Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Первое решение.

Преобразуем два первых слагаемых в левой части с помощью метода вспомогательного угла и оценим их:

А не превосходит , значит, вся сумма слева не больше . Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

Со вторым уравнением работать не хочется, давайте решим сначала первое и третье. Первое уравнение системы имеет решения , третье — , где . Тогда получаем . Но делится на , а на не делится, так что таких целых чисел и не существует. Значит, система, также как и исходное уравнение, не имеет решений.

Второе решение.

По неравенству Коши-Буняковского

Отсюда можно получить оценку на левую часть уравнения:

Для того, чтобы достигалось равенство (исходя из уравнения), должно

1) Достигаться равенство в неравенстве Коши-Буняковского

2) Достигаться равенство в оценке на квадрат косинуса

3) Достигаться равенство в оценке на синус:

Из условий (2) и (3) получаем, что , а из первого: . Отсюда приходим к уравнению которое противоречит условию (2).