Тема Тригонометрия

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тригонометрия
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88920

Решите уравнение

                2     2
6sin x+8 cosx= 5(tg x+ ctg x)
Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на 10:

3     4       1  2     2
5sinx +5 cosx = 2(tg x+ ctg x)

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

(        3
||{  cosφ = 5
||       4
(  sinφ= 5

Тогда получаем:

cosφsinx +sin φcosx = 1(tg2x+ ctg2x)
                   2

           (          )
sin(x+ φ)= 1 tg2x+ -1--
          2       tg2x

Заметим, что левая часть не больше 1,  а правая часть как минимум 1,  так как сумма взаимно обратных не менее 2.  Тогда равенство возможно тогда, когда левая и правая части равны 1.  Получаем систему:

(                         (|        π                       (|    π       ( 3)
|{  sin(x +φ)= 1             |{ x +φ = 2 + 2πk, k∈ ℤ =⇒        |{ x= 2 − arccos 5 + 2πk, k∈ ℤ
|(  1(tg2x+ -1-)= 1   =⇒   ||( x = π+ πn, n ∈ℤ           ⇐⇒   ||(    π   π
   2       tg2x                  4  2                         x= 4 + 2n, n ∈ℤ

Подставим x  во второе уравнение.

π  π    π                ( 3)  π       π
4 + 2n = 2 + 2πk ⇐⇒  arccos  5 = 4 +2πk− 2 n

Получили, что      (3)
arccos 5 можно выразить с помощью рациональных коэффициентов и π,  что невозможно. Значит, решений нет.

Ответ: нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88921

Решите уравнение

(5sinx+ 12cosx)(100+ 48cosx− 13cos2x)= 1757
Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на 13:

( 5      12    )                  2
  13sinx+ 13cosx (100 +48cosx− 13(2cos x− 1))= 135

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

(
||{ sinφ = 5-
|       13
|( cosφ= 12
        13

Получили следующее:

cos(x− φ)(− 26 cos2x+ 48 cosx+ 113)= 135

Проанализируем второй множитель. Это квадратное уравнение относительно cosx,  ветви параболы направлены вниз. Найдем наибольшее значение.

абсцисса вершины:= −48 = 12
                −52   13

При cosx= 12:
      13

    (  )2
− 26  12  + 48⋅ 12+ 113= 135
     13       13

Получили, что первый множитель не более 1,  второй множитель не более 135,  а правая часть равна 135.  Такое возможно только если выполняется следующая система:

(|{ cos(x− φ)= 1                (  )
                ⇐⇒   x= arccos 12  +2πk, k∈ ℤ
|( cosx= 12                    13
        13
Ответ:

 x =arccos(12) +2πk, k ∈ℤ
         13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89484

Решите уравнение

            √-
sin8x− cos6x=  3(sin6x+ cos8x)
Показать ответ и решение

Преобразуем, чтобы воспользоваться методом вспомогательного аргумента

      √-       √-
sin8x−  3cos8x =  3sin6x+ cos6x

1       √3-      √3-      1
2sin 8x − 2 cos8x = 2 sin6x+ 2cos6x

Применим формулы синуса разности и суммы

  (    π)     (    π)
sin 8x− 3  = sin 6x+ 6

  (     )    (     )
sin 8x− π3 − sin 6x+ π6  =0

Используем формулу разности синусов

   (      )    (      )
   | 2x− π2|    |14x− π6|
2sin( --2--) cos(---2--) = 0

  (   π)   (    π)
sin x− 4 cos 7x− 12  = 0

⌊   (   π )            ⌊     π
| sin x −4  = 0         | x − 4 = πk
⌈ cos(7x− -π) =0   ⇐ ⇒  ⌈ 7x −-π = π+ πk ,k∈ ℤ
         12                  12   2

⌊ x= π+ πk
||    4       ,k ∈ℤ
⌈ x= π-+ πk
     12  7
Ответ:

 π + πk, π-+ πk,k∈ ℤ
 4     12  7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91149

Найдите все значения параметра a,  при которых неравенство

|   2                2   |
|3sin x+ 2asinxcosx+cos x+ a|≤ 3

выполняется для любых значений x.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство, используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество

|   2              |
|2sin x+ asin(2x)+ 1+ a|≤ 3

|− cos(2x)+a sin(2x)+ 2+a|≤ 3

Воспользуемся методом дополнительного аргумента, пусть             (      )
φ =2x − arccos √-a--- ,
               a2 +1  тогда

||∘ -2---         ||
| a + 1sinφ+ 2+ a|≤3

({  √a2+1-sinφ+ 2+ a≤ 3
   √-----
(   a2+1 sinφ+ 2+ a≥ −3

(
||{ sin φ≤ √1−2-a-
         a + 1
||( sin φ≥ −√-52− a
         a + 1

Так как при фиксированном a  выражение            (       )
φ= 2x− arccos  √-a---
              a2+ 1 может принимать любые значения, то система будет выполняться для любых значений x  тогда и только тогда, когда

(|  -1−-a-
|{  √a2+-1 ≥1
||(  -−5−-a
   √a2+-1 ≤−1

(        2   2
{ 1− 2a+a  ≥a + 1
( 25+ 10a+ a2 ≥ a2+1

(
|{ a≤ 0
|(     12
  a≥ − 5

   [    ]
a∈ − 12;0
     5
Ответ:

[− 12;0]
  5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91978

Решите уравнение

sinx+ sin2x+ cosx= 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прибавим 1 к обеим частям уравнения и превратим её слева в ОТТ. Какую формулу можно заметить в левой части?

Подсказка 2

Уравнение преобразуется в квадратное относительно t = sin(x) + cos(x). Решите его!

Подсказка 3

Мы нашли значения t, осталось лишь перейти к значениям х. В этом нам очень поможет метод вспомогательного угла!

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что sin2x= (sinx+ cosx)2− 1

                    2
sinx +cosx+ (sinx +cosx)− 1= 1

Сделаем замену t= cosx+ sinx,  получим

2
t+ t− 2= 0

(t− 1)(t+2)= 0

[
 t= 1
 t= −2

Тогда при обратной замене

⌊
⌈ sinx+ cosx= 1
  sinx+ cosx= −2

⌊ sin(x+ π) = 1√--
||       4     2
⌈ sin(x+ π) =− 2√--
        4      2

Заметим, что   -2-
− √ 2 < −1,  поэтому второе равенство невозможно, значит,

  (   π)   1
sin x+ 4  = √2-

⌊    π  π
| x+ 4 = 4 + 2πk, k ∈ℤ
|⌈    π  3π
  x+ 4 =-4 +2πk, k ∈ℤ

⌊
| x= 2πk, k∈ ℤ
⌈ x= π +2πk, k ∈ℤ
     2
Ответ:

 2πk,π+ 2πk, k∈ ℤ
    2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92345

Решите уравнение

      1+ √3
cos2x= --2--(cosx +sinx).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа у нас в аргументах функций стоит x, тогда слева раскроем косинус двойного угла по формуле! Как можно преобразовать левую часть, чтобы она стала схожа с правой?

Подсказка 2

После того, как раскроем косинус двойного угла, разложим на скобки разность квадратов. Теперь и слева, и справа есть сумма косинуса и синуса. Видим, что нужно разобрать случаи ;)

Подсказка 3

Или сумма синуса и косинуса равна нулю, или же их разность равна (1 + √3)/2. Первое решить не так сложно, а на какой метод решения намекает √3 справа?

Подсказка 4

Решите второй случай с помощью метода дополнительного аргумента!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла cos2x= cos2x− sin2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx).  После подстановки уравнение принимает вид

                      1+ √3
(cosx+ sinx)(cosx− sinx)= --2--(cosx+ sinx)

Таким образом, cosx+sinx= 0  или             √ -
cosx − sinx = 1+2-3.  Первое из этих уравнений эквивалентно tgx =− 1,  то есть x =− π4 + πk,k ∈ℤ.

Для решения второго уравнения применим метод дополнительного аргумента:

cosx − sin x= √2(cosπ cosx− sinπ sinx)= √2cos(x+ π)
                4        4               4

Тогда второе уравнение эквивалентно

                 -
      π   1-1-  √3-1--
cos(x+ 4)= 2√ 2 + 2 √2

      π      π   π
cos(x+ 4 )=cos(3 − 4)

В итоге, объединяя все ответы

⌊      π
| x = −4π + πk,k∈ ℤ
⌈ x = −6π + 2πk,k ∈ℤ
  x = −3 + 2πk,k ∈ℤ
Ответ:

− π + πk,− π+ 2πk,− π+ 2πk; k∈ ℤ.
  4      6       3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92364

Решите уравнение

           √-
tgx − 4sin x= 3.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на наше уравнение: формулы, которую можно удачно применить, сходу не видно – что будем делать? Возможно, стоит поработать с тангенсом?

Подсказка 2

Итак, видим тангенс – пишем ограничение. Может быть сразу перепишем его по определению как sin(x)/cos(x)?

Подсказка 3

Что хочется сделать, когда видим дробь? Удобно ли тут привести её к общему знаменателю? А может быть удастся вообще избавиться от него?

Подсказка 4

Не напоминает ли какое-то из слагаемых формулу для двойного угла? Перенесите его в правую часть и попробуйте преобразовать всё что осталось слева.

Подсказка 5

Удачное применение формулы для вспомогательного угла поможет свести уравнение к виду sin(a) = sin(b) – а уж такое решать мы умеем!

Показать ответ и решение

ОДЗ этого уравнения состоит из единственного условия: cosx⁄= 0,  что эквивалентно x ⁄= π+ πd,d∈ ℤ.
    2  Далее умножаем уравнение на cosx,  тогда оно принимает вид:

               √ -
sinx − 4sinx cosx=  3cosx

Используем формулу двойного аргумента и переносим правую часть влево:

      √ -
(sinx −  3cosx)− 2sin2x= 0

Разделим уравнение на 2  и воспользуемся методом дополнительного аргумента:

sin(x − π )=sin 2x
     3

[ x − π− 2x = 2πk,k∈ ℤ
 x − 3π+ 2x = π+ 2πk ∈ℤ
     3

[
  x =− π3 − 2πk,k ∈ℤ
  x = 4π9-+ 2πk3 ,k∈ ℤ
Ответ:

− π + 2πk,4π + 2πk; k∈ ℤ
  3      9   3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#102554

Решите уравнение

                  √-
sin3x− 2sin18xsinx= 3 2 − cos3x +2cosx.
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одна немаленькая константа намекает на оценку. Возможно, эта константа является верхней или нижней границей суммы тригонометрических выражений.

Подсказка 2

Чтобы получить искомую оценку, попробуйте по отдельности преобразовать суммы sin(3x) + cos(3x) и sin(18x) * sin(x) + cos(x). В этом вам поможет формула вспомогательного аргумента.

Подсказка 3

Этого достаточно, чтобы показать, что суммы тригонометрических выражений не больше 3√2. Осталось записать систему уравнений, которые следуют из выполнения равенства в оценке.

Показать ответ и решение

Применим формулы вспомогательного аргумента к следующим выражениям:

1. Для sin3x +cos3x :

             √-  (    π )
sin3x+cos3x=  2sin 3x+ 4

2. Для sin18x⋅sinx +cosx:

                 ∘---------- (                                  )
sin18x⋅sinx+ cosx=  sin2(18x)+ 1⋅ ∘--sin2(18x)---⋅sinx+ ∘---21------⋅cosx
                                sin (18x)+1         sin(18x)+1

Пусть √-sin(18x)--= cosy,
 sin2(18x)+1  тогда √---1-----=siny.
  sin2(18x)+1  Сворачиваем синус суммы:

∘--2-------
 sin (18x)+ 1⋅sin(x+ y)

Тогда исходное уравнение:

√-   (    π)  ∘ --2-------           √-
 2sin  3x + 4 − 2 sin (18x)+ 1⋅sin(x+y)= 3 2

Заметим, что:

     (     )
√2-sin 3x+ π  ≤√2-
          4

  ∘ ----------
−2  sin2(18x)+1 ⋅sin (x +y)≤ −2⋅√2 ⋅(−1)= 2√2

Тогда в сумме эти два выражения не более 3√2.  Значит, равенство достигается только при:

(|{ sin(3x+ π4)= 1
  sin(18x)= ±1
|( sin(x+ y)= −1

Случай 1: sin(18x)= 1.  Найдем y :

siny = ∘---1------= √1-
       sin2(18x)+1    2

     ---sin(18x)--   -1-
cosy = ∘sin2(18x)+1-= √2

Получаем, что y = π4.

(   (     )
|{ sin 3x+ π4 = 1
|( sin(18x)= 1
  sin(x+ π4)= −1

Из третьего уравнения получаем:

    3π
x= −-4 +2πk, k ∈ℤ

Проверяем подстановкой в два оставшихся уравнения в системе, такие x  не подходят, следовательно, нет решений.

Случай 2: sin(18x)= −1.  Тогда:

siny = ∘--21------= √1-
       sin (18x)+1    2

      --sin(18x)---    1--
cosy = ∘sin2(18x)+-1 = − √2

Получаем, что y = 3π4 .  Подставим это значение y  в систему:

(    (     )
|{  sin 3x+ π4 = 1
|(  sin(18x)= −1
   sin(x+ 3π4-)=− 1

Из третьего уравнения получаем:

    3π
x = 4-+ 2πk,  k∈ ℤ

Проверяем этот ответ подстановкой в два оставшихся уравнения в системе.

Итак,

x = 3π-+ 2πk,  k∈ ℤ
    4
Ответ:

 3π +2πk, k ∈ℤ
 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#62507

Решите уравнение

               ∘5-− sin2x
sinx+ cos8xcosx=  ---2---
Показать ответ и решение

Покажем выполнение следующего неравенства

               √ -  ∘-5− sin-2x
sinx+ cos8xcosx ≤  2≤   ---2---

Второе неравенство очевидно — оно следует из того, что sin2x≤ 1  . Для первого хочется применить формулу вспомогательного угла, но мешает лишний косинус. Заметим, что cos8xcosx> 0  , поскольку иначе левая часть не больше единицы и равенство невозможно. В силу симметрии мы можем рассмотреть только случай cosx> 0,cos8x> 0  , тогда выполнены неравенства

                               (              )       (     )
sinx +cos8x cosx≤ sinx +cosx⋅1= √2⋅ √1-sinx +√1-cosx = √2sin x + π ≤ √2
                                  2       2                4

Итак, неравенства доказаны, остаётся выписать условия, при которых в обоих достигаются равенства. Сделаем это по случаям

  • cosx> 0,cos8x> 0  . Здесь получаем систему

    (    (  π )           (    π
|{ sin x +4  =1         |{ x= 4πk+2πn            π
|( cos8x= 1      ⇐ ⇒   |( x= π4       ⇐ ⇒  x = 4 + 2πm
  sin 2x =1               x= 4 +πm
  • cosx< 0,cos8x< 0  . Аналогично имеем

    (|{ sin(x− π4)= 1        (|{  x= 34π+ 2πn
  cos8x =− 1     ⇐⇒      x= π+ πk     ⇐⇒   x∈ ∅
|( sin2x= 1            |(  x= 8π+ π4m
                           4

Замечание.

Быстро обосновать неравенство                √-
sinx +cos8x cosx≤  2  можно с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца:

(sinx+ cos8xcosx)2 ≤ (sin2x+ cos2x)(12+ cos28x)=1 +cos28x ≤2
Ответ:

 π + 2πn, n∈ ℤ
 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64445

Решите уравнение

√ -
  2(sinx +cosx)cosy = 3+ cos2y
Показать ответ и решение

Преобразуем правую часть через формулу вспомогательного угла и оценим

   (   π )
2sin x +4  cosy ≤2⋅1⋅1≤ 3+ cos2y

Поскольку в неравенствах достигается равенство, то получаем систему условий

(                               (    π
||||  co⌊s2{y = −1(  π)                |||| y⌊ ={2 +πn,nπ ∈ℤ
||{  |    sin x+ 4 = 1             ||{ |    x = 4 + 2πm,m ∈ℤ
||  ||| {  cosy( =1π)           ⇐⇒   || ||| {  y =2πk3,πk∈ ℤ
||||(  ⌈    sin x+ 4 = −1            ||||( ⌈    x =− 4-+ 2πm,m ∈ℤ
        cosy =− 1                       y =π +2πn,n∈ ℤ

Первое уравнение системы не выполнено в каждом случае, тогда можно сразу написать ответ.

Ответ:

решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31384

Решите уравнение (sinx +cosx)4 = 5− sin2x.

Показать ответ и решение

Оценим левую часть с помощью метода вспомогательного угла:

          4   √-       π 4     4    π
(sinx+ cosx) = ( 2⋅sin(x + 4)) = 4sin (x + 4)≤ 4.

Также нетрудно понять, что правая часть не меньше четырёх, тогда равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

{     4   π        {       π
   4sin(x+ 4)= 4  ⇔   cos(x+ 4)= 0
   5− sin 2x = 4       sin2x= 1

Оба уравнения системы дают одну и ту же серию решений π
4 + πn,n∈ ℤ  , значит, она является решением исходного уравнения.

Ответ:

 π + πn,n ∈ℤ
 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31389

Решите уравнение

     √-            2(    π)
sinx+  3cosx= 2+ 3cos  2x+ 6
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что слева у нас имеется сумма синуса и косинуса с довольно удачными коэффициентами 1 и √3. Разделим все выражение на 2 и заметим, что коэффициенты превратятся в 1/2 и √3/2 - синус и косинус П/3. Тогда воспользуемся этим и свернем выражение слева в синус суммы!

Подсказка 2

Получили, что синус равен сумме 1 и квадрата косинуса.... Подозрительно, не правда ли? Нечасто такое случается, наверное!

Показать ответ и решение

Поделим обе части на 2  и применим к левой метод вспомогательного угла:

      π      3  2    π
sin(x + 3)= 1+ 2cos (2x+ 6 )

Заметим, что левая часть не превосходит 1  , а правая не меньше 1  , тогда равенство равносильно системе:

{       π         {       π        {     π
  sin(x2 + 3)π=1    ⇔   sin(x+ 3)π= 1  ⇔   x = 6π + 2ππkn
  cos (2x +6) =0      cos(2x+ 6)= 0     x = 6 + 2 ,n,k ∈ℤ

Заметим, что вторая серия полностью включает в себя первую, поэтому первая серия корней является ответом.

Ответ:

 π + 2πn,n∈ ℤ
 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31390

Решите уравнение

√ -           7
  2sinx+ cosx = 4
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что в левой части равенства есть сумма синуса и косинуса с коэффициентами 1 и √2. Для того, чтобы воспользоваться методом вспомогательного угла, нам необходимо сделать эти коэффициенты равными синусу и косинусу некоторого угла. А это значит, что для них должно выполниться тригонометрическое тождество. Например, можно поделить все выражение на √3

Подсказка 2

Не пугаемся таких странных косинуса и синуса - можно использовать arcos(...) для удобства записи. Получим, что синус суммы равен какому-то числу. Время для оценки?

Показать ответ и решение

Поделим уравнение на √3  и применим к левой части метод вспомогательного угла:

           ∘-2    7
sin(x+ arccos(  3))= 4√3-

Нетрудно понять, что правая часть строго больше единицы, так как 49> 16⋅3  , а левая не превосходит единицы, значит, решений быть не может.

Ответ:

таких x  нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31391

Решите уравнение

3sinx +4cos3x cosx+ 2sin5x =7
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перобразуем два первых слагаемых в левой части и попробуем сделать перед синусом и косинусом коэффициенты такие, чтобы для них выполнялось тригонометрическое тождество. А затем воспользуемся методом вспомогательного угла.

Подсказка 2

Например, это можно сделать так - разделив на корень из суммы квадратов коэффициентов, которая в нашем случае равна: √(9+ 16cos^2(3x))

Подсказка 3

Получился синус суммы на страшный коэффициент! 2sin(5x) легко оценятся двойкой, давайте попробуем оценить нашу сумму двух первых слагаемых тогда пятеркой! (7-2)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Преобразуем два первых слагаемых в левой части с помощью метода вспомогательного угла и оценим их:

                    ∘ -----------  (       (       3     ) )  ∘ -----------  √-----
3sin(x)+ 4cos(3x)cos(x)=   9+16cos2(3x)sin  x+ arccos ∘9-+16cos2(3x)  ≤   9+ 16cos2(3x)≤  9+ 16 =5

А 2sin(5x)  не превосходит 2  , значит, вся сумма слева не больше 7  . Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

(|| cos2(3x)=1                            (|
|||{    (       (           ))            |||{ sin(3x)= 0
| sin  x+ arccos  √9+136cos2(3x)   =1    ⇐⇒   | sin(x+ arccos(35))= 1
||||(                                      |||(
  sin(5x)=1                               sin(5x)= 1

Со вторым уравнением работать не хочется, давайте решим сначала первое и третье. Первое уравнение системы имеет решения    πk
x= 3  , третье — x = π-+ 2πn
    10   5  , где n,k∈ℤ  . Тогда получаем 30x =10k= 3+ 12n
 π  . Но 10k− 12n  делится на 2  , а на 3  не делится, так что таких целых чисел n  и k  не существует. Значит, система, также как и исходное уравнение, не имеет решений.

Второе решение.

По неравенству Коши-Буняковского

(3⋅sinx+ 4cos3x⋅cosx)2 ≤(32+(4cos3x)2)⋅(sin2x+ cos2x)≤ 32+42 =25

Отсюда можно получить оценку на левую часть уравнения:

                        √ --
3sinx +4cos3xcosx+ 2sin5x ≤  25 +2sin 5x ≤5 +2= 7

Для того, чтобы достигалось равенство (исходя из уравнения), должно

1) Достигаться равенство в неравенстве Коши-Буняковского ⇐ ⇒   sinx= k⋅3,cosx= k⋅4cos3x;

2) Достигаться равенство в оценке на квадрат косинуса ⇐⇒   cos3x =±1;

3) Достигаться равенство в оценке на синус: sin5x= 1.

Из условий (2) и (3) получаем, что cos2x= 0  ⇐⇒   cosx= ± sinx  , а из первого: sin x⋅4cos3x= 3⋅cosx  . Отсюда приходим к уравнению cos3x =± 3,
        4  которое противоречит условию (2).

Ответ:

таких x  нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#33099

Решите уравнение

     √ -
(sinx −  3cosx)sin3x= 2.
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на это уравнение. Первое, что как-будто бы нас смущает, это скобка с синусом и косинусом. Ее сразу хочется преобразовать. Это же, по сути, неоднородное тригонометрическое уравнение(если приравнять эту скобку к 1, к примеру, или к другой константе). А как мы привыкли их решать? Может здесь также получится?

Подсказка 2

Да, можно свернуть эту скобку(перед этим поделив все уравнение на 2=sqrt(1^2+sqrt^2(3)) ) в sin(x-pi/3). Произведение двух синусов равно 1, хмм… А что это дает? Что можно теперь сказать?

Подсказка 3

Если произведение синусов равно 1, так как каждый модуль каждого синуса не больше 1, то либо оба синуса равны 1, либо оба -1. Остаётся решить эту систему(желательно отмечая точки на круге по каждому уравнению, для наглядности) и получить ответ.

Показать ответ и решение

Поделим обе части на 2  :

( 1      √3    )               (   π)
  2sinx − 2-cosx sin3x =1  ⇔   sin x− 3  sin3x= 1

В силу ограниченности синуса имеем |1|= |sin (x − π) sin3x|≤ 1
          3  , то есть в итоге 1 ≤1  . Но так как 1= 1  , то в неравенствах на модуль синуса должны достигаться равенства, а это возможно лишь в двух случаях:

  • sin3x= 1⇔ x= π + 2πn,n∈ ℤ
            6    3  и при этом sin(x− π)= 1⇔ x = 5π +2πk,k∈ ℤ
      3          6  . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.
  •                π  2πn
sin3x= −1⇔ x =− 6 + 3 ,n∈ ℤ  и при этом   (   π)           π
sin x− 3 = −1⇔  x= −6 +2πk,k∈ℤ  . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.
Ответ:

− π + πk, k∈ ℤ
  6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92009

Найти все значения c  , при которых уравнение 4sinx+ 9cosx= c  имеет решение.

Показать ответ и решение

Обозначим за x= tanx
      2  . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение

--8x--  9−-9x2  9+-8x− 9x2
x2+ 1 + x2 +1 =  x2+ 1   =c

Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно x  .

(9+ c)x2− 8x+ (c− 9)= 0

Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит,      2
64− 4c +4⋅81≥ 0  . Откуда  2
c ≤97  . Поскольку уравнение    x
tan 2 = d  имеет решение при любом вещественном d  , все c  , удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.

Если же старший член равен 0, то также несложно видеть, что уравнение имеет решение.

Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что    x
cos2 = 0  . Но тогда cosx= −1,sinx= 0  . То есть в этом случае c=− 9  , такое число уже входит в полученный отрезок.

Ответ:

 [−√97;√97]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#33643

Решите уравнение

---cos8x----  ---sin8x---- √-
cos3x +sin3x + cos3x− sin3x = 2

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте приведём всё к общему знаменателю. Тогда у нас образуется много попарных произведений, а в каких формулах они встречаются?

Подсказка 2

При помощи формул косинуса и синуса разности приходим к незамысловатому уравнению! Не забудьте про ОДЗ знаменателя ;)

Подсказка 3

У нас в аругментах есть и 5x, и 6x...давайте воспользуемся вспомогательным углом! Тогда останется лишь равенство на косинусы ;)

Показать ответ и решение

Приводя дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и применяя формулы косинуса и синуса разности

cos8xcos3x−-cos8xsin-3x-+cos3xsin8x+-sin3xsin8x  √ -       cos5x+-sin5x- √ -
              cos23x − sin23x              =  2 ⇐ ⇒      cos6x    =  2.

Последнее уравнение эквивалентно системе

{              √-
   cos5x+ sin5x=  2cos6x
   cos6x⁄= 0

Применим формулу вспомогательного угла

   (     )             [     π                       [     π
cos 5x− π = cos6x  ⇐ ⇒    5x− 4π =6x+ 2πk,        ⇐⇒    x = −π4 +22ππkk,
        4                5x− 4 =− 6x +2πk,k∈ ℤ         x = 44 + 11 ,k∈ ℤ.

Теперь учтём условие cos6x⁄= 0  .

Если x= − π +2πk
    4  , то cos6x= cos(− 3π +12πk)= 0
           2  , т.е. условие cos6x⁄= 0  нарушается.

Если x= π-+ 2πk-
   44  11  , то cos6x =cos(3π+ 12πk)
          22   11 . Найдём те целые значения n  и k  , при которых выполняется равенство 3π  12πk  π
 22 + 11 = 2 +πn  . Получаем                  n−4
12k= 4+ 11n,k= n−  12  . Поскольку k∈ ℤ  и n∈ ℤ  , отсюда следует, что    n−4
p=  12 ∈ℤ  . Значит, n = 12p+ 4,k= 11p+ 4  . Полученные значения переменной k  необходимо исключить. Окончательно получаем     π- 2πk
x = 44 + 11 ,k⁄= 11p +4,k∈ ℤ  , p∈ℤ  .

Ответ:

 π(1+-8k); k⁄= 11p +4,k∈ ℤ,p ∈ℤ
   44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#126018

Решить уравнение sin(x(η(x)− η(x − 7π))= 1+cosx  , где      { 1,x≥ 0
η(x)=   0,x< 0  — функция Хэвисайда.

Источники: Росатом - 2020, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, на какие интервалы следует разбить множество значений x, чтобы решить задачу?

Подсказка 2

Действительно, при x∈[0;7π) выражение слева примет значение: sin(x), а при x∈(-∞;0)∪[7π;+∞) примет значение: sin(0)

Подсказка 3

Решите уравнения на полученных интервалах!

Показать ответ и решение

Выражение               {  1,x ∈[0;7π)
η(x)− η(x− 7π)=  0,x ∈(−∞,0)∪ [7;+∞)

Случай 1.  x ∈[0;7π).  Уравнение принимает вид:

sinx= 1+ cosx

Поделив на √-
 2  и применив метод введения вспомогательного аргумента, получим:

  (    )
sin x− π  = 1√--
      4     2

Решим это уравнение:

⌊ x − π = π +2πk,k∈ ℤ
||     4  4
⌈ x − π = 3π+ 2πm,m ∈ℤ
      4   4

⌊ x= π +2πk,k∈ℤ
⌈    2
  x= π+ 2πm,m ∈ℤ

С учётом x∈ [0;7π),  имеем:

⌊    π
| x= 2 +2πk,k= 0,1,2,3
⌈
  x= π+ 2πm,m =0,1,2

Случай 2.  x ∈(−∞; 0)∪ [7;+∞ ).  Уравнение принимает вид:

1+ cosx =0

cosx= −1

Решим это уравнение:

x =π +2πm,m ∈ ℤ

C учётом x∈ (− ∞;0)∪[7;+ ∞),  имеем:

x= π+ 2πm,m =− 1,−2,−3,...,3,4...

Объединяя решения, полученные в рассмотренных выше случаях, решения, находим ответ:

x = π+ 2πk,k =0,1,2,3
    2

x= π(2m + 1),m ∈ℤ
Ответ:

 π + 2πk,
 2  где k ∈{0;1;2;3};  π(2m+ 1),  где m ∈ ℤ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#98812

Решите уравнение 4sinx− 3cosx= 5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на коэффициенты в нашем уравнении. Справа у нас 5, есть ли у нас идеи, как с таким числом работать?

Подсказка 2

Разделим обе части на 5. Что теперь можно сказать о коэффициентах перед тригонометрическими функциями?

Подсказка 3

Сумма их квадратов равна единичке! Тогда один из коэффциентов можно заменить на синус дополнительного угла, а другой — на косинус!

Подсказка 4

Тогда мы получим уравнение, в котором синус от некоторой разности равен единичке! А такое решать мы умеем ;)

Показать ответ и решение

4      3
5 sinx− 5cosx= 1

  (        (4) )
sin  x− arccos 5  = 1

        ( )
x − arccos 4 = π +2πk,k∈ℤ
         5    2

    π       (4)
x = 2 + arccos 5 +2πk,k∈ℤ
Ответ:

 π + arccos(4)+ 2πk,k ∈ℤ
 2       5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#46083

Решите уравнение

√- (---sinx---     )   --cosx---
 3  sinx− cosx + tg2x = sinx+ cosx.
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите tg(2x) через sin(x) и cos(x). tg(a) = sin(a)/cos(a), начните с этого.

Подсказка 2

Учтите ОДЗ и домножьте левую и правую часть на sin(x)+cos(x). Все получится!

Показать ответ и решение

На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:

√-(   sin x          2 sinxcosx      )      cosx
 3  sinx−-cosx-− (sin-x− cosx)(sinx-+cosx) = sinx+-cosx,
  √3-(sinx(sin x+cosx)− 2sinxcosx)= cosx(sinx − cosx),
        √-
         3sin x(sinx − cosx)=cosx(sinx− cosx).

На ОД3 sin x− cosx⁄= 0  , так что получаем уравнение

√-
 3sin x= cosx

√3-     1
2 sinx− 2cosx= 0

      π
sin(x− 6)= 0

x= π +πk,k∈ ℤ
   6

При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.

Ответ:

 π + πk,k∈ ℤ
 6

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!