Теорема Виета для многочленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Про положительные числа 
, 
, 
известно, что 
и
Докажите, что ровно одно из чисел 
, 
и 
больше 
.
Подсказка 1!
1) Хм, заметим, что у нас выражения, про которые написана задача, очень похожи на выражения корней из теоремы Виета для кубических уравнений! Но в задаче нет уравнения, давайте его сделаем!
Подсказка 2!
2) Верно, нам подойдет уравнение (x-a)(x-b)(x-c) = 0! Посмотрим, что теперь значит наше условие в таком контексте..
Подсказка 3!
3) Оно означает, что для x>1 у нашего уравнения должна быть всего одна точка пересечения с осью абсцисс. (один корень) Попробуем это доказать!
Первое решение.
Рассмотрим многочлен
Из условия следует, что 
и все корни многочлена положительны. Тогда 
, а для кубического многочлена
при 
, так что в силу непрерывности при 
найдутся одна или три точки пересечения 
с осью абсцисс.
Три точки найтись не могут, так как произведение корней не может быть больше единицы (по теореме Виета оно равно
единице).
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Рассмотрим неравенство
По условию оно верно в силу 
. Тогда
И скобки либо все положительные, либо положительная только одна. В первом случае все числа больше единицы, но это противоречит
условию 
. Значит, ровно одно число больше единицы.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
