Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Поделим исходное уравнение на
Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть
Тогда получаем:
Заметим, что левая часть не больше а правая часть как минимум
так как сумма взаимно обратных не менее
Тогда равенство
возможно тогда, когда левая и правая части равны
Получаем систему:
Подставим во второе уравнение.
Получили, что можно выразить с помощью рациональных коэффициентов и
что невозможно. Значит, решений
нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Поделим исходное уравнение на
Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть
Получили следующее:
Проанализируем второй множитель. Это квадратное уравнение относительно ветви параболы направлены вниз. Найдем
наибольшее значение.
При
Получили, что первый множитель не более второй множитель не более
а правая часть равна
Такое возможно только если
выполняется следующая система:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Преобразуем, чтобы воспользоваться методом вспомогательного аргумента
Применим формулы синуса разности и суммы
Используем формулу разности синусов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при которых неравенство
выполняется для любых значений
Преобразуем исходное неравенство, используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество
Воспользуемся методом дополнительного аргумента, пусть тогда
Так как при фиксированном выражение
может принимать любые значения, то система будет
выполняться для любых значений
тогда и только тогда, когда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Прибавим 1 к обеим частям уравнения и превратим её слева в ОТТ. Какую формулу можно заметить в левой части?
Подсказка 2
Уравнение преобразуется в квадратное относительно t = sin(x) + cos(x). Решите его!
Подсказка 3
Мы нашли значения t, осталось лишь перейти к значениям х. В этом нам очень поможет метод вспомогательного угла!
Воспользуемся тем, что
Сделаем замену получим
Тогда при обратной замене
Заметим, что поэтому второе равенство невозможно, значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Справа у нас в аргументах функций стоит x, тогда слева раскроем косинус двойного угла по формуле! Как можно преобразовать левую часть, чтобы она стала схожа с правой?
Подсказка 2
После того, как раскроем косинус двойного угла, разложим на скобки разность квадратов. Теперь и слева, и справа есть сумма косинуса и синуса. Видим, что нужно разобрать случаи ;)
Подсказка 3
Или сумма синуса и косинуса равна нулю, или же их разность равна (1 + √3)/2. Первое решить не так сложно, а на какой метод решения намекает √3 справа?
Подсказка 4
Решите второй случай с помощью метода дополнительного аргумента!
По формуле косинуса двойного угла После подстановки уравнение принимает
вид
Таким образом, или
Первое из этих уравнений эквивалентно
то есть
Для решения второго уравнения применим метод дополнительного аргумента:
Тогда второе уравнение эквивалентно
В итоге, объединяя все ответы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Посмотрим внимательно на наше уравнение: формулы, которую можно удачно применить, сходу не видно – что будем делать? Возможно, стоит поработать с тангенсом?
Подсказка 2
Итак, видим тангенс – пишем ограничение. Может быть сразу перепишем его по определению как sin(x)/cos(x)?
Подсказка 3
Что хочется сделать, когда видим дробь? Удобно ли тут привести её к общему знаменателю? А может быть удастся вообще избавиться от него?
Подсказка 4
Не напоминает ли какое-то из слагаемых формулу для двойного угла? Перенесите его в правую часть и попробуйте преобразовать всё что осталось слева.
Подсказка 5
Удачное применение формулы для вспомогательного угла поможет свести уравнение к виду sin(a) = sin(b) – а уж такое решать мы умеем!
ОДЗ этого уравнения состоит из единственного условия: что эквивалентно
Далее умножаем уравнение на
тогда оно принимает вид:
Используем формулу двойного аргумента и переносим правую часть влево:
Разделим уравнение на и воспользуемся методом дополнительного аргумента:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Одна немаленькая константа намекает на оценку. Возможно, эта константа является верхней или нижней границей суммы тригонометрических выражений.
Подсказка 2
Чтобы получить искомую оценку, попробуйте по отдельности преобразовать суммы sin(3x) + cos(3x) и sin(18x) * sin(x) + cos(x). В этом вам поможет формула вспомогательного аргумента.
Подсказка 3
Этого достаточно, чтобы показать, что суммы тригонометрических выражений не больше 3√2. Осталось записать систему уравнений, которые следуют из выполнения равенства в оценке.
Применим формулы вспомогательного аргумента к следующим выражениям:
1. Для
2. Для
Пусть тогда
Сворачиваем синус суммы:
Тогда исходное уравнение:
Заметим, что:
Тогда в сумме эти два выражения не более Значит, равенство достигается только при:
Случай 1: Найдем
Получаем, что
Из третьего уравнения получаем:
Проверяем подстановкой в два оставшихся уравнения в системе, такие не подходят, следовательно, нет решений.
Случай 2: Тогда:
Получаем, что Подставим это значение
в систему:
Из третьего уравнения получаем:
Проверяем этот ответ подстановкой в два оставшихся уравнения в системе.
Итак,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Покажем выполнение следующего неравенства
Второе неравенство очевидно — оно следует из того, что . Для первого хочется применить формулу вспомогательного угла, но
мешает лишний косинус. Заметим, что
, поскольку иначе левая часть не больше единицы и равенство невозможно. В силу
симметрии мы можем рассмотреть только случай
, тогда выполнены неравенства
Итак, неравенства доказаны, остаётся выписать условия, при которых в обоих достигаются равенства. Сделаем это по случаям
-
. Здесь получаем систему
-
. Аналогично имеем
Замечание.
Быстро обосновать неравенство можно с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Преобразуем правую часть через формулу вспомогательного угла и оценим
Поскольку в неравенствах достигается равенство, то получаем систему условий
Первое уравнение системы не выполнено в каждом случае, тогда можно сразу написать ответ.
решений нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Оценим левую часть с помощью метода вспомогательного угла:
Также нетрудно понять, что правая часть не меньше четырёх, тогда равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:
Оба уравнения системы дают одну и ту же серию решений , значит, она является решением исходного
уравнения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Заметим, что слева у нас имеется сумма синуса и косинуса с довольно удачными коэффициентами 1 и √3. Разделим все выражение на 2 и заметим, что коэффициенты превратятся в 1/2 и √3/2 - синус и косинус П/3. Тогда воспользуемся этим и свернем выражение слева в синус суммы!
Подсказка 2
Получили, что синус равен сумме 1 и квадрата косинуса.... Подозрительно, не правда ли? Нечасто такое случается, наверное!
Поделим обе части на и применим к левой метод вспомогательного угла:
Заметим, что левая часть не превосходит , а правая не меньше
, тогда равенство равносильно системе:
Заметим, что вторая серия полностью включает в себя первую, поэтому первая серия корней является ответом.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Заметим, что в левой части равенства есть сумма синуса и косинуса с коэффициентами 1 и √2. Для того, чтобы воспользоваться методом вспомогательного угла, нам необходимо сделать эти коэффициенты равными синусу и косинусу некоторого угла. А это значит, что для них должно выполниться тригонометрическое тождество. Например, можно поделить все выражение на √3
Подсказка 2
Не пугаемся таких странных косинуса и синуса - можно использовать arcos(...) для удобства записи. Получим, что синус суммы равен какому-то числу. Время для оценки?
Поделим уравнение на и применим к левой части метод вспомогательного угла:
Нетрудно понять, что правая часть строго больше единицы, так как , а левая не превосходит единицы, значит, решений быть
не может.
таких нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Давайте перобразуем два первых слагаемых в левой части и попробуем сделать перед синусом и косинусом коэффициенты такие, чтобы для них выполнялось тригонометрическое тождество. А затем воспользуемся методом вспомогательного угла.
Подсказка 2
Например, это можно сделать так - разделив на корень из суммы квадратов коэффициентов, которая в нашем случае равна: √(9+ 16cos^2(3x))
Подсказка 3
Получился синус суммы на страшный коэффициент! 2sin(5x) легко оценятся двойкой, давайте попробуем оценить нашу сумму двух первых слагаемых тогда пятеркой! (7-2)
Первое решение.
Преобразуем два первых слагаемых в левой части с помощью метода вспомогательного угла и оценим их:
А не превосходит
, значит, вся сумма слева не больше
. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда
справедлива следующая система:
Со вторым уравнением работать не хочется, давайте решим сначала первое и третье. Первое уравнение системы имеет решения ,
третье —
, где
. Тогда получаем
. Но
делится на
, а на
не
делится, так что таких целых чисел
и
не существует. Значит, система, также как и исходное уравнение, не имеет
решений.
Второе решение.
По неравенству Коши-Буняковского
Отсюда можно получить оценку на левую часть уравнения:
Для того, чтобы достигалось равенство (исходя из уравнения), должно
1) Достигаться равенство в неравенстве Коши-Буняковского
2) Достигаться равенство в оценке на квадрат косинуса
3) Достигаться равенство в оценке на синус:
Из условий (2) и (3) получаем, что , а из первого:
. Отсюда приходим к
уравнению
которое противоречит условию (2).
таких нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Посмотрим на это уравнение. Первое, что как-будто бы нас смущает, это скобка с синусом и косинусом. Ее сразу хочется преобразовать. Это же, по сути, неоднородное тригонометрическое уравнение(если приравнять эту скобку к 1, к примеру, или к другой константе). А как мы привыкли их решать? Может здесь также получится?
Подсказка 2
Да, можно свернуть эту скобку(перед этим поделив все уравнение на 2=sqrt(1^2+sqrt^2(3)) ) в sin(x-pi/3). Произведение двух синусов равно 1, хмм… А что это дает? Что можно теперь сказать?
Подсказка 3
Если произведение синусов равно 1, так как каждый модуль каждого синуса не больше 1, то либо оба синуса равны 1, либо оба -1. Остаётся решить эту систему(желательно отмечая точки на круге по каждому уравнению, для наглядности) и получить ответ.
Поделим обе части на :
В силу ограниченности синуса имеем , то есть в итоге
. Но так как
, то в неравенствах на модуль
синуса должны достигаться равенства, а это возможно лишь в двух случаях:
и при этом
. В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.
и при этом
. В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все значения , при которых уравнение
имеет решение.
Обозначим за . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение
Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно .
Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит,
. Откуда
. Поскольку уравнение
имеет решение при любом вещественном
, все
,
удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.
Если же старший член равен 0, то также несложно видеть, что уравнение имеет решение.
Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что . Но тогда
. То
есть в этом случае
, такое число уже входит в полученный отрезок.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Давайте приведём всё к общему знаменателю. Тогда у нас образуется много попарных произведений, а в каких формулах они встречаются?
Подсказка 2
При помощи формул косинуса и синуса разности приходим к незамысловатому уравнению! Не забудьте про ОДЗ знаменателя ;)
Подсказка 3
У нас в аругментах есть и 5x, и 6x...давайте воспользуемся вспомогательным углом! Тогда останется лишь равенство на косинусы ;)
Приводя дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и применяя формулы косинуса и синуса разности
Последнее уравнение эквивалентно системе
Применим формулу вспомогательного угла
Теперь учтём условие .
Если , то
, т.е. условие
нарушается.
Если , то
. Найдём те целые значения
и
, при которых выполняется равенство
. Получаем
. Поскольку
и
, отсюда следует, что
.
Значит,
. Полученные значения переменной
необходимо исключить. Окончательно получаем
,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение , где
— функция Хэвисайда.
Источники:
Подсказка 1
Подумайте, на какие интервалы следует разбить множество значений x, чтобы решить задачу?
Подсказка 2
Действительно, при x∈[0;7π) выражение слева примет значение: sin(x), а при x∈(-∞;0)∪[7π;+∞) примет значение: sin(0)
Подсказка 3
Решите уравнения на полученных интервалах!
Выражение
Случай
Уравнение принимает вид:
Поделив на и применив метод введения вспомогательного аргумента, получим:
Решим это уравнение:
С учётом имеем:
Случай
Уравнение принимает вид:
Решим это уравнение:
C учётом имеем:
Объединяя решения, полученные в рассмотренных выше случаях, решения, находим ответ:
где
где
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Обратите внимание на коэффициенты в нашем уравнении. Справа у нас 5, есть ли у нас идеи, как с таким числом работать?
Подсказка 2
Разделим обе части на 5. Что теперь можно сказать о коэффициентах перед тригонометрическими функциями?
Подсказка 3
Сумма их квадратов равна единичке! Тогда один из коэффциентов можно заменить на синус дополнительного угла, а другой — на косинус!
Подсказка 4
Тогда мы получим уравнение, в котором синус от некоторой разности равен единичке! А такое решать мы умеем ;)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Распишите tg(2x) через sin(x) и cos(x). tg(a) = sin(a)/cos(a), начните с этого.
Подсказка 2
Учтите ОДЗ и домножьте левую и правую часть на sin(x)+cos(x). Все получится!
На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:
На ОД3 , так что получаем уравнение
При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.