Тема Алгебраические текстовые задачи

Составление уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#31285Максимум баллов за задание: 7

Коля и Вася за осень получили по $60$ оценок, причем Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четверок, четверок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася пятерок. При этом средний балл у них одинаковый. Сколько двоек за осень получил Коля?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменные для каждой оценки Коли. Например, х для пятерок, у для четверок, z для троек и t для двоек. Запишите теперь количество каждого вида оценок Васи, выраженное через эти же переменные! Составьте уравнения!

Подсказка 2

Да, мы можем составить одно уравнение, опираясь на суммарное количество оценок и второе, опираясь на то, что средние арифметические баллы мальчиков равны. Помните, что нам не нужно искать x, y и z, а нам нужно найти только t!

Подсказка 3

Давайте в обоих уравнениях сделаем с одной стороны одно и то же выражение, зависящее от х, у и z, чтобы с другой стороны были различные выражения от t, которые мы сможем приравнять и найти t!

Показать ответ и решение

Обозначим количества пятерок, четверок, троек и двоек, полученных Колей, через $x,y,z$ и $t$ соответственно. Тогда средний балл Коли равен $(5x +4y+ 3z+2t)∕60.$ Те же самые переменные будут обозначать для Васи количество четверок, троек, двоек и пятерок соответственно. Значит, его средний балл будет равен $(4x+3y+ 2z+ 5t)∕60.$ Приравняем средние баллы:

5x+ 4y+ 3z+2t 4x+ 3y+ 2z +5t x+ y+ z− 3t ------60-----= ------60------ ⇔ ----60----= 0 ⇔ x+ y+z =3t

Кроме того, по условию

x+ y+z +t= 60 ⇔ x +y+ z = 60− t

Тогда получаем равенство

60 − t= 3t ⇔ t= 15

Ответ:

$15$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#31289Максимум баллов за задание: 7

Род Муромцевых (ныне, увы, прекратившийся) основали трое сыновей Ильи Муромца. Все мужчины в этом роду имели по трое детей, за исключением семерых, не оставивших потомства. Всего в роду были $1994$ женщины. Сколько всего человек было в роду Муромцевых? Роду принадлежали основатели, а также те и только те дети, чей отец принадлежал роду.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте число всех мужчин в роду за х. Как будет выражаться общее число людей в роду, если мы запишем его, как сумму мужчин и женщин?

Подсказка 2

Теперь давайте по-другому выразим общее количество людей в роду.
Обратите внимание, что все представители рода, кроме трех основателей, является ребенком одного из мужчин, принадлежащему этому роду. Как тогда выражается число детей в этом роду? А как выражается число людей в роду через детей и основателей?

Подсказка 3

Теперь, когда мы выразили общее число людей в роду двумя способами мы можем приравнять эти выражения, и найти х.

Подсказка 4

Остается ответить на вопрос задачи. Мы нашли, чему равно количество мужчин в роду, остается прибавить к нему количество женщин, и мы найдём, сколько человек было в роду Муромцевых.

Показать ответ и решение

Обозначим количество всех мужчин в роду (в том числе основателей) через $x$ . Посчитаем двумя способами количество людей в этом роду. С одной стороны, их, очевидно, $x +1994$ , ведь всех людей можно посчитать, сложив мужчин и женщин.

С другой стороны, каждый человек в этом роду, кроме основателей, является ребенком одного из мужчин этого рода. По условию, каждый мужчина, кроме семерых, имел трое детей. Отсюда следует, что детей в этом роду было $3⋅(x− 7)$ . Непосчитанными остались лишь сами основатели, поэтому в итоге получается $3⋅(x− 7)+ 3$ .

Итак, имеем равенство $x+ 1994 =3 ⋅(x− 7)+3$ , откуда $x= 1006$ , а количество всех людей в роду равно $1006+ 1994= 3000$ .

Ответ:

$3000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#32288Максимум баллов за задание: 7

У Кати, Лизы, Маши и Насти вместе $100$ леденцов. У любых двух девочек в сумме хотя бы $41$ леденец. Какое наименьшее количество леденцов может быть у Лизы?

Показать ответ и решение

Обозначим количество леденцов у Кати, Лизы, Маши и Насти соответственно за $k,l,m,n$ . Тогда $k+ l≥ 41,$ $l+ m ≥41,$ $l+n ≥ 41.$ Складывая эти неравенства, получаем

2l+(k+ l+ m + n)≥123.

Причем

k+ l+m + n= 100,

откуда $2l≥ 23,$ или же в целых числах $l≥ 12.$ Пример на $12$ существует: $l= 12,$ $m =n = 29,$ $k =30.$

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#33350Максимум баллов за задание: 7

У Совуньи было 9 листочков бумаги. Некоторые из них она разрезала на три части, после чего листочков стало 21. Сколько листочков бумаги разрезала Совунья?

Показать ответ и решение

При разрезании одного листочка общее число листочков увеличивается на 2. Количество листочков увеличилось всего на $21− 9 =12$ . Значит, чтобы добиться такого увеличения, надо разрезать $12:2= 6$ листочков.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#33351Максимум баллов за задание: 7

Трудолюбивые бурундучки разделились на две бригады по заготовке леса. Первая за один день спиливает 80 сосен, а вторая — 90. Вторая бригада начала работу на день позже первой, а спилила сосен за все время работы столько же. А сколько сосен спилили две бригады вместе за все время работы?

Показать ответ и решение

За день работы без второй бригады первая бригада успела спилить 80 сосен. Значит, за оставшиеся дни вторая бригада успела догнать первую, спилив на 80 сосен больше. А так как за один день совместной работы вторая бригада спиливает на 10 сосен больше, чем первая, то для этого ей требуется $80:10=8$ дней. Всего за эти 8 дней вторая бригада спилит $8⋅90= 720$ сосен, а первая по условию спилила столько же. Значит, вместе две бригады заготовили $720⋅2= 1440$ сосен.

Ответ: 1440

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#33353Максимум баллов за задание: 7

Ёжик посчитал, что если он купит семь мороженых, то у него останется 150 ропиков, а если купить 10 мороженых, то у него останется 105 ропиков. А какое наибольшее число мороженых может купить Ёжик на все имеющиеся у него деньги?

Показать ответ и решение

Разница между количествами 7 и 10 мороженых составляет $10− 7 =3$ штуки, а разница в стоимости между 7 морожеными и 10 морожеными составляет $150− 105= 45$ ропиков, значит, 3 мороженых стоят 45 ропиков. Тогда одно мороженое стоит $45:3 =15$ ропиков.

Далее, купив семь мороженых, у Ёжика останется 150 ропиков. Так как каждое мороженое, как мы выяснили выше, стоит 15 ропиков, то на эти деньги он может купить еще $150:15= 10$ мороженых, а всего Ёжик купит $7+ 10= 17$ мороженых.

Ответ: 17

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#33421Максимум баллов за задание: 7

Гарри, Рон и Гермиона выполняли домашние задания. Гарри сделал на два домашних задания больше Рона, а Гермиона — в три раза больше, чем Гарри. В сумме ребята выполнили $28$ домашних заданий. Сколько из них сделала Гермиона?

Показать ответ и решение

Обозначим количество домашних заданий, выполненных Гарри, через $x$ . Так как Гарри сделал на два домашних задания больше Рона, то Рон выполнил $x − 2$ задания. Гермиона сделала втрое больше Гарри, значит, Гермиона выполнила $3x$ домашних заданий. При этом по условию в сумме ребята выполнили $28$ домашних заданий. Поэтому, сложив домашние задания, выполненные ребята, мы должны получить $28$ . Составим соответствующее уравнение и решим его.

x+ (x− 2)+3x = 28 |+ 2; 5x = 30; |:5; x = 6.

Итак, мы нашли, что $x= 6$ . Нас же спрашивают, сколько домашних заданий сделала Гермиона. Как мы уже считали выше, Гермиона выполнила $3x$ домашних заданий. Подставим найденное значение переменной: $3x =3⋅6= 18$ . Значит, Гермиона выполнила $18$ домашних заданий.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#33422Максимум баллов за задание: 7

Первокурсники Гриффиндора отправились к Хагриду изучать фантастических тварей. Сегодня на уроке они проходят акромантулов и соплохвостов. В начале урока Хагрид рассказал, что у акромантулов $8$ ног, а у соплохвостов $10$ ног. При этом у каждой твари по одной голове. Когда ребята подошли к вольеру, они насчитали $20$ голов и $170$ ног. Сколько соплохвостов и сколько акромантулов ребята видели на уроке у Хагрида?

Показать ответ и решение

Обозначим количество акромантулов через $x$ . Так как всего ребята насчитали $20$ голов, то они видели $20$ особей, поэтому суммарно акромантулов и соплохвостов $20$ . Тогда соплохвостов $20− x$ .

Теперь выразим через $x$ количество ног у изучаемых созданий. У $x$ акромантулов всего $8x$ ног, а у $20− x$ соплохвостов $10⋅(20− x)$ ног. Также мы знаем, что всего ребята насчитали $170$ ног. Значит, мы можем составить уравнение, приравняв количество ног, посчитанное через $x$ , и количество ног, данное в задаче:

8x+ 10⋅(20− x) = 170; 8x+ 200− 10x = 170; 200− 2x = 170; 200 − 170 = 2x; 30 = 2x; x = 15.

Итак, $x =15$ , значит, акромантулов $15$ , а соплохвостов $20− x= 20− 15 =5$ .

Ответ: 15 акромантулов и 5 соплохвостов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#33423Максимум баллов за задание: 7

Гарри Поттер расставил натуральные числа в клетки таблицы $3×3$ . Оказалось, что сумма чисел в каждой строке, кроме первой, на $4$ больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом столбце, кроме первого, в $3$ раза больше, чем в предыдущем. Чему равна сумма чисел в первой строке, если также известно, что она равна сумме чисел во втором столбце?

Показать ответ и решение

Обозначим сумму чисел в первой строке через $x$ . Выразим через $x$ сумму в каждом столбце и каждой строке. После этого воспользуемся тем, что сумма чисел по строкам равна сумме чисел по столбцам (и равна сумме всех чисел в таблице).

Так как сумма чисел в каждой строке на $4$ больше, чем в предыдущей, то сумма чисел во второй строке равна $x+ 4$ , а в третьей — $x +8$ . Таким образом, сумма чисел во всех строках равна $x+ x+ 4+ x+8 =3x +12$ .

Теперь по столбцам. Сумма чисел во втором столбце равна $x$ . Сумма чисел в первом втрое меньше, то есть равна $x:3$ . Сумма чисел в третьем столбце втрое больше суммы во втором столбце, значит, она равна $3x$ . Таким образом, сумма всех чисел по столбцам равна $x +x :3 +3x= 4x+ x:3$ .

Приравняем полученные значения суммы чисел по строкам и по столбцам, так как и то, и другое равно сумме всех чисел в таблице. Другими словами, мы двумя способами посчитали сумму всех чисел в таблице, а значит можем записать равенство

3x +12 = 4x+ x:3 |⋅3; 9x +36 = 12x+ x; 9x +36 = 13x; 36 = 4x; x = 9.

Итак, $x =9$ , а через $x$ мы как раз и обозначили сумму чисел в первой строке, которую нам нужно найти. Значит, сумма чисел в первой строке равна $9$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#33426Максимум баллов за задание: 7

Юные волшебники отправились в Министерство Магии на битву с Лордом Волдемортом на фестралах. Некоторые боялись лететь одни на этих милых созданиях, поэтому садились по двое и по трое. Наблюдавшие за полетом пожиратели насчитали у летящих 82 ноги и 30 голов, о чем незамедлительно сообщили своему владыке Лорду Волдеморту. Помогите Волдеморту сосчитать, сколько юных волшебников отправились в Министерство на битву. Как известно, у фестралов 4 ноги и одна голова.

Показать ответ и решение

Обозначим количество детей через $x.$ Так как пожиратели насчитали 30 голов, то всего летит 30 существ, значит, фестралов $30− x.$ Посчитаем, сколько у кого ног. У $x$ детей всего $2x$ ног, а у $30− x$ фестралов $4 ⋅(30− x)$ ног. По условию, всего пожиратели насчитали 82 ноги, поэтому мы получаем равенство

$pict$

Итак, $x =19,$ значит, на битву с Волдемортом отправились 19 юных волшебников.

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#33432Максимум баллов за задание: 7

Студенты Хогвартса записывались на дополнительные курсы. На арифмантику записались 60 человек, на уход за магическими существами записались 50 человек, а на прорицания — 40 человек. Перед началом учебного года составили три списка: тех, кто записался ровно на один курс; тех, кто записался ровно на два курса из трех; тех, кто записался на все три курса одновременно. Оказалось, что во всех списках одно и то же число человек. Сколько?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче явно прослеживается метод подсчета двумя способами. Подумайте, как именно его можно тут применить.

Подсказка 2

Давайте сложим количество людей на всех трех кружках 60 + 50 + 40 = 150. Сколько раз в такой сумме мы посчитали людей, которые ходят только на один курс, на два, на три?

Подсказка 3

В данных 150 учащихся трижды встречаются те, кто записался на 3 курса, дважды встречаются те, кто записался на 2 курса и по одному разу те, кто ходит только на один курс. Учитывая что количество людей в каждой из такой групп равно, как можно найти это количество?

Показать ответ и решение

Обозначим количество человек в одном списке через $x.$ Пусть в первый день учебы каждый студент сдаст по каждому выбранному им предмету тетрадку с домашним заданием. Посчитаем количество сданных тетрадок двумя способами.

С одной стороны, так как на предметы записались 60, 50 и 40 человек, то и сданных тетрадок по арифмантике будет 60, по УЗМС — 50, а по прорицаниям — 40. В сумме получается $60 + 50 +40 = 150$ сданных тетрадок.

С другой стороны, студенты, записавшиеся на один курс, сдадут по одной тетрадке, и так как таких студентов $x,$ то и сданных ими тетрадок будет $x.$ Студенты, записавшиеся на два курса, сдадут по две тетрадки, и так как таких студентов тоже $x,$ то они сдадут всего $2x$ тетрадок. Наконец, $x$ студентов, записавшихся на все три предмета, сдадут $3x$ тетрадок. Поэтому всего сданных тетрадок будет $x +2x +3x = 6x.$

Приравняем посчитанные двумя способами тетрадки.

$6x= 150; x= 25.$

Итак, $x =25,$ значит, в одном списке 25 человек. Именно это число нам и нужно было посчитать в задаче.

Ответ: 25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#33455Максимум баллов за задание: 7

Гарри Поттеру — 14 лет, а Хагриду — 68. Через сколько лет Хагрид будет вдвое старше Гарри (мы уверены, что оба доживут как минимум до 200 лет!)

Показать ответ и решение

Эту задачу можно решить и без уравнения. Действительно: разница в возрасте между Гарри и Хагридом постоянна и равна 54. Значит, если Хагрид вдвое старше Гарри, то Гарри должно быть 54 года, а это случится через 40 лет.

Теперь попробуем составить уравнение, которое поможет решить задачу другим способом. Первым делом необходимо ввести переменную: чаще всего обозначают через $x$ то, что спрашивается в задаче. В данном случае, пусть $x$ — количество лет, которое должно пройти, чтобы Хагрид стал ровно вдвое старше Гарри. Тогда Гарри исполнится $(x+ 14)$ лет, а Хагриду стукнет $(68+ x)$ . По условию возраст Хагрида вдвое больше, так что можно составить уравнение:

2(x +14)= x+68

Раскрывая скобки, получаем:

2x +28= x+ 68

x= 40

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#33456Максимум баллов за задание: 7

Миссис Уизли в четыре раза старше Гарри, а через 6 лет она будет в три раза старше его. Сколько сейчас лет Гарри?

Показать ответ и решение

Конечно, и эту задачу можно решить без уравнения, но уже совсем не так быстро. А с уравнением — почти ничего не меняется! Пусть $x$ — возраст Гарри, тогда миссис Уизли сейчас $4x$ лет. Через шесть лет Гарри будет $(x+ 6)$ , а возраст миссис Уизли составит $(4x+ 6)$ . Так как второе выражение в три раза больше первого, можно составить уравнение:

3(x+ 6)= 4x+ 6

3x +18= 4x+ 6

x= 12

Значит, Гарри сейчас 12 лет.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#33457Максимум баллов за задание: 7

У Гарри в два раза больше орехов, чем у Рона и Гермионы вместе взятых. При этом У Гарри на семь орехов больше, чем у Рона, а также на 8 орехов больше, чем у Гермионы. Сколько орехов у каждого из мальчиков?

Показать ответ и решение

В этой задаче также следует выбрать того из мальчиков, чье количество орехов следует обозначить через $x$ . В данном случае, уместно выбрать Гарри, так как через него легко выразить количества орехов у Рона и у Гермионы.

Итак, пусть $x$ — количество орехов у Гарри. Тогда по условию у Рона $(x− 7)$ орехов, а у Гермионы их $(x− 8)$ . Составим уравнение:

x =2(x− 7+x − 8)

x =4x− 30

3x= 30

x= 10

Прежде чем писать ответ — прочитаем вопрос: требовалось найти количество орехов у каждого из ребят. В данном случае, у Рона будет 3 ореха, а у Гермионы — 2.

Ответ: У Рона - 3 ореха, у Гермионы - 2, у Гарри - 10.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#33458Максимум баллов за задание: 7

У Гарри, Рона и Гермионы вместе 38 шоколадных лягушек. У Гарри на 2 лягушки меньше, чем у Гермионы, а у Рона на 1 лягушку больше, чем у Гермионы. Сколько же у Гермионы лягушек?

Показать ответ и решение

Пусть у Гермины $x$ лягушек. Тогда у Гарри $x− 2$ лягушки, у Рона — $x+ 1.$ А всего по условию у них 38 лягушек. Значит,

$x +(x− 2)+ (x+ 1)= 38; 3x− 1= 38; 3x = 39; x= 13.$

Следовательно, у Гермионы 13 лягушек.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#33459Максимум баллов за задание: 7

Рецепт философского камня записан в книге на пяти последовательных страницах. Сумма номеров этих страниц равна 660. Какие это страницы?

Показать ответ и решение

Пусть номер первый страницы с рецептом равен $x.$ Тогда рецепт записан на страницах $x,$ $x +1,$ $x + 2,$ $x+ 3$ и $x+ 4.$ Тогда по условию

$x +(x+ 1)+ (x+ 2)+(x +3)+ (x+ 4)= 660; 5x+ 10= 660; 5x= 650; x = 130.$

Таким образом, рецепт философского камня записан в книге на страницах 130, 131, 132, 133 и 134.

Ответ: 130, 131, 132, 133, 134

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#33460Максимум баллов за задание: 7

Рон задумал натуральное число, умножил его на 2, затем прибавил к результату 5, вычел задуманное число и получил 9. Какое число задумал Рон?

Показать ответ и решение

Пусть Рон задумал число $x.$ Проведем операции с $x:$ $2x + 5− x= 9.$ Тогда $x + 5= 9.$ Получаем $x= 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#33461Максимум баллов за задание: 7

Северус Снейп сказал Гарри, что в качестве отработки, он должен представить 45 в виде суммы четырёх слагаемых, причём после прибавления к первому слагаемому 2, после вычитания из второго слагаемого 2, после умножения третьего слагаемого на 2 и после деления четвертого слагаемого на 2, должны получиться одинаковые числа. Помогите Гарри найти эти слагаемые!

Показать ответ и решение

Пусть $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4$ — слагаемые. Тогда

$x1 +x2 +x3+ x4 =45; x +2 = x − 2= 2x = x4. 1 2 3 2$

Выразим $x2,$ $x3$ и $x4$ через $x1 :$

$x2 = x1+ 4; x1+ 2 x3 =--2--; x4 =2x1 +4.$

Заменив $x2,$ $x3$ и $x4,$ получим:

$x1 +x2 +x3+ x4 =45; x1 +2 x1+ (x1 +4)+ --2-- + (2x1+ 4)= 45; x1+ 2 4x1+ --2-- = 37; 9x1 =74 − 2; x1 = 8.$

Вычислим остальные слагаемые:

$x2 = x1+ 4= 8+ 4= 12; x + 2 8+ 2 x3 =-12--= -2--= 5; x4 = 2x1+ 4= 2 ⋅8 +4 = 20.$

Ответ: 8, 12, 5, 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#33465Максимум баллов за задание: 7

На доске написано десять последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, сумма оставшихся стала равной 2021. Какое число стерли?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем выписать; эти числа явно с помощью переменной. Какова их сумма чисел? Попробуем понять, какое из чисел выкинули, обозначив его как x+y, где x - первое число.

Показать ответ и решение

Пусть написаны числа: $x,x+ 1,x+ 2,...,x +9$ , а стерли число $x+ y$ ( $0≤ y ≤ 9)$ .

Тогда

$2021= x+ (x +1)+ ...+ (x +9)− (x+ y)= 9x− y +45$

$9x =1976+ y$

Значит, правая часть должна делиться на 9. Число 1976 дает остаток 5 при делении на 9, поэтому $y$ может быть только 4.

Тогда

$x= 1980∕9= 220$

Значит, вычеркнули число $220+4 =224$ .

Ответ:

$224$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#35443Максимум баллов за задание: 7

Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на $7$ конфет меньше, чем все остальные вместе, но всё же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Известно, что каждый ребенок съел сколько-то конфет, мы пока не знаем, все ли съели одинаково. И еще не знаем, сколько всего детей. Надо бы составить уравнения со следующими переменными: количество конфет, которые съел каждый из детей и общее количество конфет. Если всего n детей, то таких уравнений будет n штук.

Подсказка 2

После составления уравнений видно, что каждый ребенок съел одинаковое число конфет, ведь для каждого ребенка число съеденных конфет одинаковым образом выражается через S (общее число конфет). То есть остается три неизвестных: S, х (конфет на каждого ребенка) и n (число детей), и два связывающих их уравнения. Из этой системы нужно найти S.

Подсказка 3

Получилось три неизвестных на 2 уравнения, но этого не надо пугаться, ведь есть дополнительное условие: все переменные — натуральные числа. Попробуем исключить из системы S, а далее обратить внимание на то, что 7 — простое число и есть не так много способов разложить его на множители. А ещё стоит учесть, что каждый ребенок съел больше одной конфеты :)

Показать ответ и решение

Пусть всего было $n$ детей и $x > 1 1$ — число конфет, которое съел $1$ -ый ребенок, $x > 1 2$ — число конфет, которое съел $2$ -ой ребенок, $...,xn >1$ — число конфет, которое съел $n$ -ый ребенок. Пусть также $S = x1+ x2+...+xn$ — число конфет, которое съели все дети вместе. Тогда из условия задачи следует, что

S− 7 x1 +7= S − x1 ⇔ x1 =-2-- x2 +7= S − x2 ⇔ x2 = S−-7 2 ... xn +7 =S − xn ⇔ xn = S-− 7 2

Следовательно, все дети съели равное число конфет, а именно $x1 =x2 =...=xn = S−-7= x. 2$ Но тогда число всех съеденных конфет равно

S = nx

А из уравнения $x1+7 =S − x1$ получаем, что $2x= S− 7.$ Получаем систему:

( { 2x= S− 7 ( S = nx ⇒ 2x= nx− 7 ⇔ x(n− 2)= 7

Получили уравнение с двумя неизвестными, которые принимают только натуральные значения, причем $x> 1.$ Так как $7$ — простое число, то числа $x$ и $n − 2$ равны $1$ и $7.$ Так как $x >1,$ то $x =7,$ а $n− 2= 1.$ Отсюда $n= 3.$

Следовательно, всего съедено: $S = nx= 3⋅7= 21$ конфета.

Ответ:

$21$