Тема Алгебраические текстовые задачи

Составление уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#58040Максимум баллов за задание: 7

В городе $200$ жителей. Часть из них — рыцари, которые всегда говорят правду, остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живет в одном из четырех кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: “Вы живете в квартале А?”, “Вы живете в квартале Б?”, “Вы живете в квартале В?”, “Вы живете в квартале Г?”. На первый вопрос утвердительно ответило $105$ жителей, на второй — $45$ , на третий — $85$ и на четвёртый — $65.$ В каком квартале лжецов живет больше, чем рыцарей и на сколько?

Источники: ОММО-2014, задача 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем составить уравнения на количество рыцарей и лжецов в каждом квартале. Например, пусть x₁ это количество рыцарей в первом квартале, а у₁ это количество лжецов в нем. И так же сделаем для остальных кварталов. Тогда попробуйте переписать условия по количеству ответов в виде уравнений!

Подсказка 2

У нас должна получиться такие уравнения!
x₁ + y₂ +y₃ + y₄ = 105
x₂+ y₁+y₃+ y₄ = 45
x₃+ y₁+y₂+ y₄ = 85
x₄+ y₁+y₂+ y₃ = 65
Но так как у нас в каждом уравнении почти сумма всех у, попробуйте обозначить у = y₁+y₃+ y₄ + y₂. И подставим это в наши уравнения!

Подсказка 3

Теперь в каждом уравнении встречается xₐ- yₐ. А это как раз то, что нас интересует - разница между лжецами и рыцарями. Давайте сделаем еще одну замену на z₁ = x₁ - y₁ для каждого квартала.

Показать ответ и решение

Первое решение.

На четыре вопроса каждый рыцарь даёт один утвердительный ответ, а лжец — три. Всего было получено $105+ 45 +85+ 65= 300$ утвердительных ответов. Если бы все жители города были рыцарями, в сумме всех утвердительных ответов было бы 200. 100 лишних ответов «да» происходят от вранья лжецов. Таким образом, лжецов $100- 2 =50$ . Пусть в квартале Б живет $k$ рыцарей, тогда $45 − k$ —число утвердительных ответов на второй вопрос, которые дали лжецы. Значит число лжецов, живущих в квартале Б, равно $50− (45− k)= k+5$ . В остальных кварталах число лжецов меньше числа рыцарей.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть $xk$ и $yk$ — количества рыцарей и лжецов в $k$ -м квартале из $4$ соответственно, $x$ — рыцарей всего, $y = 200− x$ — лжецов всего. Тогда

( ( ||||{ x1+ y2+y3+ y4 = 105 ||||{ x1+ y− y1 = 105 x2+ y1+y3+ y4 = 45 =⇒ x2+ y− y2 = 45 ||||( x3+ y1+y2+ y4 = 85 ||||( x3+ y− y3 = 85 x4+ y1+y2+ y3 = 65 x4+ y− y4 = 65

Введём обозначения $zk = yk− xk$ — насколько в $k$ квартале больше лжецов, получим

( ||||{ y = 105+ z1 y = 45 +z2 ||||( y = 85 +z3 y = 65 +z4

В итоге наибольшее $zk$ достигается для $k= 2$ . Далее просуммируем уравнения, получим

4y =300+ y− x ⇐⇒ 3y =300− x= 300− 200+ y ⇐⇒ y = 50

Имеем $(z1,z2,z3,z4)= (− 55,5,− 35,−15)$ . Отсюда лжецов больше только во втором квартале на $5$ .

Ответ:

в квартале Б на $5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#97446Максимум баллов за задание: 7

На собеседовании $39$ претендентам на должность финансового аналитика было предложено пройти три испытания. Первое испытание не прошел $21$ человек, второе — $23$ человека, а третье — $20$ человек. Хотя бы одно из первых двух испытаний не прошел $31$ претендент, из первого и третьего — $30$ претендент, из второго или третьего — $31$ претендент. На работу взяли всех, кто успешно справился со всеми испытаниями. Сколько человек были приняты на работу, если $7$ претендентов не справились ни с одним из испытаний?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас будет очень много неизвестных и уравнений. Надо ввести их таким образом, чтобы не запутаться еще сильнее!

Подсказка 2

Пусть xᵢ — количество кандидатов, не справившихся с i-ым испытанием, xᵢⱼ — не справившихся ни с i-ым, ни j-ым испытаниями, x₁₂₃ — не справившихся ни с одним испытанием.

Подсказка 3

Как в наших обозначениях будут записано количество тех, кто не прошел хотя бы одно из двух первых испытаний? Мы сможем выразить и найти число тех, кто не справился хотя бы с одним испытанием!

Подсказка 4

Число не прошедших хотя бы одно из двух первых испытаний запишем как x₁ + x₂ - x₁₂. Чему будет равно количество тех, кто не справился хотя бы с одним испытанием?

Подсказка 5

Оно будет равно x₁ + x₂ + x₃ - x₁₂ - x₁₃ - x₂₃ + x₁₂₃. Сколько тогда человек приняли на работу?

Показать ответ и решение

Пусть $x i$ — число претендентов, которые не справились с $i$ -ым испытанием, $x ij$ — число претендентов, которые одновременно не справились с $i$ -ым и $j$ -ым испытанием, $x123$ — число претендентов, которые не справились ни с одним из испытаний.

Итак, $x1 = 21,x2 =23,x3 = 20,x123 = 7$ . Число претендентов, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, $i$ -ым и $j$ -ым, равно $xi+ xj − xij$ .

Следовательно,

x1+x2− x12 = 31 ⇒ x12 = x1 +x2− 31= 21 +23− 31= 13 x1+x3− x13 = 30 ⇒ x13 =x1+ x3− 30 =21+ 20− 30 =11 x2+x3− x23 = 31 ⇒ x23 = x2 +x3− 31= 23 +20− 31= 12

Число человек, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, равно

x1+x2+ x3− x12− x13− x23+ x123 = 21+ 23+20− 13− 11− 12+ 7= 35

следовательно, на работу приняли $39− 35= 4$ человек.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#39049Максимум баллов за задание: 7

Мама купила коробку кускового сахара (сахар в кубиках). Дети сначала съели верхний слой — 77 кубиков, затем боковой слой — 55 кубиков, и, наконец, передний слой. Сколько кубиков сахара осталось в коробке? Укажите все возможные варианты через пробел.

Источники: Школьный этап - 2013, Москва, 7.5

Показать ответ и решение

Если размеры коробки в кубиках были $a× b×c$ , то сначала съели слой $a× b$ , потом съели слой $a ×c− 1$ , потом слой $c − 1× b− 1$ . В итоге кубиков осталось $a− 1× b− 1 ×c− 1$ . Заметим, что в таком случае $77= ab$ и $55= a(c− 1)$ , то есть $a$ — это общий делитель чисел $77$ и $55$ . Тогда вариантов два. Если $a= 1$ , то $b= 77$ , $c− 1 =55$ , т.е. осталось $0$ кусков сахара. Если же $a= 11$ , то $b= 7$ , $c− 1 =5$ , т.е. осталось $10⋅6⋅5= 300$ кусков сахара.

Ответ: 0 300

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#31287Максимум баллов за задание: 7

В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?

Источники: Ломоносов-2012, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть подарков первого типа a, а второго типа - b. Тогда пряников всего 4a + 3b, а конфет - 9a + 11b. И мы также знаем, что все пряники можно распределить на 17 детей. Что это значит на языке остатков?

Подсказка 2

Это означает, что 4a+3b = 0 по модулю 17. Попробуем выразить a через b по модулю 17: 4a = -3b (mod 17). Вот на что теперь можно умножить это выражение, чтобы слева вышло просто a?

Подсказка 3

Можно на -4) Получится -16a = 12b (mod 17), что равносильно a = 12b (mod 17). Теперь осталось подставить это равенство в выражение 9a+11b и найти его по модулю 17)

Показать ответ и решение

Пусть подарков первого вида $x$ , а второго — $y$ , тогда $a =4x+ 3y$ кратно 17, а спрашивают нас про $b=9x +11y$ . Заметим, что $2a+ b= 17(x+ y)$ , то есть $2a+ b ≡170=⇒ b ≡170$ , так что такого случиться не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Интересный факт. Задача придумывалась на основе факта, что определитель матрицы

( ) 4 9 3 11

равен $17$ . По условию эта матрица умножается на целочисленный вектор ( $x$ , $y$ ) и получается ( $17m$ , $n$ ), откуда из целочисленности $x$ сразу следует, что $11⋅17n − 3⋅m$ делится на 17.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#69858Максимум баллов за задание: 7

На первом складе в каждом ящике в среднем по 3 бракованных изделия, а на втором складе — по 6. С первого склада на второй перевезли 50 ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на 1. Сколько всего ящиков на двух складах?

Источники: ОММО-2012, номер 2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы понимаем, что количество бракованных деталей от перевозки ящиков не поменялось, а значит, данная задача подразумевает подсчет двумя способами количества наших бракованных деталей. Подумайте, как его тут можно реализовать и использовать?

Подсказка 2

Если мы обозначим количество ящиков за m для первого завода и за n для второго, то в первоначальном состоянии у нас было 3m и 6n бракованных деталей. После перевоза ящиков на первом заводе их стало m-50, а на втором n+50, при этом количество бракованных деталей на каждый ящик стало 2 и 5 соответственно. Зная всё это, составьте и решите уравнение.

Показать ответ и решение

Пусть на первом складе было $m$ ящиков, а на втором $n$ . Бракованных деталей при этом имелось в общей сложности $3m$ на первом складе и $6n$ на втором. После того, как ящики перенесли, средние значения стали равны $2$ и $5$ , а ящиков стало $m − 50$ и $n+ 50$ соответственно. Общее число бракованных деталей теперь равно $2(m − 50)+5(n+ 50)$ , но оно осталось прежним, то есть равным $3m + 6n$ . Приравнивая обе величины, получаем $m +n =150$ и это есть общее число ящиков на двух складах вместе.

Ответ: 150

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#47041Максимум баллов за задание: 7

Для детского сада закупили наборы конфет трех разных типов, потратив $2200$ рублей. Первый набор стоит $50$ рублей и содержит $25$ конфет. Второй набор стоит $180$ рублей и содержит $95$ конфет, третий набор стоит $150$ рублей и содержит $80$ конфет. Сколько каких наборов купили, если общее количество конфет в них максимально?

Источники: ПВГ 2011

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача на максимизацию суммы, поэтому первое, что хочется сделать - как-то ее записать) Составим систему уравнению по количеству конфет и по тому, что нам нужно максимизировать

Подсказка 2

Немного преобразований и приходим к тому, что 5a + 18b + 15c = 220, 5a + 19b + 16c мы хотим максимизировать) Посмотрев внимательно на эти два выражения, можем заметить, что максимизировать достаточно лишь...что? Так же в условии следует попробовать найти какие-то варианты "замены" подарков, чтобы вручную как-то увеличивать количество конфет при той же цене.

Подсказка 3

Из подсказки 2 замечаем, что достаточно максимизировать b+c, а так же, что 3 подарка первого типа выгодно менять на подарок третьего типа. Значит, у нас нет трех подарков вида a. Остается лишь рассмотреть три оставшихся случая на a!

Показать ответ и решение

Пусть взяли $a,b,c$ наборов конфет каждого вида соответственно. Запишем уравнение на общую сумму денег и условие про максимальное количество конфет:

{ 50a +180b+150c= 2200 { 5a+ 18b+15c= 220 ⇐⇒ 25a +95b+ 80c→ max 5a+ 19b+16c→ max

Второе эквивалентно $b+c → max.$ Заметим, что три подарка первого вида можно за ту же стоимость заметить на один подарок третьего вида, где конфет будет больше, потому $a< 3.$ Рассмотрим случаи

$a =2.$ Получаем уравнение $18b+15c= 210 ⇐⇒ 6b+ 5c =70,$ откуда $b$ кратно пяти, то есть $b∈{0,5,10}.$ Имеем решения $(0,14),(5,8),(10,2).$ Максимум достигается на первом, потому получаем набор $(2,0,14).$
$a =1.$ Имеем уравнение $18b+15c= 215,$ у которого нет решений в целых числах, потому что $220$ не делится на $3$ , а левая часть делится на $3$ .
$a =0.$ Аналогично нет решений для $18b+ 15c=220.$

Ответ:

$(2,0,14)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#69857Максимум баллов за задание: 7

Одна тетрадь, 3 блокнота и 2 ручки стоят 98 рублей, а 3 тетради и блокнот — на 36 рублей дешевле 5 ручек. Сколько стоит каждый из предметов, если тетрадь стоит чётное число рублей? (Каждый из этих предметов стоит натуральное число рублей.)

Внесите в ответ через пробелов без знаков препинания, сколько стоят тетрадь, блокнот и ручка (именно в таком порядке).

Источники: ОММО-2011, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым и самым очевидным шагов будет составление системы уравнений. Пусть тетрадь стоит z рублей, блокнот — y рублей, а ручка — z рублей. Подумайте, как в данную систему привести к уравнению, которое можно будет использовать в дальнейшем решении. Не забудьте про дополнительное условие на стоимость тетради, его дали нам не просто так.

Подсказка 2

Достаточно очевидно, что y стоит сохранить, чтобы воспользоваться в дальнейшем его четностью, от z будет сложнее избавиться из-за неудобных коэффициентов. Поэтому избавляемся от x путем домножения на 3 одного из уравнений и сложения его со вторым. И получаем 8y+11z=330. Подумайте, на что должен делиться y и какие значения может принимать.

Подсказка 3

Из уравнения 8y+11z=330 следует, что y обязан делиться на 11. Но при этом стоит отметить, что y > 22 нам не подойдет. Докажите, почему это так, а после найдите остальные переменные.

Показать ответ и решение

Пусть тетрадь стоит $x$ рублей, блокнот — $y$ рублей, а ручка — $z$ рублей. $x, y, z ∈ℕ$ . Составим систему уравнений:

{ x +3y+ 2z = 98 5z− (3x +y)= 36

Домножим первое уравнение на $3$ и сложим со вторым, получим

8y+ 11z =330

Так как $11z и 330$ делятся на $11$ , то $y$ должно делиться на $11$ .

Рассмотрим первое уравнение. Так как $x$ четное по условию и $2z, 98$ — четные, то $3y$ — тоже четное, следовательно $y$ — четное.

Единственным возможным значением $y$ , кратным $22$ , является $22$ (если $y ≥44$ , то первое уравнение не имеет решений, так как переменные натуральные).

Находим остальные переменные: $z = 14, x = 4.$

Ответ: 4 24 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#89255Максимум баллов за задание: 7

Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,05, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,04. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на $0,06$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть суммарно вклад составлял y миллионов рублей, из которых x миллионов рублей — первого вкладчика. Перепишите условие задачи в этих терминах.

Подсказка 2

Выразив x, скажите, что первый вкладчик добавил еще k миллионов рублей.

Показать ответ и решение

Пусть изначально суммарный вклад составлял $y$ миллионов рублей, из них $x$ миллионов рублей — первого вкладчика. Тогда его доля составляла $x y$ . После того, как первый добавил 1 млн рублей, суммарно вклад составил $(y+ 1)$ млн рублей, из них $(x+ 1)$ — первого вкладчика. Тогда его доля возросла до $x+1 y+1$ . По условию:

x +1 x y-+1 − y = 0,05

Умножим обе части на $y⋅(y+ 1):$

(x+1)⋅y− x⋅(y+1)= 0,05⋅(y+ 1)⋅y

y− x= 0,05y(y +1)

После того как он снова добавил 1 млн рублей, общая сумма вклада стала равна $(y +2)$ млн рублей, из них $(x+ 2)$ — первого вкладчика. По условию:

x+ 2 x+ 1 y+-2 − y+-1 =0,04

Умножим обе части на $(y+ 1)⋅(y+ 2):$

(x +2)⋅(y+1)− (x+1)⋅(y+2)= 0,04⋅(y+ 1)⋅(y+ 2)

y− x= 0,04(y+1)(y +2)

Тогда:

0,05y(y+ 1)= 0,04(y+ 1)(y+ 2)

0,05y = 0,04(y+ 2)

5y = 4(y+ 2)

y = 8

Из условия:

y− x= 0,05y(y +1)

Получим:

8− x= 0,05⋅8⋅9

x= 8− 3,6

x= 4,4

Если тот же вкладчик добавит ещё $k$ млн рублей, то его доля составит $x+2+k y+2+k$ . При найденных значениях $x$ и $y$ решим относительно $k$ уравнение, составленное из условия задачи: