y′$ — это точки $X,Y$ в момент времени отличный от начального. Тогда окружности описанные вокруг $△EXY, △EX ′Y′$ помимо точки $E$ также пересекаются в $O$ — центре поворотной гомотетии переводящей отрезок $′ XX$ в $′ YY .$ Тогда треугольники $′ ′ △OXX ,△OY Y$ подобны.

Пусть $′′ ′′ X ,Y$ — точки $X,Y$ в момент времени отличный от предыдущего. Тогда из линейности движение:

XX ′′ XX ′ ′′ ′′ YY′′ = Y-Y′ =⇒ △OXX ∼ △OY Y ,

значит, $O$ — также центр поворотной гомотетии, которая переводит всевозможные точки $X′′$ в соответствующие им точки $Y′′,$ в т.ч. все окружности $(X ′′EY′′)$ проходят через точку $O.$

$PIC$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) По третье лемме о воробьях для прямых $AB$ и $CD$ и их точки пересечения $E$ получаем, что окружности $(BCE ),$ $(ADE ),$ $(MNE )$ проходят через точку $Z,$ которая является центром поворотной гомотетии и которая переводит точки $A,$ $B,$ $M,$ в точки $C,$ $D,$ $N,$ соответственно.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126471

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B,$ а хорды $AM$ и $AN$ касаются этих окружностей. Треугольник $MAN$ достроен до параллелограмма $MANC$ и отрезки $BN$ и $MC$ разделены точками $P$ и $Q$ в равных отношениях. Докажите, что $∠AP Q =∠ANC.$

Показать доказательство

По теореме об углы между касательной и хордой углы $∠AMB$ и $∠NAB$ равны. Аналогично, $∠BAM = ∠BNA.$ Следовательно, треугольники $△AMB$ и $△NAB$ подобны по двум углам. Из подобия следует равенство отношений

AN MA CN AB- = MB-= MB-.

Осталось заметить, что

∠ABM = 180∘− ∠AMB − ∠BAM = 180∘− ∠MAN = ∠ANC,

а значит, $△ABM$ подобен $△ANC.$

$PIC$

Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в точке $A,$ переводящую $M$ в $B.$ Это преобразование переводит $C$ в $N,$ а значит, точка $Q$ переходит в $P.$ Таким образом, поскольку поворотная гомотетия сохраняет углы, $∠APQ = ∠ANC.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126472

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ( $AC = BC)$ $O$ — центр описанной окружности, $H$ — ортоцентр, $P$ — такая точка внутри треугольника, что $∘ ∠AP H =∠BP O = 90 .$ Докажите, что $∠PAC = ∠PBA = ∠PCB.$

Показать ответ и решение

Пусть $M$ — середина $AB.$ Тогда $B,O,P,M$ лежат на окружности с диаметром $OB,$ а $A,H, P,M$ лежат на окружности с диаметром $AH.$ Отсюда

∠PAH = ∠PMH =∠P MO = ∠PBO.

$PIC$

Видим, что $PAH ∼ PBO,$ иначе говоря, $P$ — центр поворотной гомотетии, переводящей $−−→ AH$ в $−−→ BO.$ Заметим, что

∠OBC =∠OCB =90∘− ∠ABC = ∠HAB = ∠HBA,

следовательно, $AHB ∼BOC.$ Это значит, что поворотная гомотетия, о которой говорилось выше, переводит также $B$ в $C.$

$PIC$

Значит, $PAB ∼ PBC,$ откуда $∠PCB = ∠PBA$ и $∠PBC = ∠PAB.$ Тогда $∠PAC = ∠BAC − ∠PAB = ∠CBA − ∠P BC = ∠PBA$ , и все доказано.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126473

На диагонали $BD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ выбрана такая точка $K$ , что $∠AKB = ∠ADC.$ Пусть $I$ и $I′$ — центры вписанных окружностей треугольников $ACD$ и $ABK$ соответственно. Отрезки $′ II$ и $BD$ пересекаются в точке $X.$ Докажите, что точки $A,$ $X,$ $I,$ $D$ лежат на одной окружности.

Показать доказательство

В треугольниках $ABK$ и $ACD$ углы $∠AKB$ и $∠ADC$ равны по условию, а углы $∠ABK$ и $∠ACD$ равны как вписанные, следовательно, рассматриваемые треугольники подобны, а значит, существует поворотная гомотетия с центром в точке $A,$ которая переводит один из них во второй.

$PIC$

При этом преобразовании точка $I′$ перейдет в точку $I,$ поскольку точки являются соответствующими в рассматриваемых треугольниках, а значит, отрезок $I′K$ перейдет в отрезок $ID.$ Но тогда существует поворотная гомотетия с тем же центром, при которой отрезок $II′$ перейдет в $KD,$ т.е. треугольники $AII′$ и $AKD$ подобны, откуда

∠I′IA =∠XDA

что доказывает выписанность четырехугольника $AXID.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#98447

Дан квадрат $ABCD.$ Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC,$ причем $BP = BQ.$ Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на отрезок $PC.$ Докажите, что $∘ ∠DHQ =90 .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Легко видеть, что треугольники BCH и BPH подобны. Поэтому стоит сделать некоторую поворотную гомотетию. Какую?

Подсказка 2

Правильно! Сделаем поворотную гомотетию с центром в точке H, которая переводит точку C в точку B, а точку B в точку P. Куда при этой поворотной гомотетии перейдет точка D?

Показать доказательство

Сделаем поворотную гомотетию, которая переводит точку $C$ в точку $B,$ а точку $B$ в точку $P.$ Такая есть в силу того, что треугольники $BCH$ и $P BH$ подобны. Очевидно, что поворотная гомотетия переводит вершины квадрата в вершины квадрата, а значит, точка $D$ перешла в вершину квадрата со стороной $BP,$ то есть в точку $Q$ . Осталось вспомнить, что угол нашей поворотной гомотетии равен $∘ 90,$ поэтому $∘ ∠DHQ = 90 .$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#98448

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ оказалось, что $∠BAC = ∠CAD = ∠DAE$ и $∠CBA = ∠DCA = ∠EDA.$ Отрезки $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $P.$ Докажите, что прямая $AP$ делит отрезок $CD$ пополам.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Легко видеть, что треугольники ABC и ADE подобны. Что тогда можно сказать про точку A?

Подсказка 2

Правильно! Точка A является точкой Микеля для четырехугольника CBDE. На каких окружностях тогда лежит точка A?

Подсказка 3

Верно! На окружностях (BCP) и (DEP). А что можно сказать про окружность (ABC), учитывая равенство углов ACD и ABC?

Подсказка 4

Точно! Окружность (ABC) касается прямой CD в точке C. Аналогично окружность (ADE) касается прямой CD в точке D. Что можно сказать теперь про середину отрезка CD?

Показать доказательство

Заметим, что треугольники $ABC$ и $ADE$ подобны, поэтому существует поворотная гомотетия, которая переводит отрезок $BC$ в отрезок $DE.$ Поэтому точка $A$ — точка Микеля для четырехугольника $CBDE,$ то есть лежит на окружностях $(ABP ),$ $(DEP).$ Заметим, что в силу равенства $∠ACD = ∠ABC$ следует, что окружность $(ABC )$ касается прямой $CD.$ Аналогично $CD$ касается окружности $(ADE ).$ Следовательно, середина $CD$ лежит на радикальной оси окружности $(ABC)$ и окружности $(ADE ),$ а радикальная ось этих окружностей совпадает с общей хордой этих окружностей, то есть с прямой $AP.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#98449

На сторонах $BC,$ $CA,$ $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB$ = $AC )$ выбраны такие точки $X,$ $Q,$ $P$ соответственно, что $AP XQ$ — параллелограмм. Докажите, что точка $Y,$ симметричная точке $X$ относительно $PQ,$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала обозначим углы при основании равнобедренного треугольника, а именно углы ABC и ACB за α. Какие еще углы на картинке равны α?

Подсказка 2

Верно! Углы PXB и CXQ равны тоже α. Поэтому есть такие равенства отрезков PY = PX =PB и QY = QX =QC. Теперь попробуйте найти еще одно равенство углов.

Подсказка 3

Еще равны углы BAC и PXQ. Угол PXQ равен еще одному углу. Какому? И что из нового равенства можно вывести?

Подсказка 4

Ага, угол PXQ равен еще углу PYQ, а значит, у нас точки A, P, Q, Y, лежат на одной окружности. Теперь надо понять, что мы хотим доказать про точку Y такое, что из этого будет следовать Y ∈(ABC).

Подсказка 5

Если мы докажем, что Y — точка Микеля для BPQC. Для этого достаточно доказать, что треугольники YPB и YQC подобны. Какое условие для этого достаточно, учитывая что эти треугольники равнобедренные?

Показать доказательство

Обозначим $∠ABC = ∠ACB = α.$ Тогда $∠PXB =∠CXQ = α.$ Следовательно, $∠PXQ$ и $∠BAC$ оба равны $180∘− 2α.$ Поэтому, точки $A,$ $P,$ $Q,$ $Y$ лежат на одной окружности, то есть углы $YPB$ и $YQC$ равны. Заметим, что мы хотим доказать, что $Y ∈ (ABC ),$ то есть, что $Y$ — точка Микеля для $BP QC.$ Для этого достаточно доказать, что существует поворотная гомотетия с центром в $Y,$ которая переводит треугольник $YP B$ в треугольник $YQC.$ Заметим, что $PY =P X =P B$ и $QY = QX =QC,$ и как мы уже показали выше $∠Y PB =∠Y QC,$ поэтому треугольники $BPY$ и $CQY$ подобные равнобедренные треугольники, а это нам и нужно.

$PIC$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#98450

На сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ построены как на основаниях равнобедренные треугольники $AFB$ и $BLC,$ причём один из них лежит внутри треугольника $ABC,$ а другой построен во внешнюю сторону. При этом $∠AF B = ∠BLC$ и $∠CAF =∠ACL.$ Докажите, что прямая $FL$ отсекает от угла $ABC$ равнобедренный треугольник.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будем считать, что F лежит внутри треугольника, а L снаружи. Пусть AF и CL пересекаются в точке X. Что тогда можно сказать про треугольник AXC?

Подсказка 2

Правильно! Он равнобедренный! А что можно сказать про точку B в силу подобий треугольников BFA и BLC?

Подсказка 3

Точно! Она является точкой Микеля для AFLC. То есть она лежит на окружностях (AXC) и (FXL). Теперь осталось просто посчитать нужные нам углы через угол FBA и угол XAC.

Показать доказательство

Будем считать, что $F$ лежит внутри треугольника, а $L$ снаружи. Пусть $AF$ и $CL$ пересекаются в точке $X.$ Тогда треугольник $AXC$ — равнобедренный. Заметим, что $B$ — центр поворотной гомотетии, которая переводит отрезок $AF$ в отрезок $CL,$ поэтому она лежит на окружности $(XAC )$ и окружности $(XF L).$ Пусть

∠FBA = ∠FAB = ∠LBC = ∠LCB = α

∠XAC = ∠XCA = β

Тогда $∠BLF =∠BXF = ∠BCA = β− α$ , поэтому угол между прямой $F L$ и $BC$ равен $β.$ Также $∠BAC = 180∘ − ∠BXC =$ $∠BFL,$ поэтому угол между прямой $FL$ и $AB$ тоже равен $β.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#98451

На сторонах $AB,$ $BC,$ $CD$ и $DA$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $K,$ $L,$ $M$ и $N$ так, что $AK ∕KB = DM ∕MC$ и $BL ∕LC = AN ∕ND.$ Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AKN,$ $BLK,$ $CML$ и $DNM,$ пересекаются в одной точке.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC в точке F, а S — точка Микеля для ABCD. Какие вписанные четырёхугольники можно найти из третей леммы о воробьях?

Подсказка 2

Верно! Точки S, E, K, M лежат на одной окружности и точки S, F, L, N лежат на одной окружности. Обозначим за X повторное пересечение этих окружностей. Теперь пока забудем про точки K, L, M, N, X. Что можно сказать про точку S, учитывая что четырехугольник ABCD вписанный?

Подсказка 3

Точно! Точки S, E, F лежат на одной прямой. Теперь докажем, что точка X — искомая точка пересечения четырёх окружностей. Для этого достаточно доказать, что X лежит на окружности (DMN). Попробуйте теперь посчитать углы.

Показать доказательство

Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E,$ а прямые $AD$ и $BC$ в точке $F.$ Пусть $S$ — точка Микеля для $ABCD.$ Тогда по третей лемме о воробьях получаем, что точки $S,$ $E,$ $K,$ $M,$ лежат на одной окружности и точки $S,$ $F,$ $L,$ $N,$ тоже лежат на одной окружности. Обозначим за $X$ второе пересечение этих окружностей. Заметим, что так, как $S$ — точка Микеля, то

∘ ∠BSE = ∠BCD = ∠BAF = 180 − ∠BSF

поэтому точка $S$ лежит на прямой $EF.$ Докажем, что $X$ искомая точка пересечения окружностей. Для этого достаточно доказать, что точка $X$ лежит на окружности $(DMN ).$ Но это понятно в силу того, что

∘ ∘ ∠MXN = 360 − ∠MXS − ∠NXS = ∠EFD + ∠FED = 180 − ∠MDN

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#98452

Дан остроугольный треугольник $ABC,$ в котором $AC <BC.$ Окружность проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $CA$ и $CB$ повторно в точках $A1$ и $B1$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ABC$ и $A1B1C$ пересекаются повторно в точке $P.$ Отрезки $AB1$ и $BA1$ пересекаются в точке $S.$ Точки $Q$ и $R$ симметричны $S$ относительно прямых $CA$ и $CB.$ Докажите, что точки $P,$ $Q,$ $R$ и $C$ лежат на одной окружности.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про центр поворотной гомотетии, которая переводит точку A в B, а точку A₁ в точку B₁?

Подсказка 2

Верно! Он совпадает с точкой P. Обозначим за f эту поворотную гомотетию. Что можно сказать про угол поворота этой гомотетии?

Подсказка 3

Точно! Он равен углу C. Что можно сказать про треугольники AQA₁ и BB₁S, учитывая что четырёхугольник AA₁B₁B вписанный?

Подсказка 4

Правильно! Они подобны и одинаковы ориентированы в силу того, что треугольники AQA₁ и ASA₁ равны, а треугольники ASA₁ и BB₁S подобны. Что можно сказать про образ точки Q при f?

Подсказка 5

Ага, точка Q перейдет в точку S! Тогда мы знаем, что угол QPS равен углу С. А значит, аналогично можно понять, что угол RPS равен углу C. Осталось проверить, что углы QPR и QCR равны.

Показать доказательство

Заметим, что $P$ — точка Микеля для $AB A B, 1 1$ а значит, существует поворотная гомотетия, которая переводит отрезок $AA 1$ в $BB1.$ У этой поворотной гомотетии угол поворота равен $∠C.$ Обозначим эту поворотную гомотетию за $f.$ Легко видеть, что треугольники $AA1S$ и $BB1S$ подобны, а треугольник $AA1S$ равен треугольнику $AA1Q,$ поэтому треугольники $AA1Q$ и $BB1S$ подобны, а еще одинаково ориентированы. Следовательно, при $f$ точка $Q$ перейдет в точку $S,$ а значит, $∠QP S = ∠C.$ Аналогично $∠RPS = ∠C.$ Поэтому $∠QP R= 2∠C.$ Но $∠QCR$ также равен удвоенному углу $C$ в силу того, что он состоит из $∠C$ и двух частей, которые в сумме дают $∠C.$ Поэтому точки $C,$ $P,$ $Q,$ $R,$ лежат на одной окружности.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#70484

Высоты $AA ,BB ,CC 1 1 1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H.$ На касательную, проведенную из точки $C$ к описанной окружности треугольника $AB1C1,$ опущен перпендикуляр $HQ$ (точка $Q$ лежит внутри треугольника $ABC$ ). Докажите, что окружность, проходящая через точку $B1$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A,$ касается также и прямой $A1Q.$

Источники: СпбОШ - 2022, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На картинке даны какие-то касательные, присутствуют хорды - ну не просто же так! Стоит отметить равные между собой вписанные уголки в двух окружностях. Хочется доказать, что A₁Q- касательная…нет ли случайно походе конструкции на чертеже?

Подсказка 2

Из того, что AB - касательная, следует, что в двух окружностях на чертеже есть отсеченные дуги, равные удвоенному углу CAB. Мы знаем, что CQ - касательная. А хочется, чтобы A1Q стала касательной…можно ли их как-то связать? А как связать между собой окружности?

Подсказка 3

Если мы найдем преобразование, которой переведет СQ в А1Q, а окружности друг в друга, то мы сможем доказать, что A1Q тоже является касательной!

Показать доказательство

Обозначим через $s 1$ описанную окружность треугольника $AB C , 1 1$ а через $s 2$ — окружность, проходящую через точку $B 1$ и касающуюся прямой $AB$ в точке $A.$ Хорды $B1C1$ и $B1A$ этих окружностей отсекают от них дуги одинаковой угловой величины. В самом деле, половины этих дуг в обоих случаях равны $∠B1AC1$ : для окружности $s1$ это вписанный угол, а для $s2$ — угол между касательной и хордой.

Заметим также, что угол между прямыми $CC1$ и $CQ$ равен углу между прямыми $AA1$ и $A1Q:$ эти вписанные углы опираются на одну дугу $HQ$ в окружности с диаметром $CH.$

$PIC$

Точку пересечения прямой $AA1$ с окружностью $s2$ обозначим через $P$ и выделим на картинке два фрагмента: в окружности $s1$ проведена секущая $HC1,$ и на ней выбрана точка $C;$ в окружности $s2$ проведена секущая $AP,$ и на ней выбрана точка $A1.$ В каждом из этих двух фрагментов из точек на секущих проведены прямые под одинаковыми углами к секущим: $CQ$ и $A1Q.$ Первая из них касается $s1,$ и нам нужно доказать, что вторая касается $s2.$ Для доказательства нужно установить, что две описанные конфигурации подобны. Мы проверим это двумя способами. Углы треугольника, как обычно, будем обозначать греческими буквами, соответствующими названиям вершин.

Способ 1.(подсчёт отношения отрезков)

Угловые величины отсекаемых секущими дуг равны, поэтому остаётся проверить, что $ACP1H = ACA1C1.$ Отношение хорд $AP$ и $C1H$ (стягивающих равные дуги) равно отношению диаметров окружностей. Диаметр окружности $s1$ равен $AH;$ диаметр окружности $s2$ равен $sin∠ACB11AB1 =sAinB∠1A .$ Таким образом, $CA1PH = AHAsBin1α-= sisinnγα.$ С другой стороны, отношение высот $ACAC11$ равно отношению сторон $ABBC,$ которое по теореме синусов тоже равно $sisinnγα.$

$PIC$

Способ 2.(Поворотная гомотетия)

Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в точке $B1,$ переводящую точку $C1$ в $A$ и $C$ в $A1.$ Она существует, ибо треугольники $B1C1A$ и $B1CA1$ подобны(и подобны треугольнику $BAC$ ). Окружность $s1$ перейдёт в $s2,$ ибо друг в друга переходят хорды $B1C1$ и $B1A,$ отсекающие равные дуги. При этом секущая $CC1$ окружности $s1$ переходит в секущую $AA1$ окружности $s2,$ и, следовательно, точка $H$ переходит в точку $P.$ Значит, первый фрагмент переходит во второй.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#86260

Пусть $A$ — одна из точек пересечения окружностей $ω 1$ и $ω 2$ с центрами $O 1$ и $O . 2$ Общая касательная к $ω 1$ и $ω 2$ касается их в точках $B$ и $C.$ Пусть $O3$ — центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Обозначим через $D$ такую точку, что $A$ — середина отрезка $O3D.$ Пусть $M$ — середина $O1O2.$ Докажите, что $∠O1DM = ∠O2DA.$

Показать доказательство

Нам нужно доказать, что $DA$ — симедиана треугольника $DO O . 1 2$ Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC.$ Тогда $∠O1BA = ∠BAH =∠O3AC.$ Но тогда равнобедренные треугольники $AO1B$ и $AO3C$ подобны. Следовательно, $O1A AB- O3A = AC.$ Аналогично $O3A AB- O2A = AC.$ Но тогда $O1A -DA DA = O2A,$ следовательно $A$ — центр поворотной гомотетии треугольников $O1AD$ и $DAO2,$ но как мы знаем, такая точка лежит на симедиане.

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#94017

Точка $O$ — центр описанной окружности $Ω$ остроугольного треугольника $ABC.$ На сторонах $AB,AC$ выбраны точки $D,E$ соответственно. Прямая, проходящая через $A$ перпендикулярно $DE,$ пересекает описанную окружность треугольника $ADE$ и окружность $Ω$ в точках $P,Q$ соответственно. Пусть $N$ — точка пересечения отрезков $OQ$ и $BC,S$ — точка пересечения лучей $OP$ и $DE,$ а $W$ — ортоцентр треугольника $SAO$ . Докажите, что точки $S,N, O,W$ лежат на одной окружности.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче много окружностей, поэтому нужна точка Микеля. Постройте точку Микеля прямых BD, DE, EC, CB. Какие-нибудь пересечения прямых с какими-нибудь окружностями, найдите вписанности и перпендикулярности.

Подсказка 2

Точка Микеля - центр поворотной гомотетии, переводящей D в B, E в C. Рассмотрите эту гомотетию, заметьте подобие, отметьте еще уголочки.

Подсказка 3

Докажите, что SONV вписанный, где V - пересечение AS и (ABC). После этого, воспользуюсь тем, что W - ортоцентр, поймите вписанность пятиугольника SNOWV.

Показать доказательство

Обозначим через $V = AS ∩(ABC),$ $L =(ADE )∩(ABC ),$ $F = DE ∩BC,$ $J = (LSF V)∩ BC ⁄=F,$ $H = QJ ∩(ABC ),$ $G = VN ∩(ABC ),$ $K = AP ∩DE$ и $M = OP ∩(LSFV).$

Точка $L$ является точкой Микеля прямых $BD,DE, EC,CB,$ поэтому точки $L,D,B,F$ лежат на одной окружности. Тогда $∠LQP = ∠LQA = ∠LBA = ∠LBD = ∠LFK,$ следовательно четырёхугольник $LKQF$ вписанный, а так как $QK ⊥F K,$ то имеем $∘ 90 = ∠QLF.$ Следовательно, прямые $FL$ и $OQ$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$ в точке, диаметрально противоположной $Q.$ Назовем эту точку $I.$ Также, $∠VQN = ∠VQI = ∠VLF = ∠VJF,$ поэтому $VJNQ$ является вписанным. Итак, $∠QJN =∠QV N = ∠QVG = ∠QHG,$ поэтому $HG∥BC.$

Поскольку $L$ — точка Микеля прямых $BD,DE,EC,CB,$ то существует поворотная гомотетия с центром в точке $L,$ переводящая точку $D$ в точку $B,$ точку $E$ в точку $C,$ описанную окружность $ADE$ в описанную окружность $ABC,$ точку $P$ в точку $Q,$ а тогда и точку $S$ в точку $J,$ поскольку точки $L,S,J,F$ лежат на одной окружности. Значит, треугольник $DSP$ подобен треугольнику $BJQ.$ Имеем, в силу подобия этих треугольников и равенства дуг $CG$ и $BH,$

∠QJN = ∠QVN = ∠CAQ + ∠CAG = ∠PDE + ∠BQJ =

= ∠PDE + ∠DPS = ∠PSE = ∠MSF = ∠MJF

поэтому точки $M,J,Q$ лежат на одной прямой.

$PIC$

Таким образом,

∠SON = 180∘− ∠QMO − ∠OQM = 180∘ − ∠JF S− ∠NQJ =

= 180∘− ∠JV S− ∠NVJ = 180∘− ∠SVN

откуда четырёхугольник $SONV$ вписанный.

Наконец, поскольку $W$ является ортоцентром $SAO, ∠SW O= ∠SAO = ∠OV S,$ что означает, что точка $W$ лежит на описанной окружности четырёхугольника $SONV.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#82164

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC.$ Точка $A , 1$ лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $ω,$ удовлетворяет условию $∠BA1P = ∠CA1Q.$ Точки $B1$ и $C1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA1,BB1$ и $CC1$ пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Пусть $A′ 1$ — точка Микеля прямых $BP,BQ,CP$ и $CQ.$ Тогда

′ ∘ ∘ ∘ ∠BA 1C = (180 − ∠BPC )+(180 − ∠BQC )= 180 − ∠BAC

следовательно, $A′ 1$ лежит на $ω.$ Кроме того, $A′ 1$ — центр поворотной гомотетии, переводящей $B$ в $P,$ а $Q$ в $C$ (а также центр поворотной гомотетии, переводящей $B$ в $Q$ и $P$ в $C$ ). Поэтому $∠BA′P =∠CA ′Q. 1 1$ Значит, $A ′ 1$ совпадает с $A1$ (условие $∠BA P = ∠CA Q 1 1$ однозначно определяет точку $A , 1$ поскольку при её движении по дуге один из углов возрастает, а другой убывает).

$PIC$

Тогда, поскольку треугольник $A1BP$ подобен треугольнику $A1QC,$ а треугольник $A1BQ$ — треугольнику $A1PC.$ Мы получаем, что

BA1-= BA1-⋅ PA1-= BQ-⋅ BP-= BP-⋅BQ A1C A1P A1C PC QC CP ⋅CQ

Найдя аналогично отношения $CB1 B1A$ и $AC1-, C1B1$ получим, что произведение трёх найденных отношений равно единице. По теореме Чевы получаем, что главные диагонали вписанного шестиугольника $AC1BA1CB1$ пересекаются в одной точке.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#47913

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D,$ что $BD = CD,∠BDC = 120∘.$ Вне треугольника $ABC$ взята такая точка $E,$ что $∘ AE = CE,∠AEC = 60$ и точки $B$ и $E$ находятся в разных полуплоскостях относительно $AC.$ Докажите, что $∘ ∠AFD = 90 ,$ где $F$ — середина отрезка $BE.$

Источники: ММО-2017, 11.4, автор - О.Н. Косухин, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать, что угол равен 90 градусов. Наверное, мы понимаем, что углы считать тут совсем никак не выйдет. У нас есть какая-то непонятная точка D и не менее понятная точка E, и всё это завязано ещё с F. Жуть... Поэтому подумаем, как это можно доказать с помощью векторов. О каком тогда преобразовании плоскости можно вспомнить?

Подсказка 2

Верно, можно попробовать вспомнить про поворот и к тому же ещё увеличивать длину вектора, потому что отрезки у нас, к сожалению, различные, а так мы решим эту проблему. То есть будем доказывать, что повернув DF против часовой на 90 градусов и увеличив его, мы получим AF. Давайте обратим внимание на то, что нам дали равнобедренные треугольники с хорошими углами. Что можно тогда отметить в них, учитывая данную середину F в треугольнике BEC?

Подсказка 3

Ага, можно отметить середины сторон BC и EC. Тогда у нас будут две средние линии в треугольнике BEC. Вернёмся к нашим искомым векторам. Они у нас снова немного плохие, потому что ни с чем не связаны на картинке. Как тогда можно попробовать их выразить?

Подсказка 4

Да, их можно выразить через сумму векторов по правилу треугольника - это сумма средней линии и серединного перпендикуляра. Осталось только вспомнить, что если повернуть сумму векторов на угол, а потом увеличить их - это будет тоже самое, если сначала один из векторов повернуть на угол и увеличить, а потом аналогично со вторым. Теперь можно в явном виде записать то, что нам надо доказать, и понять, во сколько раз мы увеличиваем отрезки, используя углы равнобедренных треугольников.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $K,L$ — середины $BC,CE$ соответственно. Отсюда $FL$ и $FK$ — средние линии $△EBC.$ Тогда выполнены равенства $−→ −−→ FL= BK$ и $−F−→K = −L→C.$ Пусть $Φ$ — преобразование на векторах, которое поворачивает вектор на $90∘$ против часовой стрелки, а затем увеличивает в $√3-$ раз. Тогда выполнено

Φ(−D−→K )= −−C→K =−L→F

Φ(−K−→F )=Φ (−C→L )=−A→L

Так как для поворотной гомотетии верно $−→ −→ Φ(−→a + b)= Φ(−→a)+ Φ(b),$ то

Φ(−−D→F )=Φ (−D−→K + −K−→F )= −→LF + −A→L =−A→F

Откуда и следует нужная перпендикулярность.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#119493

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ Точки $H$ и $O$ — его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к $BH$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $A1$ и $C1.$ Докажите, что $OB$ — биссектриса угла $A1OC1.$

Показать доказательство

$PIC$

Как известно, направления на центр описанной окружности и ортоцентр изогональны, поэтому $∠ABO =∠HBC.$ Заметим, что треугольники $ABO$ и $HBC1$ гомотетичны, а значит, в точке $B$ существует поворотная гомотетия, переводящая один треугольник в другой. При такой гомотетии $H$ переходит в $A,$ а $C1$ — в $O.$ Значит, треугольники $ABH$ и $OBC1$ подобны. Отсюда получаем равенство углов $BAH$ и $BOC1.$ Аналогично можно получить равенство углов $A1OB$ и $HCB.$ Осталось заметить, что углы $BAH$ и $BCH$ равны, потому что в окружности $AA1C1C$ они стягивают одну хорду. Получили требуемое.