Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#880

Сто шестнадцать одинаковых крокодилов выпивают полный бассейн воды за один день. Каждое утро уборщик проверяет бассейн, и если бассейн не полный, то уборщик доливает в него фиксированное количество воды (всегда одинаковое). Известно, что однажды шесть крокодилов выпили бассейн за двадцать один день. За сколько дней бассейн выпьют два крокодила?

Показать ответ и решение

За $21$ день шесть крокодилов выпили столько же воды, сколько её выпили бы $6 ⋅ 21 = 126$ крокодилов за день (все крокодилы одинаковые). При этом известно, что полный бассейн за день выпивают $116$ крокодилов. Но зачем тогда понадобились ещё $126 − 116 = 10$ крокодилов?

Дело в том, что каждое утро, кроме первого, в бассейн доливали воду. Тогда эти $10$ крокодилов понадобились, чтобы выпить всё то, что долил уборщик (а он доливал воду $21 − 1 = 20$ раз).

Таким образом, уборщик каждое утро доливал $10 : 20 = 0,5$ от суточной нормы одного крокодила. Будем называть долитую уборщиком воду новой, а воду, которая изначально была в бассейне, старой. Можно считать, что один из двух крокодилов каждый день сначала выпивает всю новую воду, а потом принимается за старую.

Посчитаем, сколько старой воды каждый день, кроме первого, выпивают два крокодила вместе. Ответом будет полуторная норма одного крокодила.

В итоге, можно считать, что уборщик воду не доливает, но каждый день (кроме первого) воду пьют не два, а полтора крокодила :) Так как полный бассейн – это $116$ крокодильих норм, то после первого дня на долю полутора крокодилов придётся $116 − 2 = 114$ норм, которые они выпьют за $114 : 1,5 = 76$ дней. Тогда, с учётом первого дня, ответ $76 + 1 = 77$ .

Ответ: 77

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103888

Пристань $A$ находится выше по течению реки, чем пристань $B.$ Из $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Достигнув пристани $A,$ моторная лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент, когда он проплыл $2∕3$ расстояния между $A$ и $B.$

Найти время, которое затрачивает плот на путь из $A$ в $B,$ если моторная лодка проплывает из $B$ в $A$ и обратно за $3$ ч.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим расстояние между пунктами как s, скорость реки за v, скорость лодки за w. Попробуем записать условие того, что время, которое плот потратил на 2/3 пути, равно времени, за которое лодка проплывет против течения, развернется и догонит лодку.

Подсказка 2

Это только первая часть условия, теперь нужно записать условие на то, как за 3 часа лодка проплывает туда и обратно.

Подсказка 3

Система может пугать, но можно заметить, что в ней нередко присутствует v/s и w/s. Поэтому имеет смысл сделать замену!

Подсказка 4

После замены x = v/s, y = w/s из первого уравнения можно прийти к квадратному относительно y, тогда можно выразить y через x ;)

Показать ответ и решение

Пусть $s$ — расстояние между пунктами $A$ и $B$ , $v$ — скорость течения реки, $w$ — скорость моторной лодки в стоячей воде. Тогда

{ 2s -s- --2s- 3vs = w−vs-+3(w+v) w−v + w+v = 3

Полагая $x = v,y = w- s s$ , запишем систему в виде

{ -2= -1- +--2-- 3x1- y−x1- 3(x+y) y−x + y+x =3

Первое из уравнений системы приводится к однородному уравнению $2y2− 5xy− 3x2 = 0$ , откуда $y =3x$ . Подставив это выражение во второе уравнение системы, получаем $x = 1 4$ , откуда $1 = 4 x$ .

Ответ: 4 часа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103889

Грузчики $A$ и $B$ работали одинаковое число часов. Если бы грузчик $A$ работал на $1$ ч меньше, а $B$ — на $7$ ч меньше, то $A$ заработал бы $72$ тыс. руб., а $B$ — $64,8$ тыс. руб. Если бы $A$ работал на $7$ ч меньше, а $B$ – на $1$ ч меньше, то $B$ заработал бы на $32,4$ тыс. руб. больше, чем $A.$ Сколько заработал каждый грузчик?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть за t часов работы грузчик A заработал x тыс. рублей, а B — y тыс. рублей. Сколько тогда грузчики получают за час? Запишем уравнение по условиям.

Подсказка 2

За час первый грузчик получает x/t тыс. рублей, а второй — y/t тыс. рублей. Тогда несложно записать работу в t-1 часов, в t-7 часов и зарплату за это время.

Подсказка 3

Из уравнений на зарплаты можно выразить (t-1)/t и (t-7)/t. А эти выражения как раз используются в третьей уравнении!

Подсказка 4

В полученном после подстановки уравнении присутствует x/y и y/x. Тогда имеет смысл домножить на одно из них и получить квадратное уравнение ;)

Показать ответ и решение

Пусть за $t$ часов работы грузчик $A$ заработал $x$ тыс. руб., а $B$ — $y$ тыс. руб. Используя условия задачи, составляем систему уравнений

( x |{ (t− 1)ty = 72 |( (t− 7)ty = 64,8 x (t− 1)t − (t− 7)t = 32,4

Из первых двух уравнений системы находим

t− 1 72 t−-7 64,8 t = x , t = y

а из этих равенств и третьего уравнения системы получаем уравнение

72yx − 64,8xy = 32,4

20(y)2− 9(y) − 18= 0 x x

y 6 x = 5

Разделив второе уравнение системы на первое, получаем

6 t− 7 64,8 5 ⋅t−-1 =-72

t− 7-= 3, t− 1 4

откуда $t= 25$ .

Тогда из первого уравнения системы находим, что $x= 75$ , откуда $y =90.$

Ответ:

Грузчик $A$ заработал 75 тысяч рублей, а грузчик $B$ заработал 90 тысяч рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#103891

Два велосипедиста движутся по кольцевой велотрассе длины $s,1 5$ часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по городским улицам. Скорость первого велосипедиста на стадионе равна $v,$ а на городских улицах равна $16- 3 v.$ Скорость второго велосипедиста на стадионе равна $4v,$ а на городских улицах $16 5 v.$ Велосипедисты одновременно въезжают на стадион. Через какое время после этого один из них впервые совершит обгон другого?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для каждого велосипедиста посчитаем время, за которое они проезжают полный круг!

Подсказка 2

Обе полученные величины выражаются через s/v, так что можно сделать замену! Теперь нам нужно проанализировать, кто кого догонит и при каких условиях?

Подсказка 3

Первый проезжает круг за 7a/20, а второй — за 6a/20, где a = s/v. Тогда второй обгонит первого, значит, нам надо посчитать, сколько же кругов должно произойти до обгона. Но для этого надо подумать, где же произойдет обгон.

Подсказка 4

Обгон произойдет на стадионе, поэтому необходимо обозначить за x часть пути, которую второй проедет по стадиону до обгона на своем последнем кругу до этого. Времени, которое выигрывает второй за счёт прохождения круга, должно хватить, чтобы пройти целый круг. Сколько тогда кругов пройдет второй до первого обгона?

Подсказка 5

Второй до первого обгона проедет 5 полных кругов! Осталось записать условие на то, что до обгона велосипедисты потратили одинаковое число времени, чтобы проехать свои дистанции.

Показать ответ и решение

Первый велосипедист проезжает полный круг за время

s 4s- 7 s t1 = 5v + 156v= 20a, где a = v, 3

а второй — за время

-s5 -45s -6 t2 = 4v + 165v= 20a.

Поэтому второй велосипедист догонит первого, если проедет на круг больше, чем первый, причём это произойдет на стадионе, поскольку там скорость второго больше, чем у первого.

Пусть $t$ — время от начала движения до момента, когда второй совершит обгон первого; $l$ — число целых кругов, пройденных до обгона вторым велосипедистом; $x$ — часть пути по стадиону, пройденная велосипедистами после $l$ кругов, пройденных вторым.

Так как на полный круг первый затрачивает на $τ = t2 − t1 = 120a$ больше, чем второй, то второй, отрываясь от первого, догонит первого, когда выигрыша во времени будет достаточно, чтобы второй проехал круг. Поэтому второму достаточно проехать 5 полных кругов $(l=5)$ , чтобы затем на стадионе обогнать первого. Из условия равенства времени $t$ движения каждого его участника с учётом пройденного пути получаем систему уравнений

{ t= (l− 1)2 70a+ xa5 t= l2 60a+ x 120a

откуда (при $l= 5$ ) находим

4⋅ 7-+ x =5 ⋅ 6-+ 1-x, x= 2, t= 23a 20 5 20 20 3 15

Ответ:

$-23s 15v$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#104125

Набор пряжи в интернет-магазине стоит 620 руб., а при оплате за 20 или более наборов предусмотрен кешбэк в размере $15%$ от внесённой суммы. Как, имея изначально 30000 руб., приобрести максимально возможное количество таких наборов? Определите это количество.

Источники: Миссия выполнима - 2025, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы купить как можно больше пряжи, нам хотелось бы суммарно иметь как можно больше денег ;) Получать деньги "сверху" мы можем при помощи кешбека. Тогда имеет место попробовать сначала оценить, а насколько много кешбека нам может накапать?

Подсказка 2

На наши 30000 кешбека накапает не более 0.15 * 3000. А сколько накапает кешбека на полученный кешбек? А далее, если продолжать такую цепочку?

Подсказка 3

В итоге получится геометрическая прогрессия со знаменателем 0.15, а значит, мы можем посчитать ее сумму!

Подсказка 4

Отлично, оценка на 56 наборов есть! Теперь мы можем построить пример, основываясь на стратегии получения денег из оценки ;)

Показать ответ и решение

Имея изначально 30000 руб., можно получить максимум $0,15⋅30000 =4500$ руб. кэшбэком. Но на эти деньги тоже мог быть начислен кэшбэк, который в теории можно было бы дополнительно потратить и получить ещё кэшбэк и так далее. В итоге всего денег будет не больше

30000 30000+ 30000⋅0,15+ ...≤ 1−-0,15 < 35295 (руб.)

Поэтому заведомо получается, что больше 56 наборов пряжи купить не получится, ведь $57 ⋅620= 35340$ уже больше $35295.$

А вот 56 наборов можно добыть следующим алгоритмом.

Покупаем сначала 20 наборов, остаётся

30000− (620⋅20)⋅(1− 0,15)= 19460 (руб.)

Теперь за счёт начисленного кэшбэка нам хватает купить ещё 31 комплект (на изначальные деньги сразу 51 комплект мы бы купить не смогли, потому что кешбэк отличается от скидки начислением денег уже после покупки), остаётся

19460− (620⋅31)⋅(1− 0,15)=3123 (руб.)

И оставшихся денег нам хватает заплатить ещё за 5 наборов, ведь $620 ⋅5 <3123.$

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104693

У Тани имеется сосуд, заполненный раствором кислоты в воде. Масса раствора 3 кг, процентное содержание кислоты в растворе равно $89,76%$ . Таня несколько раз совершает следующую операцию. Таня доливает в сосуд 1 кг кислоты, а затем выливает из сосуда 1 кг раствора. Сколько раз Таня совершила эту операцию, если процентное содержание кислоты в растворе стало равным $97,57%?$

Источники: ОММО - 2025, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, что происходит с содержанием и массой раствора после совершения операции. Может, можно получить какую-то зависимость между количеством операций и массой одного из компонентов?

Подсказка 2

Как изменится масса кислоты в растворе после одной операции? А после k операций?

Подсказка 3

Из исходных данных можно найти массу кислоты в растворе до совершения операций и после, ведь после каждой операции масса раствора остается неизменной. Зная это и зависимость между массой кислоты в растворе и количеством операций, получится ли составить какое-то уравнение для нахождения количества совершённых операций?

Показать ответ и решение

Запишем как меняется масса кислоты при одной операции

3 (m +1)⋅4,

где $m$ — начальная масса кислоты

Сделаем $k$ таких операций

(( ) ) ( )k ( )k ( )k−1 (m +1)⋅ 3 +1 ⋅ 3+ 1 ⋅⋅⋅⋅= m ⋅ 3 + 3 + 3 + ⋅⋅⋅+ 3 4 4 4 4 4 4

По формуле геометрической прогрессии получаем

( 3)k m ⋅( 3)k+ 3 ⋅ 1−-4--- 4 4 1− 3 4

Подставим начальную и конечную массу кислоты и найдем $k$

(3)k ( ( 3)k) 3⋅0,8976⋅ 4 +3⋅ 1− 4 =3⋅0,9757

Сделаем замену $( )k t= 3 4$

3⋅0,8976 ⋅t+ 3⋅(1− t)= 3⋅0,9757

Откуда получаем

( )5 t= 243-= 3 1024 4

Следовательно, $k= 5.$

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#118414

Три брата возвращались с совместной рыбалки домой, где их ожидал бочонок холодного кваса. Старший брат шел втрое медленнее младшего и вдвое медленнее среднего. Придя домой, младший сразу принялся за бочонок и выпил $7$ -ю его часть к приходу среднего брата, который присоединился к младшему и стал поглощать квас с такой же скоростью. Досталось ли кваса старшему брату?

Показать ответ и решение

Пусть старший брат был в пути $6t$ времени. Так как старший брат шел втрое медленнее младшего, то младший добрался домой в три раза быстрее – за $6t:3= 2t.$ Тогда аналогично средний брат прошел путь за $6t:2 =3t$ времени.

Младший брат до прихода среднего пил квас $3t− 2t= t$ времени и выпил $1 7.$ Значит, скорость, с которой он пил, равна $1 1- 7 :t= 7t.$ Младший до прихода старшего пил $6t− 2t= 4t$ времени, а средний $6t− 3t=3t$ времени. Тогда вместе они выпили:

1 1 7t ⋅4t+ 7t ⋅3t= 1

Значит, к приходу старшего они выпили всю бочку кваса.

Ответ:

Нет, не осталось

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#120575

Катя участвует в викторине: ей надо выбрать из нескольких ответов на вопрос один верный. Если она угадает, то получит приз, составляющий некое фиксированное количество рублей, а если назовёт неверный ответ, то потеряет некую (тоже фиксированную) сумму. Изначально Катя планировала выбирать ответ случайным образом, что приносило ей в среднем $100$ рублей. Однако, подумав над вариантом А, Катя осознала, что он точно неверный, и можно выбрать случайным образом из остальных вариантов. В результате математическое ожидание Катиного выигрыша удвоилось. Подумав над вариантом В, Катя отбросила и его, в результате математическое ожидание выигрыша снова удвоилось. Сколько рублей составляет приз?

Источники: ФЕ - 2025, 11.1(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введём переменные, чтобы записать в виде уравнения все процессы из условия. Пусть P — величина приза, S — величина штрафа, n — количество вариантов ответа. Как записать матожидание выигрыша до отбрасывания ответов?

Подсказка 2

У нас один из n вариантов с выигрышем, равным P, а (n-1) из n вариантов с выигрышем -S.

Подсказка 3

P/n - S(n-1)/n = 100. Теперь по аналогии можно составить целую систему!

Подсказка 4

Выразите двумя способами P + S, это поможет найти n!

Показать ответ и решение

Пусть $P$ — величина приза, $S$ — величина штрафа (по модулю), $n$ — количество вариантов ответа. Тогда из условия следует система

(| P S(n− 1) ||||{ -n −---n---= 100, --P- − S(n-− 2)= 200, ||||| n −P 1 Sn(n−−1 3) ( n-− 2 −-n−-2-= 400

После преобразований получаем

( ||| P +-S-= S+ 100, |{ P +nS-= S+ 200, ||| nP− + 1S |( n−-2-= S+ 400

Вычитая из второго уравнения первое и из третьего уравнения второе, получаем:

( ( ) ||{ (P +S) -1--− 1 =100 | ( n−1 1 n1 ) |( (P +S) n−-2 − n−-1 =200

Приведем подобные слагаемые в скобках левых частей и разделим первое уравнение на второе

(n-− 1)(n-− 2)= 1 n(n − 1) 2

Тогда $n(n− 1)= 2(n− 1)(n− 2).$ Изначально у кати было как минимум $3$ возможных варианта ответа, поэтому $n >1.$ Тогда уравнение можно разделить на $n− 1.$ Имеем $n = 2n − 4,$ откуда $n= 4.$ Подставим это $n$ в уравнения системы и получим

(|{ P +-S 4 = S+ 100, |( P +3S-= S+ 200,

Мы оставили только два уравнения, поскольку число неизвестных уменьшилось на $1.$ Из этой системы следует, что

P + S =4S +400= 3S+ 600

тогда $S =200.$ Следовательно, $P =1000.$

Ответ:

$1000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#121575

Экран, защищающий от сканирования мыслей, отражает $40%$ падающего на него излучения, $21%$ пропускает, а остальное поглощает. Все коэффициенты (проценты) не зависят от угла падения лучей и от того, с какой стороны они падают на экран. Какой процент сканирующих лучей не будет пропущен, если поставить последовательно два таких экрана?

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.2(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будет полезно принять падающий на систему из двух экранов поток за единицу. Подумайте, какую систему уравнений можно составить?

Подсказка 2

Попробуйте с учётом всех отражений рассмотреть по отдельности: часть потока между экранами; часть, отраженная от второго экрана; и часть, которая пройдет через второй экран.

Показать ответ и решение

Примем падающий на систему из двух экранов поток за единицу.

Обозначим (с учетом всех отражений) за $x$ часть потока, которая идет между экранами от первого ко второму, за $y$ — часть потока, которая отразится от второго экрана внутрь двойной системы, а через $v$ — часть, прошедшую через оба экрана. Тогда

( |{ x =0,21+ 0,4y |( y =0,4x v =0,21x

Из первых двух уравнений легко ищется $x= 0,25.$ Следовательно, $v = 0,0525.$ Тогда не будет пропущено $1− v = 1− 0,0525= 0,9475= 94,75%$ лучей.

Ответ:

$94,75%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#122415

Назовём подмножество $A$ плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой $ℓ$ той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие $f :ℓ→ A,$ что для всяких двух точек $X,Y$ на прямой $ℓ$ длина отрезка $XY$ отличается от длины отрезка $f(X)f(Y )$ не более, чем на $1.$ Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя параллельными прямыми?

Источники: ММО - 2025, второй день, 11.4(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, что означает: «расстояние между любыми двумя точками меняется не больше, чем на 1». Поставьте две близкие точки на прямой l, а затем посмотрите на их образы в A. Чем «плавнее» ведёт себя множество, тем легче будет уложиться в это ограничение.

Подсказка 2

Чтобы опровергнуть утверждение задачи, достаточно одного множества, которое удовлетворяет условию «похожа на прямую», но не помещается между двумя параллельными прямыми. Идея: график не слишком быстро растущей функции.

Подсказка 3

Рассмотрите график функции вида y=√x (или той же, но на всей оси через y=√|x|.)

Подсказка 4

Выберите две точки (x,√x) и (y,√y). Напишите формулу для расстояния между ними и сравните её с (y-x). Оценки покажут, что разница действительно может быть ≤ 1. Проверьте, помещается ли такой график между параллельными прямыми.

Подсказка 5

Запишите уравнения двух произвольных параллельных линий y=kx+b₁ и y=kx+b₂ при b₁<b₂. Можно ли подобрать достаточно большое x, чтобы точка (x,√x) оказалась выше верхней прямой? Подумайте, как растёт √x по сравнению с любой прямой kx.

Подсказка 6

Любая функция, растущая медленнее линейной, рано или поздно «вырвется» из-под любой заданной пары параллельных прямых. Используйте это наблюдение, чтобы окончательно убедиться, что утверждение в задаче неверно.

Показать ответ и решение

Приведём контрпример. Возьмём в качестве $l$ ось абсцисс, а в качестве множества $A$ — график функции $g(x)= p|x|.$ Докажем, что отображение $x → (x,g(x))$ удовлетворяет условию.

Достаточно проверить, что для произвольных $y > x$ выполнены неравенства

∘ --------(∘----∘--)2- (y − x)2+ |y|− |x| ≤(y− x)+1 (1)

∘-------------------- y− x≤ (y− x)2+ (∘ |y|− ∘ |x|)2+ 1 (2)

Неравенство $(2)$ верно, поскольку

∘ -----2-(∘-----∘--)2- y− x< (y− x) + |y|− |x|

Обоснуем неравенство $(1).$ Возводя его в квадрат и сокращая слагаемое $2 (y− x),$ получаем, что достаточно доказать неравенство

(∘ -- ∘--)2 |y|− |x| ≤ 2(y − x)+ 1

1)Если $y > x ≥0,$ то

( -- --) ( -- -) ( -- -) ∘ |y|− ∘ |x| 2 ≤ 2 ∘|y|− ∘ |x| ∘|y|+ ∘ |x| =2(y− x)<2(y− x)+1

2)Если $y ≥ 0> x,$ то

(∘ |y|− ∘ |x|)2 = (√y− √−x)2 = y− x− 2√y √−x-≤y − x< 2(y− x)+ 1

3) Если $0> y > x,$ то заметим, что при замене $y$ на $− y$ и $x$ на $− x$ левая и правая части доказываемого неравенства не меняются, и справедливо рассуждение пункта $1.$

Таким образом, неравенства $(1)$ и $(2)$ верны для произвольных $y >x.$

Остаётся показать, что график функции $g(x)$ не лежит между никакими двумя параллельными прямыми. Предположим противное: график функции $g(x)$ лежит между параллельными прямыми $l1$ и $l2.$ Прямые $l1$ и $l2$ не могут быть вертикальными или горизонтальными, поскольку на графике $g(x)$ есть точки со сколь угодно большими абсциссами и ординатами.

Предположим теперь, что прямые $l 1$ и $l 2$ задаются уравнениями $y =kx +b ,y =kx +b , 1 2$ причём $b <b . 1 2$ Рассмотрим точку с координатами $( b2+1∘ b2+1) − k , k .$ Эта точка лежит на графике $g(x)$ и имеет неотрицательную ординату.

С другой стороны,

(b + 1) ( b +1) k ⋅− -2k-- + b1 < k⋅− 2k--- +b2 = −1 <0,

поэтому данная точка не лежит между прямыми $l1$ и $l2.$ Противоречие.

Ответ:

Нет, неверно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#123698

Группа альпинистов хочет совершить восхождение на айсберг высотой $1000$ м. После ночевки в лагере у подножья айсберга они могут подниматься, навешивая веревку, со скоростью $40$ м/ч, а по навешенной веревке со скоростью $400$ м/ч. После отдыха на трассе на айсберге скорость подъема составляет $30$ м/ч. За какое минимальное количество дней они смогут достичь вершины, если будут работать на айсберге (включая подъем по навешенной веревке) $6$ часов в день?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть альпинисты на конец предыдущего дня добрались до высоты h. До какой максимальной высоты они смогут добраться в конце следующего?

Подсказка 2

Нужно разобрать два сценария, когда альпинисты ночуют у подножья и на айсберге. В каждом из случаев получится выражение для максимальной высоты на конец следующего дня.

Подсказка 3

Теперь нужно понять, на какой высоте какому из сценариев выгоднее следовать. Для этого нужно сравнить выражения и выяснить, при каких h одно выражение будет больше другого и наоборот. Далее можно будет вычислить итоговое количество дней.

Показать ответ и решение

Пусть $x n$ — наибольшая высота (в метрах), на которую могут подняться альпинисты к концу $n$ -го дня ( $n= 1,2,...$ ).

Пусть к концу какого-то дня они достигли высоты $h$ метров. Это значит, что они навесили $h$ метров верёвки. При ночёвке у подножия на следующий им сначала придется подняться на $h$ метров по верёвке со скоростью 400 метров в час, что займёт $h 400$ часов, а затем оставшееся время подниматься со скоростью 40 метров в час, то есть они поднимутся на высоту

( h ) h h+ 6− 400 ⋅40= h+ 240− 10

Если же ночью они будут отдыхать на айсберге, то на следующий день они всё время будут продвигаться со скоростью 30 метров в час и поднимуться на $h+ 6⋅30 =h +180.$

Заметим, что $h+ 240 −-h ≥h +180 10$ при $h≤ 600,$ поэтому группе выгоднее ночевать в лагере, только если они достигли высоты меньше шестисот метров. Тогда $xn+1$ определяется следующим образом:

({ xn+ 240− xn, при xn ≤ 600 xn+1 =( 10 xn+ 180, при xn ≥ 600

Здесь $(240 − xn∕10)$ — это прирост высоты при ночевке у подножия, а $180$ — прирост при ночевке на горе.

Начиная с $x0 = 0,$ определим последовательно $xn :$

Поскольку $x0 = 0≤ 600,$

x0 0 x1 =x0+ 240− 10-= 0+240− 10 = 240

Поскольку $x1 = 240≤600,$

x1 240 x2 = x1+ 240− 10 =240+ 240 − 10 =480− 24 =456

Поскольку $x2 = 456≤600,$

x2 456 x3 = x2+240− 10 = 456+ 240−-10-= 696− 45.6 =650.4

Теперь $x3 = 650.4> 600,$ поэтому для $x4$ используется вторая ветка формулы:

x4 =x3+ 180= 650.4 +180= 830.4

Так как $x4 = 830.4> 600 :$

x5 = x4+ 180= 830.4+ 180 =1010.4

Поскольку $x5 = 1010.4> 1000,$ альпинисты смогут подняться на айсберг (достичь высоты $1000 м$ ) к концу 5-го дня, при этом они первые две ночевки проводят внизу, а последние две — на айсберге.

Ответ:

$5$ дней

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#123706

Имеется два сплава меди и олова. Первый весит $5$ кг и содержит $55%$ меди, второй весит $3$ кг и содержит $25%$ меди. Какого веса надо взять куски этих сплавов, чтобы после их совместной переплавки получить $4$ кг сплава, содержащего $k%$ меди?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть взяли x кг первого сплава и y кг второго. Исходя из условия можно выразить y через x. Также можно получить выражение через x для количества меди в новом сплаве.

Подсказка 2

Нам нужно выразить массы взятых сплавов через k. Зная выражение количества меди в новом сплаве через x, мы можем легко выразить x через k, ведь в новом сплаве по условию k процентов меди.

Подсказка 3

Осталось выразить через k массу взятого куска второго сплава и проверить, при каких значениях k соблюдаются ограничения на массы изначальных сплавов из условия.

Показать ответ и решение

Пусть взяли $x кг$ первого сплава и $y кг$ второго сплава. По условию, суммарный вес нового сплава должен быть $4 кг,$ то есть $x +y =4.$ Отсюда $y =4 − x.$ Первый сплав весит $5 кг$ и содержит $55%$ меди. Количество меди в $x кг$ первого сплава: $0.55x.$ Второй сплав весит $3 кг$ и содержит $25%$ меди. Количество меди в $y кг$ второго сплава: $0.25y =0.25(4− x).$

Общее количество меди в новом $4 кг$ сплаве:

M = 0.55x+0.25(4− x)=0.55x +1− 0.25x= 0.3x+ 1 (кг)

Новый сплав должен содержать $k%$ меди. В $4 кг$ это составляет $4⋅-k- =0.04k кг меди. 100$ Следовательно,

0.3x+ 1= 0.04k

Выразим $x$ через $k:$

0.3x= 0.04k− 1

x = 0.04k-− 1 = 41k00-− 1-= 4k-− 100⋅ 10 = 4k-− 100= 2k−-50 0.3 310- 100 3 30 15

Тогда вес второго сплава

y =4− x= 4− 2k−-50= 60−-(2k−-50)= 60− 2k+-50= 110−-2k 15 15 15 15

Используем ограничения на количество исходных сплавов: Для первого сплава: $0≤ x≤ 5$ (так как всего имеется $5 кг$ первого сплава). Для второго сплава: $0≤ y ≤ 3$ (так как всего имеется $3 кг$ второго сплава).

Подставим выражения для $x$ и $y :$

1) Ограничение для $x:$

0≤ 2k−-50-≤ 5 15

25 ≤k ≤62.5

2) Ограничение для $y :$

0≤ 110−-2k≤ 3 15

32.5≤ k≤ 55

Чтобы оба условия выполнялись, найдем пересечение диапазонов для $k :$

{ 25≤ k≤ 62.5 32.5≤ k ≤55

Пересечением является интервал $k∈ [32.5;55].$

Таким образом, при $k∈ [32.5;55]$ нужно взять $2k− 50 --15---кг$ первого сплава и $110− 2k ---15---кг$ второго сплава. При $k∈∕[32.5;55]$ (но в пределах $0 ≤k ≤100,$ если $k$ — процент) такой сплав получить невозможно.

Ответ:

При $k∈ [32,5;55]$ нужно взять $2k−50 15$ кг первого сплава и $110−2k 15$ второго сплава; при $k∈ [0;32,5)∪(55;100]$ такой сплав получить невозможно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124431

Отец и сын несут одинаковые банки консервов. Масса каждой банки выражается целым числом граммов, не меньшим чем $300,$ но не большим чем $400.$ Отец несёт $6$ кг $500$ г., а сын — $2$ кг $600$ г. Сколько банок у отца и сколько у сына?

Показать ответ и решение

Обозначим массу баки за $m.$ Так как отец и сын несут целое число банок, то масса банки является делителем чисел $6500$ и $2600$ . Так как

5 2 НОД (6500,2600)= 2 ⋅5 ⋅13 =1300,

то любой общий делитель чисел $6500$ и $2600$ является делителем и числа $1300$ .

Начнём перечислять их по парам, проверяя условие $300≤m ≤ 400:$ $1$ и $1300$ (оба не подходят), $2$ и $650$ (оба не подходят), $4$ и $325$ ( $325$ подходит), $5$ и $260$ (оба не подходят).

В остальных парах оба делителя меньше чем $260,$ значит, они не подходят. Таким образом, отец несёт $6500= 20 325$ банок, а сын несёт $2600 325 = 8$ банок.

Ответ:

$20$ у отца и $8$ у сына.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#125035

На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в $8:00$ и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в $8 :00$ и догнал Аню за 30 минут. На следующий день он выбежал в $8:10$ и догнал Аню за 40 минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить Аню на выходе из её дома? (Скорость Ани всегда постоянна, скорость Бори тоже постоянна.)

Источники: Всеросс, 2025, РЭ, 9.1 (см olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Это обычная задача на движение. Давайте обозначим через S расстояние между домами, а через x и y - скорости Ани и Бори. Интерпретируйте информацию из условия с помощью этих переменных.

Подсказка 2:

Чтобы понять, во сколько Боре нужно выйти, нужно найти величину S/y. Именно столько времени ему идти до дома Ани.

Подсказка 3:

Скорее всего вы получили два равенства S = 30(y − x) = 40(y − x) − 10x. Попробуйте с их помощью выразить две переменные через третью.

Показать ответ и решение

Первое решение. Пусть $S$ — расстояни между домами Ани и Бори (измеренное в метрах), а $x$ и $y$ — скорости Ани и Бори соответственно (измеренные в м/мин). Когда Боря догоняет Аню, скорость их сближения равна $y− x.$ Поэтому в первый день Боря догнал Аню за $-S- y−x = 30$ мин. Во второй же день Аня успела отойти на $10x$ м, так что $S+10x y−x = 40$ мин. Отсюда имеем $S =30(y− x) =40(y− x)− 10x,$ откуда $10y = 20x$ и $y =2x.$ Поэтому $-S- S 30= y−x = x,$ а Боре надо потратить на путь между домами $S S- y = 2x = 15$ минут. Значит, выбежать ему надо в $7:45.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Изобразим условие на графике (см. рис. 1), откладывая по оси абсцисс время (в минутах, отсчитанное от момента $8 :00$ ), а по оси ординат — расстояние от дома Бори. Тогда графики движения обоих детей будут отрезками прямых. Пусть график движения Ани начинается в точке $A,$ график движения Бори в первый и второй день — в точках $B1$ и $B2,$ и пусть точки встречи в эти два дня обозначаются как $M1$ и $M2$ соответственно. По условию, абсциссы точек $M1$ и $M2$ равны 30 и 50 соответственно.

Пусть $B0$ — точка, в которой должен начинаться график движения Бори. По теореме Фалеса, $BB01BB12 = MA1MM12-;$ последнее отношение равно отношению разностей абсцесс соответствующих точек, то есть $3200 = 32.$ Значит, $B0B1 =15,$ то есть точка $B0$ соответствует моменту $7 :45.$

$PIC$

Ответ:

$7 :45.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#125098

Существуют ли четыре попарно различных положительных числа $a,b,c,d,$ при которых все четыре числа

a+ b b+c c+d d+ a a−-b, b− c, c− d, d−-a

целые?

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 11.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Эта задача — конструктив. Придумайте пример, удовлетворяющий условию.

Подсказка 2:

Чтобы было проще достичь делимости, попробуйте сделать так, чтобы большинство знаменателей были равны 1 или -1.

Показать ответ и решение

Пусть $a =3$ , $b= 4$ , $c= 5$ , $d= 6.$ Тогда

a+ b b+ c c+d d+ a a−-b = −7, b−-c = −9, c− d-= −11, d−-a = 9.

Ответ:

Да, существуют.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#125365

Саша взял кусок нити. Он сложил её пополам, затем ещё раз пополам, и так 10 раз. Затем он взял ножницы и разрезал полученную конструкцию в одном месте (таким образом, он перерезал нить в 1024 местах). В итоге нить распалась на куски. Оказалось, что длины этих кусков принимают лишь два различных значения, наименьшее из которых равно 10 см. Найдите все возможные значения длины исходной нити.

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 9.6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Пусть разрез сделан в b см от правого края и в a см от левого края каждого из 1024 отрезков, в которые сложили нить до разрезания. Какие тогда значения могут принимать длины кусков нити?

Подсказка 2:

Если вы рассуждали правильно, то получили три возможных значения: a, 2a и 2b. Но по условию то их всего 2. Что это значит?

Подсказка 3:

Какие-то две совпадают. Осталось рассмотреть разные варианты совпадения длин и вычислить длину нити, учитывая, что она равна 1024(a + b).

Показать ответ и решение

Полученная до разрезания конструкция состоит из 1024 отрезков нити, которые нить проходит поочерёдно слева направо и справа налево (пусть оба конца нити находятся слева). Тогда, если разрез проведён в $a$ см от левого края и в $b$ см от правого края, то длины полученных кусков нити равны $a,$ $2a$ и $2b.$ Поскольку этих длин всего две, то $2b$ совпадает либо с $a,$ либо с $2a,$ а наименьший кусок равен $a= 10$ см. Значит, $b= 5$ см или $b= 10$ см, а общая длина нити, равная $1024(a +b),$ тогда может принимать значения $1024⋅15 =15360$ см или $1024⋅20= 20480$ см.

Ответ:

15360 см или 20480 см

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#125366

Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся ещё ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 9.7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Иными словами, от нас хотят, чтобы при любом разбиении набора на 2 группы знаки сумм чисел в группах были разными. Какой должна быть сумма чисел в наборе, чтобы сразу стало очевидно, что он удачный?

Подсказка 2:

Разумеется, нулём (кстати, почему в этом случае очевидно, что набор удачный?). А какое число нужно дописать для произвольного удачного набора, чтобы сумма чисел в нём стала 0?

Показать доказательство

Пусть сумма всех чисел, выписанных учителем, равна $S;$ тогда детям достаточно дописать число $− S.$ Действительно, после этого сумма всех чисел окажется равной нулю, а значит, при разбиении их на две группы суммы в группах будут противоположными друг другу, то есть их произведение будет неположительным.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#128569

Площадь квадратной заготовки в 100 раз меньше суммы всех трехзначных натуральных чисел, кратных 5 и не кратных 6. Найти наибольшее целое значение стороны квадрата, который можно вырезать из этой заготовки.

Источники: Газпром - 2025, 10.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Без поиска суммы нам не обойтись, но считать «в лоб» будет уж очень долго. Что можно сказать про последовательность чисел, кратных одному и тому же числу? Какие инструменты помогают нам работать с подобными последовательностями?

Подсказка 2

Перед нами арифметическая прогрессия: найти её сумму не так уж сложно, но вот как исключить из последовательности неподходящие числа? Что можно сказать про число, кратное двум взаимно простым?

Подсказка 3

Число, кратное 5 и 6, будет кратно их произведение. Сумму таких чисел можно найти тем же способом, каким мы искали сумму всех чисел кратных 5. Осталось лишь сделать небольшую оценку и ответ готов!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма всех трёзначных чисел, кратных $5$ и не кратных $6,$ а $n$ — сторона искомого квадрата.

По условию

2 S n < 100

Найдём $S$ как разность суммы всех трёхзначных чисел, кратных $5$ , и суммы всех трёхзначных чисел, кратных и $5$ , и $6$ .

Сумма трёхзначных чисел, кратных $5$ , составляет арифметическую прогрессию от $100$ до $995$ со знаменателем $5$ , состоящую из $995−5100+ 1= 180$ членов. Её сумма равна

995+2-100 ⋅180= 98550

Числа, кратные одновременно $5$ и $6,$ будут кратны $30,$ значит сумма таких трёхзначных чисел составляет арифметическую прогрессию от $120$ до $990$ со знаменателем $30,$ состоящую из $990−31020+ 1= 30$ членов. Её сумма составляет

990+-120⋅30= 16650 2

Таким образом $S = 81900,$ тогда

n2 < 81900 100

2 n <819

В итоге получаем, что $n= 28.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#53509

Говорят, что средний доход $10%$ самых богатых жителей города в $15$ раз превосходит средний доход всех жителей этого города. Докажите, что это выдумки.

Показать доказательство

Пусть $s$ — средний доход всех жителей города, а $n$ — количество жителей. Тогда суммарный доход всего города равен $sn.$

Предположим, что высказанное утверждение верно, то есть средний доход $10%$ самых богатых жителей равен $15s.$ Но тогда суммарный доход только богатых жителей равен $-n 15s⋅10.$ А это уже больше, чем доход ВСЕГО города.

Доля от положительного числа не может быть больше самого числа — получили противоречие. Значит, это выдумки.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#79327

На поляне пасутся $700$ коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух посчитал, что на каждом участке количество коз изменилось причем ровно в $7$ раз. Не ошибся ли он?

Показать ответ и решение

Предположим, что пастух не ошибся. Рассмотрим участки, на которых количество коз увеличилось. Пусть на них до полудня было $x$ коз, тогда после полудня на них оказалось $7x$ коз. Значит, количество коз на этих участках увеличилось на $6x.$ Теперь рассмотрим участки, на которых количество коз уменьшилось. Пусть на них после полудня оказалось $y$ коз, тогда до полудня на них было $7y$ коз и, значит, количество коз на этих участках уменьшилось на $6y.$ Так как общее количество коз не изменилось, число коз на первых участках увеличилось на столько же, на сколько оно уменьшилось на вторых, т. е. $6x= 6y,$ откуда $x= y.$ Значит, до полудня на первых участках было $x$ коз, на вторых $− 7x,$ а всего $8x$ коз. Но это невозможно, так как $150$ не делится на $8.$

Ответ:

Ошибся

Следующая подтема