Тема . Тригонометрия

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тригонометрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91149

Найдите все значения параметра a,  при которых неравенство

|   2                2   |
|3sin x+ 2asinxcosx+cos x+ a|≤ 3

выполняется для любых значений x.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство, используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество

|   2              |
|2sin x+ asin(2x)+ 1+ a|≤ 3

|− cos(2x)+a sin(2x)+ 2+a|≤ 3

Воспользуемся методом дополнительного аргумента, пусть             (      )
φ =2x − arccos √-a--- ,
               a2 +1  тогда

||∘ -2---         ||
| a + 1sinφ+ 2+ a|≤3

({  √a2+1-sinφ+ 2+ a≤ 3
   √-----
(   a2+1 sinφ+ 2+ a≥ −3

(
||{ sin φ≤ √1−2-a-
         a + 1
||( sin φ≥ −√-52− a
         a + 1

Так как при фиксированном a  выражение            (       )
φ= 2x− arccos  √-a---
              a2+ 1 может принимать любые значения, то система будет выполняться для любых значений x  тогда и только тогда, когда

(|  -1−-a-
|{  √a2+-1 ≥1
||(  -−5−-a
   √a2+-1 ≤−1

(        2   2
{ 1− 2a+a  ≥a + 1
( 25+ 10a+ a2 ≥ a2+1

(
|{ a≤ 0
|(     12
  a≥ − 5

   [    ]
a∈ − 12;0
     5
Ответ:

[− 12;0]
  5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!