Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела многочлены
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#89617

Известно, что целые числа a  , b  , c  удовлетворяют равенству a +b+ c= 0  . Докажите, что 2a4+ 2b4+ 2c4  — квадрат целого числа.

Показать доказательство

Требуется доказать, что 2(a4+ b4+c4)= t2.  Рассмотрим P(x)= (x− a)(x− b)(x− c)= x3+ tx2+ kx− n.  Запишем теорему Виета для P (x):

(  t= −(a +b+ c)=0
|{
|(  k= ab+ac+ bc
   abc =n

Запишем через данные многочлены a2+b2+ c2.

 2  2   2         2
a + b +c = (a+b+ c) − 2(ab +ac+ bc)= −2k

a2 +b2+ c2 =− 2k

Выразим a4+b4+ c4 :

a4+b4+ c4 = (a2+ b2 +c2)2 − 2(a2b2+ a2c2+ b2c2)= (−2k)2− 2(ab+ ac+ bc)2+ 4abc(a+b+ c)= 4k2− 2k2 = 2k2

Тогда получили, что 2(a4+ b4 +c4)=2 ⋅2k2 = (2k)2,  что и требовалось доказать.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!