Тема Тригонометрия

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88920

Решите уравнение

2 2 6sin x+8 cosx= 5(tg x+ ctg x)

Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на $10:$

3 4 1 2 2 5sinx +5 cosx = 2(tg x+ ctg x)

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

( 3 ||{ cosφ = 5 || 4 ( sinφ= 5

Тогда получаем:

cosφsinx +sin φcosx = 1(tg2x+ ctg2x) 2

( ) sin(x+ φ)= 1 tg2x+ -1-- 2 tg2x

Заметим, что левая часть не больше $1,$ а правая часть как минимум $1,$ так как сумма взаимно обратных не менее $2.$ Тогда равенство возможно тогда, когда левая и правая части равны $1.$ Получаем систему:

( (| π (| π ( 3) |{ sin(x +φ)= 1 |{ x +φ = 2 + 2πk, k∈ ℤ =⇒ |{ x= 2 − arccos 5 + 2πk, k∈ ℤ |( 1(tg2x+ -1-)= 1 =⇒ ||( x = π+ πn, n ∈ℤ ⇐⇒ ||( π π 2 tg2x 4 2 x= 4 + 2n, n ∈ℤ

Подставим $x$ во второе уравнение.

π π π ( 3) π π 4 + 2n = 2 + 2πk ⇐⇒ arccos 5 = 4 +2πk− 2 n

Получили, что $(3) arccos 5$ можно выразить с помощью рациональных коэффициентов и $π,$ что невозможно. Значит, решений нет.

Ответ: нет решений

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88921

Решите уравнение

(5sinx+ 12cosx)(100+ 48cosx− 13cos2x)= 1757

Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на $13:$

( 5 12 ) 2 13sinx+ 13cosx (100 +48cosx− 13(2cos x− 1))= 135

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

( ||{ sinφ = 5- | 13 |( cosφ= 12 13

Получили следующее:

cos(x− φ)(− 26 cos2x+ 48 cosx+ 113)= 135

Проанализируем второй множитель. Это квадратное уравнение относительно $cosx,$ ветви параболы направлены вниз. Найдем наибольшее значение.

абсцисса вершины:= −48 = 12 −52 13

При $cosx= 12: 13$

( )2 − 26 12 + 48⋅ 12+ 113= 135 13 13

Получили, что первый множитель не более $1,$ второй множитель не более $135,$ а правая часть равна $135.$ Такое возможно только если выполняется следующая система:

(|{ cos(x− φ)= 1 ( ) ⇐⇒ x= arccos 12 +2πk, k∈ ℤ |( cosx= 12 13 13

Ответ:

$x =arccos(12) +2πk, k ∈ℤ 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89484

Решите уравнение

√- sin8x− cos6x= 3(sin6x+ cos8x)

Показать ответ и решение

Преобразуем, чтобы воспользоваться методом вспомогательного аргумента

√- √- sin8x− 3cos8x = 3sin6x+ cos6x

1 √3- √3- 1 2sin 8x − 2 cos8x = 2 sin6x+ 2cos6x

Применим формулы синуса разности и суммы

( π) ( π) sin 8x− 3 = sin 6x+ 6

( ) ( ) sin 8x− π3 − sin 6x+ π6 =0

Используем формулу разности синусов

( ) ( ) | 2x− π2| |14x− π6| 2sin( --2--) cos(---2--) = 0

( π) ( π) sin x− 4 cos 7x− 12 = 0

⌊ ( π ) ⌊ π | sin x −4 = 0 | x − 4 = πk ⌈ cos(7x− -π) =0 ⇐ ⇒ ⌈ 7x −-π = π+ πk ,k∈ ℤ 12 12 2

⌊ x= π+ πk || 4 ,k ∈ℤ ⌈ x= π-+ πk 12 7

Ответ:

$π + πk, π-+ πk,k∈ ℤ 4 12 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91149

Найдите все значения параметра $a,$ при которых неравенство

| 2 2 | |3sin x+ 2asinxcosx+cos x+ a|≤ 3

выполняется для любых значений $x.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство, используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество

| 2 | |2sin x+ asin(2x)+ 1+ a|≤ 3

|− cos(2x)+a sin(2x)+ 2+a|≤ 3

Воспользуемся методом дополнительного аргумента, пусть $( ) φ =2x − arccos √-a--- , a2 +1$ тогда

||∘ -2--- || | a + 1sinφ+ 2+ a|≤3

({ √a2+1-sinφ+ 2+ a≤ 3 √----- ( a2+1 sinφ+ 2+ a≥ −3

( ||{ sin φ≤ √1−2-a- a + 1 ||( sin φ≥ −√-52− a a + 1

Так как при фиксированном $a$ выражение $( ) φ= 2x− arccos √-a--- a2+ 1$ может принимать любые значения, то система будет выполняться для любых значений $x$ тогда и только тогда, когда

(| -1−-a- |{ √a2+-1 ≥1 ||( -−5−-a √a2+-1 ≤−1

( 2 2 { 1− 2a+a ≥a + 1 ( 25+ 10a+ a2 ≥ a2+1

( |{ a≤ 0 |( 12 a≥ − 5

[ ] a∈ − 12;0 5

Ответ:

$[− 12;0] 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91978

Решите уравнение

sinx+ sin2x+ cosx= 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $sin2x= (sinx+ cosx)2− 1$

2 sinx +cosx+ (sinx +cosx)− 1= 1

Сделаем замену $t= cosx+ sinx,$ получим

2 t+ t− 2= 0

(t− 1)(t+2)= 0

[ t= 1 t= −2

Тогда при обратной замене

⌊ ⌈ sinx+ cosx= 1 sinx+ cosx= −2

⌊ sin(x+ π) = 1√-- || 4 2 ⌈ sin(x+ π) =− 2√-- 4 2

Заметим, что $-2- − √ 2 < −1,$ поэтому второе равенство невозможно, значит,

( π) 1 sin x+ 4 = √2-

⌊ π π | x+ 4 = 4 + 2πk, k ∈ℤ |⌈ π 3π x+ 4 =-4 +2πk, k ∈ℤ

⌊ | x= 2πk, k∈ ℤ ⌈ x= π +2πk, k ∈ℤ 2

Ответ:

$2πk,π+ 2πk, k∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92345

Решите уравнение

1+ √3 cos2x= --2--(cosx +sinx).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла $cos2x= cos2x− sin2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx).$ После подстановки уравнение принимает вид

1+ √3 (cosx+ sinx)(cosx− sinx)= --2--(cosx+ sinx)

Таким образом, $cosx+sinx= 0$ или $√ - cosx − sinx = 1+2-3.$ Первое из этих уравнений эквивалентно $tgx =− 1,$ то есть $x =− π4 + πk,k ∈ℤ.$

Для решения второго уравнения применим метод дополнительного аргумента:

cosx − sin x= √2(cosπ cosx− sinπ sinx)= √2cos(x+ π) 4 4 4

Тогда второе уравнение эквивалентно

- π 1-1- √3-1-- cos(x+ 4)= 2√ 2 + 2 √2

π π π cos(x+ 4 )=cos(3 − 4)

В итоге, объединяя все ответы

⌊ π | x = −4π + πk,k∈ ℤ ⌈ x = −6π + 2πk,k ∈ℤ x = −3 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$− π + πk,− π+ 2πk,− π+ 2πk; k∈ ℤ. 4 6 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92364

Решите уравнение

√- tgx − 4sin x= 3.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ этого уравнения состоит из единственного условия: $cosx⁄= 0,$ что эквивалентно $x ⁄= π+ πd,d∈ ℤ. 2$ Далее умножаем уравнение на $cosx,$ тогда оно принимает вид:

√ - sinx − 4sinx cosx= 3cosx

Используем формулу двойного аргумента и переносим правую часть влево:

√ - (sinx − 3cosx)− 2sin2x= 0

Разделим уравнение на $2$ и воспользуемся методом дополнительного аргумента:

sin(x − π )=sin 2x 3

[ x − π− 2x = 2πk,k∈ ℤ x − 3π− 2x = π+ 2πk ∈ℤ 3

[ x =− π3 − 2πk,k ∈ℤ x =− 43π− 2πk∈ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,− 4π-− 2πk; k∈ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#102554

Решите уравнение

√- sin3x− 2sin18xsinx= 3 2 − cos3x +2cosx.

Показать ответ и решение

Применим формулы вспомогательного аргумента к следующим выражениям:

1. Для $sin3x +cos3x :$

√- ( π ) sin3x+cos3x= 2sin 3x+ 4

2. Для $sin18x⋅sinx +cosx:$

∘---------- ( ) sin18x⋅sinx+ cosx= sin2(18x)+ 1⋅ ∘--sin2(18x)---⋅sinx+ ∘---21------⋅cosx sin (18x)+1 sin(18x)+1

Пусть $√-sin(18x)--= cosy, sin2(18x)+1$ тогда $√---1-----=siny. sin2(18x)+1$ Сворачиваем синус суммы:

∘--2------- sin (18x)+ 1⋅sin(x+ y)

Тогда исходное уравнение:

√- ( π) ∘ --2------- √- 2sin 3x + 4 − 2 sin (18x)+ 1⋅sin(x+y)= 3 2

Заметим, что:

( ) √2-sin 3x+ π ≤√2- 4

∘ ---------- −2 sin2(18x)+1 ⋅sin (x +y)≤ −2⋅√2 ⋅(−1)= 2√2

Тогда в сумме эти два выражения не более $3√2.$ Значит, равенство достигается только при:

(|{ sin(3x+ π4)= 1 sin(18x)= ±1 |( sin(x+ y)= −1

Случай 1: $sin(18x)= 1.$ Найдем $y :$

siny = ∘---1------= √1- sin2(18x)+1 2

---sin(18x)-- -1- cosy = ∘sin2(18x)+1-= √2

Получаем, что $y = π4.$

( ( ) |{ sin 3x+ π4 = 1 |( sin(18x)= 1 sin(x+ π4)= −1

Из третьего уравнения получаем:

3π x= −-4 +2πk, k ∈ℤ

Проверяем подстановкой в два оставшихся уравнения в системе, такие $x$ не подходят, следовательно, нет решений.

Случай 2: $sin(18x)= −1.$ Тогда:

siny = ∘--21------= √1- sin (18x)+1 2

--sin(18x)--- 1-- cosy = ∘sin2(18x)+-1 = − √2

Получаем, что $y = 3π4 .$ Подставим это значение $y$ в систему:

( ( ) |{ sin 3x+ π4 = 1 |( sin(18x)= −1 sin(x+ 3π4-)=− 1

Из третьего уравнения получаем:

3π x = 4-+ 2πk, k∈ ℤ

Проверяем этот ответ подстановкой в два оставшихся уравнения в системе.

Итак,

x = 3π-+ 2πk, k∈ ℤ 4

Ответ:

$3π +2πk, k ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#62507

Решите уравнение

∘5-− sin2x sinx+ cos8xcosx= ---2---

Показать ответ и решение

Покажем выполнение следующего неравенства

√ - ∘-5− sin-2x sinx+ cos8xcosx ≤ 2≤ ---2---

Второе неравенство очевидно — оно следует из того, что $sin2x≤ 1$ . Для первого хочется применить формулу вспомогательного угла, но мешает лишний косинус. Заметим, что $cos8xcosx> 0$ , поскольку иначе левая часть не больше единицы и равенство невозможно. В силу симметрии мы можем рассмотреть только случай $cosx> 0,cos8x> 0$ , тогда выполнены неравенства

( ) ( ) sinx +cos8x cosx≤ sinx +cosx⋅1= √2⋅ √1-sinx +√1-cosx = √2sin x + π ≤ √2 2 2 4

Итак, неравенства доказаны, остаётся выписать условия, при которых в обоих достигаются равенства. Сделаем это по случаям

$cosx> 0,cos8x> 0$ . Здесь получаем систему
$( ( π ) ( π |{ sin x +4 =1 |{ x= 4πk+2πn π |( cos8x= 1 ⇐ ⇒ |( x= π4 ⇐ ⇒ x = 4 + 2πm sin 2x =1 x= 4 +πm$
$cosx< 0,cos8x< 0$ . Аналогично имеем
$(|{ sin(x− π4)= 1 (|{ x= 34π+ 2πn cos8x =− 1 ⇐⇒ x= π+ πk ⇐⇒ x∈ ∅ |( sin2x= 1 |( x= 8π+ π4m 4$

Замечание.

Быстро обосновать неравенство $√- sinx +cos8x cosx≤ 2$ можно с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца:

(sinx+ cos8xcosx)2 ≤ (sin2x+ cos2x)(12+ cos28x)=1 +cos28x ≤2

Ответ:

$π + 2πn, n∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64445

Решите уравнение

√ - 2(sinx +cosx)cosy = 3+ cos2y

Показать ответ и решение

Преобразуем правую часть через формулу вспомогательного угла и оценим

( π ) 2sin x +4 cosy ≤2⋅1⋅1≤ 3+ cos2y

Поскольку в неравенствах достигается равенство, то получаем систему условий

( ( π |||| co⌊s2{y = −1( π) |||| y⌊ ={2 +πn,nπ ∈ℤ ||{ | sin x+ 4 = 1 ||{ | x = 4 + 2πm,m ∈ℤ || ||| { cosy( =1π) ⇐⇒ || ||| { y =2πk3,πk∈ ℤ ||||( ⌈ sin x+ 4 = −1 ||||( ⌈ x =− 4-+ 2πm,m ∈ℤ cosy =− 1 y =π +2πn,n∈ ℤ

Первое уравнение системы не выполнено в каждом случае, тогда можно сразу написать ответ.

Ответ:

решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31384

Решите уравнение $(sinx +cosx)4 = 5− sin2x.$

Показать ответ и решение

Оценим левую часть с помощью метода вспомогательного угла:

4 √- π 4 4 π (sinx+ cosx) = ( 2⋅sin(x + 4)) = 4sin (x + 4)≤ 4.

Также нетрудно понять, что правая часть не меньше четырёх, тогда равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

{ 4 π { π 4sin(x+ 4)= 4 ⇔ cos(x+ 4)= 0 5− sin 2x = 4 sin2x= 1

Оба уравнения системы дают одну и ту же серию решений $π 4 + πn,n∈ ℤ$ , значит, она является решением исходного уравнения.

Ответ:

$π + πn,n ∈ℤ 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31389

Решите уравнение

√- 2( π) sinx+ 3cosx= 2+ 3cos 2x+ 6

Показать ответ и решение

Поделим обе части на $2$ и применим к левой метод вспомогательного угла:

π 3 2 π sin(x + 3)= 1+ 2cos (2x+ 6 )

Заметим, что левая часть не превосходит $1$ , а правая не меньше $1$ , тогда равенство равносильно системе:

{ π { π { π sin(x2 + 3)π=1 ⇔ sin(x+ 3)π= 1 ⇔ x = 6π + 2ππkn cos (2x +6) =0 cos(2x+ 6)= 0 x = 6 + 2 ,n,k ∈ℤ

Заметим, что вторая серия полностью включает в себя первую, поэтому первая серия корней является ответом.

Ответ:

$π + 2πn,n∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31390

Решите уравнение

√ - 7 2sinx+ cosx = 4

Показать ответ и решение

Поделим уравнение на $√3$ и применим к левой части метод вспомогательного угла:

∘-2 7 sin(x+ arccos( 3))= 4√3-

Нетрудно понять, что правая часть строго больше единицы, так как $49> 16⋅3$ , а левая не превосходит единицы, значит, решений быть не может.

Ответ:

таких $x$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31391

Решите уравнение

3sinx +4cos3x cosx+ 2sin5x =7

Показать ответ и решение

Первое решение.

Преобразуем два первых слагаемых в левой части с помощью метода вспомогательного угла и оценим их:

∘ ----------- ( ( 3 ) ) ∘ ----------- √----- 3sin(x)+ 4cos(3x)cos(x)= 9+16cos2(3x)sin x+ arccos ∘9-+16cos2(3x) ≤ 9+ 16cos2(3x)≤ 9+ 16 =5

А $2sin(5x)$ не превосходит $2$ , значит, вся сумма слева не больше $7$ . Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

(|| cos2(3x)=1 (| |||{ ( ( )) |||{ sin(3x)= 0 | sin x+ arccos √9+136cos2(3x) =1 ⇐⇒ | sin(x+ arccos(35))= 1 ||||( |||( sin(5x)=1 sin(5x)= 1

Со вторым уравнением работать не хочется, давайте решим сначала первое и третье. Первое уравнение системы имеет решения $πk x= 3$ , третье — $x = π-+ 2πn 10 5$ , где $n,k∈ℤ$ . Тогда получаем $30x =10k= 3+ 12n π$ . Но $10k− 12n$ делится на $2$ , а на $3$ не делится, так что таких целых чисел $n$ и $k$ не существует. Значит, система, также как и исходное уравнение, не имеет решений.

Второе решение.

По неравенству Коши-Буняковского

(3⋅sinx+ 4cos3x⋅cosx)2 ≤(32+(4cos3x)2)⋅(sin2x+ cos2x)≤ 32+42 =25

Отсюда можно получить оценку на левую часть уравнения:

√ -- 3sinx +4cos3xcosx+ 2sin5x ≤ 25 +2sin 5x ≤5 +2= 7

Для того, чтобы достигалось равенство (исходя из уравнения), должно

1) Достигаться равенство в неравенстве Коши-Буняковского $⇐ ⇒ sinx= k⋅3,cosx= k⋅4cos3x;$

2) Достигаться равенство в оценке на квадрат косинуса $⇐⇒ cos3x =±1;$

3) Достигаться равенство в оценке на синус: $sin5x= 1.$

Из условий (2) и (3) получаем, что $cos2x= 0 ⇐⇒ cosx= ± sinx$ , а из первого: $sin x⋅4cos3x= 3⋅cosx$ . Отсюда приходим к уравнению $cos3x =± 3, 4$ которое противоречит условию (2).

Ответ:

таких $x$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#33099

Решите уравнение

√ - (sinx − 3cosx)sin3x= 2.

Показать ответ и решение

Поделим обе части на $2$ :

( 1 √3 ) ( π) 2sinx − 2-cosx sin3x =1 ⇔ sin x− 3 sin3x= 1

В силу ограниченности синуса имеем $|1|= |sin (x − π) sin3x|≤ 1 3$ , то есть в итоге $1 ≤1$ . Но так как $1= 1$ , то в неравенствах на модуль синуса должны достигаться равенства, а это возможно лишь в двух случаях:

$sin3x= 1⇔ x= π + 2πn,n∈ ℤ 6 3$ и при этом $sin(x− π)= 1⇔ x = 5π +2πk,k∈ ℤ 3 6$ . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.
$π 2πn sin3x= −1⇔ x =− 6 + 3 ,n∈ ℤ$ и при этом $( π) π sin x− 3 = −1⇔ x= −6 +2πk,k∈ℤ$ . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.

Ответ:

$− π + πk, k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92009

Найти все значения $c$ , при которых уравнение $4sinx+ 9cosx= c$ имеет решение.

Показать ответ и решение

Обозначим за $x= tanx 2$ . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение

--8x-- 9−-9x2 9+-8x− 9x2 x2+ 1 + x2 +1 = x2+ 1 =c

Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно $x$ .

(9+ c)x2− 8x+ (c− 9)= 0

Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит, $2 64− 4c +4⋅81≥ 0$ . Откуда $2 c ≤97$ . Поскольку уравнение $x tan 2 = d$ имеет решение при любом вещественном $d$ , все $c$ , удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.

Если же старший член равен 0, то также несложно видеть, что уравнение имеет решение.

Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что $x cos2 = 0$ . Но тогда $cosx= −1,sinx= 0$ . То есть в этом случае $c=− 9$ , такое число уже входит в полученный отрезок.

Ответ:

$[−√97;√97]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#33643

Решите уравнение

---cos8x---- ---sin8x---- √- cos3x +sin3x + cos3x− sin3x = 2

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Приводя дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и применяя формулы косинуса и синуса разности

cos8xcos3x−-cos8xsin-3x-+cos3xsin8x+-sin3xsin8x √ - cos5x+-sin5x- √ - cos23x − sin23x = 2 ⇐ ⇒ cos6x = 2.

Последнее уравнение эквивалентно системе

{ √- cos5x+ sin5x= 2cos6x cos6x⁄= 0

Применим формулу вспомогательного угла

( ) [ π [ π cos 5x− π = cos6x ⇐ ⇒ 5x− 4π =6x+ 2πk, ⇐⇒ x = −π4 +22ππkk, 4 5x− 4 =− 6x +2πk,k∈ ℤ x = 44 + 11 ,k∈ ℤ.

Теперь учтём условие $cos6x⁄= 0$ .

Если $x= − π +2πk 4$ , то $cos6x= cos(− 3π +12πk)= 0 2$ , т.е. условие $cos6x⁄= 0$ нарушается.

Если $x= π-+ 2πk- 44 11$ , то $cos6x =cos(3π+ 12πk) 22 11$ . Найдём те целые значения $n$ и $k$ , при которых выполняется равенство $3π 12πk π 22 + 11 = 2 +πn$ . Получаем $n−4 12k= 4+ 11n,k= n− 12$ . Поскольку $k∈ ℤ$ и $n∈ ℤ$ , отсюда следует, что $n−4 p= 12 ∈ℤ$ . Значит, $n = 12p+ 4,k= 11p+ 4$ . Полученные значения переменной $k$ необходимо исключить. Окончательно получаем $π- 2πk x = 44 + 11 ,k⁄= 11p +4,k∈ ℤ$ , $p∈ℤ$ .

Ответ:

$π(1+-8k); k⁄= 11p +4,k∈ ℤ,p ∈ℤ 44$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#98812

Решите уравнение $4sinx− 3cosx= 5.$

Показать ответ и решение

4 3 5 sinx− 5cosx= 1

( (4) ) sin x− arccos 5 = 1

( ) x − arccos 4 = π +2πk,k∈ℤ 5 2

π (4) x = 2 + arccos 5 +2πk,k∈ℤ

Ответ:

$π + arccos(4)+ 2πk,k ∈ℤ 2 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#46083

Решите уравнение

√- (---sinx--- ) --cosx--- 3 sinx− cosx + tg2x = sinx+ cosx.

Показать ответ и решение

На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:

√-( sin x 2 sinxcosx ) cosx 3 sinx−-cosx-− (sin-x− cosx)(sinx-+cosx) = sinx+-cosx, √3-(sinx(sin x+cosx)− 2sinxcosx)= cosx(sinx − cosx), √- 3sin x(sinx − cosx)=cosx(sinx− cosx).

На ОД3 $sin x− cosx⁄= 0$ , так что получаем уравнение

√- 3sin x= cosx

√3- 1 2 sinx− 2cosx= 0

π sin(x− 6)= 0

x= π +πk,k∈ ℤ 6

При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.

Ответ:

$π + πk,k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32374

Решите уравнение

√- || 4x|| 2+ cosx = ||cos3 ||sinx.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $sinx <0$ , то равенство невозможно (область значений косинуса), потому $|| 4x|| sinx ≥ cos 3 sinx ≥0$ , откуда

√- || 4x || √- 2 =||cos3-||sinx− cosx≤ sinx − cosx= 2sin(x− π∕4)

Отсюда $sin(x− π∕4)= 1$ и $| | |cos4x3|= 1$ , то есть $x = 3π4-+ πk$ . Вспомним, что $sinx≥ 0$ , то есть $x = 3π4-+2πk$ . Далее $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk,k∈ ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

| | √2= |||cos4x|||sinx − cosx≤ |sin x|− cosx ≤|sinx|+ |cosx| 3

Если $a= |sinx|, b= |cosx|$ , то $(a+b)2 = a2+b2+ 2ab ≤2a2+ 2b2 = 2$ . Значит,

√ - ||| 4x||| √- 2= |cos3 |sinx− cosx≤ sinx − cosx≤ |sin x|+ |cosx|≤ 2

Значит, все неравенства становятся равенствами.

Значит, $2 2 a +b = 2ab$ , $− cosx= |cosx|$ и $| 4x| |cos3-|sinx= |sinx|$

Итого: $sinx = 1√2$ , $cosx= −√12$ , $cos4x3 = ±1$ . Это равносильно задаче. Осталось посчитать $x$ . Из первых 2 условия $x = 3π4-+2πk$ . Тогда $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk$ .

Ответ:

$3π +6πk,k∈ ℤ 4$