Тема Тригонометрия

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88920

Решите уравнение

2 2 6sin x+8 cosx= 5(tg x+ ctg x)

Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на $10:$

3 4 1 2 2 5sinx +5 cosx = 2(tg x+ ctg x)

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

( 3 ||{ cosφ = 5 || 4 ( sinφ= 5

Тогда получаем:

cosφsinx +sin φcosx = 1(tg2x+ ctg2x) 2

( ) sin(x+ φ)= 1 tg2x+ -1-- 2 tg2x

Заметим, что левая часть не больше $1,$ а правая часть как минимум $1,$ так как сумма взаимно обратных не менее $2.$ Тогда равенство возможно тогда, когда левая и правая части равны $1.$ Получаем систему:

( (| π (| π ( 3) |{ sin(x +φ)= 1 |{ x +φ = 2 + 2πk, k∈ ℤ =⇒ |{ x= 2 − arccos 5 + 2πk, k∈ ℤ |( 1(tg2x+ -1-)= 1 =⇒ ||( x = π+ πn, n ∈ℤ ⇐⇒ ||( π π 2 tg2x 4 2 x= 4 + 2n, n ∈ℤ

Подставим $x$ во второе уравнение.

π π π ( 3) π π 4 + 2n = 2 + 2πk ⇐⇒ arccos 5 = 4 +2πk− 2 n

Получили, что $(3) arccos 5$ можно выразить с помощью рациональных коэффициентов и $π,$ что невозможно. Значит, решений нет.

Ответ: нет решений

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88921

Решите уравнение

(5sinx+ 12cosx)(100+ 48cosx− 13cos2x)= 1757

Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на $13:$

( 5 12 ) 2 13sinx+ 13cosx (100 +48cosx− 13(2cos x− 1))= 135

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

( ||{ sinφ = 5- | 13 |( cosφ= 12 13

Получили следующее:

cos(x− φ)(− 26 cos2x+ 48 cosx+ 113)= 135

Проанализируем второй множитель. Это квадратное уравнение относительно $cosx,$ ветви параболы направлены вниз. Найдем наибольшее значение.

абсцисса вершины:= −48 = 12 −52 13

При $cosx= 12: 13$

( )2 − 26 12 + 48⋅ 12+ 113= 135 13 13

Получили, что первый множитель не более $1,$ второй множитель не более $135,$ а правая часть равна $135.$ Такое возможно только если выполняется следующая система:

(|{ cos(x− φ)= 1 ( ) ⇐⇒ x= arccos 12 +2πk, k∈ ℤ |( cosx= 12 13 13

Ответ:

$x =arccos(12) +2πk, k ∈ℤ 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89484

Решите уравнение

√- sin8x− cos6x= 3(sin6x+ cos8x)

Показать ответ и решение

Преобразуем, чтобы воспользоваться методом вспомогательного аргумента

√- √- sin8x− 3cos8x = 3sin6x+ cos6x

1 √3- √3- 1 2sin 8x − 2 cos8x = 2 sin6x+ 2cos6x

Применим формулы синуса разности и суммы

( π) ( π) sin 8x− 3 = sin 6x+ 6

( ) ( ) sin 8x− π3 − sin 6x+ π6 =0

Используем формулу разности синусов

( ) ( ) | 2x− π2| |14x− π6| 2sin( --2--) cos(---2--) = 0

( π) ( π) sin x− 4 cos 7x− 12 = 0

⌊ ( π ) ⌊ π | sin x −4 = 0 | x − 4 = πk ⌈ cos(7x− -π) =0 ⇐ ⇒ ⌈ 7x −-π = π+ πk ,k∈ ℤ 12 12 2

⌊ x= π+ πk || 4 ,k ∈ℤ ⌈ x= π-+ πk 12 7

Ответ:

$π + πk, π-+ πk,k∈ ℤ 4 12 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91149

Найдите все значения параметра $a,$ при которых неравенство

| 2 2 | |3sin x+ 2asinxcosx+cos x+ a|≤ 3

выполняется для любых значений $x.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство, используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество

| 2 | |2sin x+ asin(2x)+ 1+ a|≤ 3

|− cos(2x)+a sin(2x)+ 2+a|≤ 3

Воспользуемся методом дополнительного аргумента, пусть $( ) φ =2x − arccos √-a--- , a2 +1$ тогда

||∘ -2--- || | a + 1sinφ+ 2+ a|≤3

({ √a2+1-sinφ+ 2+ a≤ 3 √----- ( a2+1 sinφ+ 2+ a≥ −3

( ||{ sin φ≤ √1−2-a- a + 1 ||( sin φ≥ −√-52− a a + 1

Так как при фиксированном $a$ выражение $( ) φ= 2x− arccos √-a--- a2+ 1$ может принимать любые значения, то система будет выполняться для любых значений $x$ тогда и только тогда, когда

(| -1−-a- |{ √a2+-1 ≥1 ||( -−5−-a √a2+-1 ≤−1

( 2 2 { 1− 2a+a ≥a + 1 ( 25+ 10a+ a2 ≥ a2+1

( |{ a≤ 0 |( 12 a≥ − 5

[ ] a∈ − 12;0 5

Ответ:

$[− 12;0] 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91978

Решите уравнение

sinx+ sin2x+ cosx= 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прибавим 1 к обеим частям уравнения и превратим её слева в ОТТ. Какую формулу можно заметить в левой части?

Подсказка 2

Уравнение преобразуется в квадратное относительно t = sin(x) + cos(x). Решите его!

Подсказка 3

Мы нашли значения t, осталось лишь перейти к значениям х. В этом нам очень поможет метод вспомогательного угла!

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $sin2x= (sinx+ cosx)2− 1$

2 sinx +cosx+ (sinx +cosx)− 1= 1

Сделаем замену $t= cosx+ sinx,$ получим

2 t+ t− 2= 0

(t− 1)(t+2)= 0

[ t= 1 t= −2

Тогда при обратной замене

⌊ ⌈ sinx+ cosx= 1 sinx+ cosx= −2

⌊ sin(x+ π) = 1√-- || 4 2 ⌈ sin(x+ π) =− 2√-- 4 2

Заметим, что $-2- − √ 2 < −1,$ поэтому второе равенство невозможно, значит,

( π) 1 sin x+ 4 = √2-

⌊ π π | x+ 4 = 4 + 2πk, k ∈ℤ |⌈ π 3π x+ 4 =-4 +2πk, k ∈ℤ

⌊ | x= 2πk, k∈ ℤ ⌈ x= π +2πk, k ∈ℤ 2

Ответ:

$2πk,π+ 2πk, k∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92345

Решите уравнение

1+ √3 cos2x= --2--(cosx +sinx).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа у нас в аргументах функций стоит x, тогда слева раскроем косинус двойного угла по формуле! Как можно преобразовать левую часть, чтобы она стала схожа с правой?

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла $cos2x= cos2x− sin2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx).$ После подстановки уравнение принимает вид

1+ √3 (cosx+ sinx)(cosx− sinx)= --2--(cosx+ sinx)

Таким образом, $cosx+sinx= 0$ или $√ - cosx − sinx = 1+2-3.$ Первое из этих уравнений эквивалентно $tgx =− 1,$ то есть $x =− π4 + πk,k ∈ℤ.$

Для решения второго уравнения применим метод дополнительного аргумента:

cosx − sin x= √2(cosπ cosx− sinπ sinx)= √2cos(x+ π) 4 4 4

Тогда второе уравнение эквивалентно

- π 1-1- √3-1-- cos(x+ 4)= 2√ 2 + 2 √2

π π π cos(x+ 4 )=cos(3 − 4)

В итоге, объединяя все ответы

⌊ π | x = −4π + πk,k∈ ℤ ⌈ x = −6π + 2πk,k ∈ℤ x = −3 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$− π + πk,− π+ 2πk,− π+ 2πk; k∈ ℤ. 4 6 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92364

Решите уравнение

√- tgx − 4sin x= 3.

Показать ответ и решение

ОДЗ этого уравнения состоит из единственного условия: $cosx⁄= 0,$ что эквивалентно $x ⁄= π+ πd,d∈ ℤ. 2$ Далее умножаем уравнение на $cosx,$ тогда оно принимает вид:

√ - sinx − 4sinx cosx= 3cosx

Используем формулу двойного аргумента и переносим правую часть влево:

√ - (sinx − 3cosx)− 2sin2x= 0

Разделим уравнение на $2$ и воспользуемся методом дополнительного аргумента:

sin(x − π )=sin 2x 3

[ x − π− 2x = 2πk,k∈ ℤ x − 3π− 2x = π+ 2πk ∈ℤ 3

[ x =− π3 − 2πk,k ∈ℤ x =− 43π− 2πk∈ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,− 4π-− 2πk; k∈ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#62507

Решите уравнение

∘5-− sin2x sinx+ cos8xcosx= ---2---

Показать ответ и решение

Покажем выполнение следующего неравенства

√ - ∘-5− sin-2x sinx+ cos8xcosx ≤ 2≤ ---2---

Второе неравенство очевидно — оно следует из того, что $sin2x≤ 1$ . Для первого хочется применить формулу вспомогательного угла, но мешает лишний косинус. Заметим, что $cos8xcosx> 0$ , поскольку иначе левая часть не больше единицы и равенство невозможно. В силу симметрии мы можем рассмотреть только случай $cosx> 0,cos8x> 0$ , тогда выполнены неравенства

( ) ( ) sinx +cos8x cosx≤ sinx +cosx⋅1= √2⋅ √1-sinx +√1-cosx = √2sin x + π ≤ √2 2 2 4

Итак, неравенства доказаны, остаётся выписать условия, при которых в обоих достигаются равенства. Сделаем это по случаям

$cosx> 0,cos8x> 0$ . Здесь получаем систему
$( ( π ) ( π |{ sin x +4 =1 |{ x= 4πk+2πn π |( cos8x= 1 ⇐ ⇒ |( x= π4 ⇐ ⇒ x = 4 + 2πm sin 2x =1 x= 4 +πm$
$cosx< 0,cos8x< 0$ . Аналогично имеем
$(|{ sin(x− π4)= 1 (|{ x= 34π+ 2πn cos8x =− 1 ⇐⇒ x= π+ πk ⇐⇒ x∈ ∅ |( sin2x= 1 |( x= 8π+ π4m 4$

Замечание.

Быстро обосновать неравенство $√- sinx +cos8x cosx≤ 2$ можно с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца:

(sinx+ cos8xcosx)2 ≤ (sin2x+ cos2x)(12+ cos28x)=1 +cos28x ≤2

Ответ:

$π + 2πn, n∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64445

Решите уравнение

√ - 2(sinx +cosx)cosy = 3+ cos2y

Показать ответ и решение

Преобразуем правую часть через формулу вспомогательного угла и оценим

( π ) 2sin x +4 cosy ≤2⋅1⋅1≤ 3+ cos2y

Поскольку в неравенствах достигается равенство, то получаем систему условий

( ( π |||| co⌊s2{y = −1( π) |||| y⌊ ={2 +πn,nπ ∈ℤ ||{ | sin x+ 4 = 1 ||{ | x = 4 + 2πm,m ∈ℤ || ||| { cosy( =1π) ⇐⇒ || ||| { y =2πk3,πk∈ ℤ ||||( ⌈ sin x+ 4 = −1 ||||( ⌈ x =− 4-+ 2πm,m ∈ℤ cosy =− 1 y =π +2πn,n∈ ℤ

Первое уравнение системы не выполнено в каждом случае, тогда можно сразу написать ответ.

Ответ:

решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31384

Решите уравнение $(sinx +cosx)4 = 5− sin2x.$

Показать ответ и решение

Оценим левую часть с помощью метода вспомогательного угла:

4 √- π 4 4 π (sinx+ cosx) = ( 2⋅sin(x + 4)) = 4sin (x + 4)≤ 4.

Также нетрудно понять, что правая часть не меньше четырёх, тогда равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

{ 4 π { π 4sin(x+ 4)= 4 ⇔ cos(x+ 4)= 0 5− sin 2x = 4 sin2x= 1

Оба уравнения системы дают одну и ту же серию решений $π 4 + πn,n∈ ℤ$ , значит, она является решением исходного уравнения.

Ответ:

$π + πn,n ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31389

Решите уравнение

√- 2( π) sinx+ 3cosx= 2+ 3cos 2x+ 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что слева у нас имеется сумма синуса и косинуса с довольно удачными коэффициентами 1 и √3. Разделим все выражение на 2 и заметим, что коэффициенты превратятся в 1/2 и √3/2 - синус и косинус П/3. Тогда воспользуемся этим и свернем выражение слева в синус суммы!

Подсказка 2

Получили, что синус равен сумме 1 и квадрата косинуса.... Подозрительно, не правда ли? Нечасто такое случается, наверное!

Показать ответ и решение

Поделим обе части на $2$ и применим к левой метод вспомогательного угла:

π 3 2 π sin(x + 3)= 1+ 2cos (2x+ 6 )

Заметим, что левая часть не превосходит $1$ , а правая не меньше $1$ , тогда равенство равносильно системе:

{ π { π { π sin(x2 + 3)π=1 ⇔ sin(x+ 3)π= 1 ⇔ x = 6π + 2ππkn cos (2x +6) =0 cos(2x+ 6)= 0 x = 6 + 2 ,n,k ∈ℤ

Заметим, что вторая серия полностью включает в себя первую, поэтому первая серия корней является ответом.

Ответ:

$π + 2πn,n∈ ℤ 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31390

Решите уравнение

√ - 7 2sinx+ cosx = 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что в левой части равенства есть сумма синуса и косинуса с коэффициентами 1 и √2. Для того, чтобы воспользоваться методом вспомогательного угла, нам необходимо сделать эти коэффициенты равными синусу и косинусу некоторого угла. А это значит, что для них должно выполниться тригонометрическое тождество. Например, можно поделить все выражение на √3

Подсказка 2

Не пугаемся таких странных косинуса и синуса - можно использовать arcos(...) для удобства записи. Получим, что синус суммы равен какому-то числу. Время для оценки?

Показать ответ и решение

Поделим уравнение на $√3$ и применим к левой части метод вспомогательного угла:

∘-2 7 sin(x+ arccos( 3))= 4√3-

Нетрудно понять, что правая часть строго больше единицы, так как $49> 16⋅3$ , а левая не превосходит единицы, значит, решений быть не может.

Ответ:

таких $x$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31391

Решите уравнение

3sinx +4cos3x cosx+ 2sin5x =7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перобразуем два первых слагаемых в левой части и попробуем сделать перед синусом и косинусом коэффициенты такие, чтобы для них выполнялось тригонометрическое тождество. А затем воспользуемся методом вспомогательного угла.

Подсказка 2

Например, это можно сделать так - разделив на корень из суммы квадратов коэффициентов, которая в нашем случае равна: √(9+ 16cos^2(3x))

Подсказка 3

Получился синус суммы на страшный коэффициент! 2sin(5x) легко оценятся двойкой, давайте попробуем оценить нашу сумму двух первых слагаемых тогда пятеркой! (7-2)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Преобразуем два первых слагаемых в левой части с помощью метода вспомогательного угла и оценим их:

∘ ----------- ( ( 3 ) ) ∘ ----------- √----- 3sin(x)+ 4cos(3x)cos(x)= 9+16cos2(3x)sin x+ arccos ∘9-+16cos2(3x) ≤ 9+ 16cos2(3x)≤ 9+ 16 =5

А $2sin(5x)$ не превосходит $2$ , значит, вся сумма слева не больше $7$ . Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

(|| cos2(3x)=1 (| |||{ ( ( )) |||{ sin(3x)= 0 | sin x+ arccos √9+136cos2(3x) =1 ⇐⇒ | sin(x+ arccos(35))= 1 ||||( |||( sin(5x)=1 sin(5x)= 1

Со вторым уравнением работать не хочется, давайте решим сначала первое и третье. Первое уравнение системы имеет решения $πk x= 3$ , третье — $x = π-+ 2πn 10 5$ , где $n,k∈ℤ$ . Тогда получаем $30x =10k= 3+ 12n π$ . Но $10k− 12n$ делится на $2$ , а на $3$ не делится, так что таких целых чисел $n$ и $k$ не существует. Значит, система, также как и исходное уравнение, не имеет решений.

Второе решение.

По неравенству Коши-Буняковского

(3⋅sinx+ 4cos3x⋅cosx)2 ≤(32+(4cos3x)2)⋅(sin2x+ cos2x)≤ 32+42 =25

Отсюда можно получить оценку на левую часть уравнения:

√ -- 3sinx +4cos3xcosx+ 2sin5x ≤ 25 +2sin 5x ≤5 +2= 7

Для того, чтобы достигалось равенство (исходя из уравнения), должно

1) Достигаться равенство в неравенстве Коши-Буняковского $⇐ ⇒ sinx= k⋅3,cosx= k⋅4cos3x;$

2) Достигаться равенство в оценке на квадрат косинуса $⇐⇒ cos3x =±1;$

3) Достигаться равенство в оценке на синус: $sin5x= 1.$

Из условий (2) и (3) получаем, что $cos2x= 0 ⇐⇒ cosx= ± sinx$ , а из первого: $sin x⋅4cos3x= 3⋅cosx$ . Отсюда приходим к уравнению $cos3x =± 3, 4$ которое противоречит условию (2).

Ответ:

таких $x$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33099

Решите уравнение

√ - (sinx − 3cosx)sin3x= 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на это уравнение. Первое, что как-будто бы нас смущает, это скобка с синусом и косинусом. Ее сразу хочется преобразовать. Это же, по сути, неоднородное тригонометрическое уравнение(если приравнять эту скобку к 1, к примеру, или к другой константе). А как мы привыкли их решать? Может здесь также получится?

Подсказка 2

Да, можно свернуть эту скобку(перед этим поделив все уравнение на 2=sqrt(1^2+sqrt^2(3)) ) в sin(x-pi/3). Произведение двух синусов равно 1, хмм… А что это дает? Что можно теперь сказать?

Подсказка 3

Если произведение синусов равно 1, так как каждый модуль каждого синуса не больше 1, то либо оба синуса равны 1, либо оба -1. Остаётся решить эту систему(желательно отмечая точки на круге по каждому уравнению, для наглядности) и получить ответ.

Показать ответ и решение

Поделим обе части на $2$ :

( 1 √3 ) ( π) 2sinx − 2-cosx sin3x =1 ⇔ sin x− 3 sin3x= 1

В силу ограниченности синуса имеем $|1|= |sin (x − π) sin3x|≤ 1 3$ , то есть в итоге $1 ≤1$ . Но так как $1= 1$ , то в неравенствах на модуль синуса должны достигаться равенства, а это возможно лишь в двух случаях:

$sin3x= 1⇔ x= π + 2πn,n∈ ℤ 6 3$ и при этом $sin(x− π)= 1⇔ x = 5π +2πk,k∈ ℤ 3 6$ . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.
$π 2πn sin3x= −1⇔ x =− 6 + 3 ,n∈ ℤ$ и при этом $( π) π sin x− 3 = −1⇔ x= −6 +2πk,k∈ℤ$ . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.

Ответ:

$− π + πk, k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#33643

Решите уравнение

---cos8x---- ---sin8x---- √- cos3x +sin3x + cos3x− sin3x = 2

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Приводя дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и применяя формулы косинуса и синуса разности

cos8xcos3x−-cos8xsin-3x-+cos3xsin8x+-sin3xsin8x √ - cos5x+-sin5x- √ - cos23x − sin23x = 2 ⇐ ⇒ cos6x = 2.

Последнее уравнение эквивалентно системе

{ √- cos5x+ sin5x= 2cos6x cos6x⁄= 0

Применим формулу вспомогательного угла

( ) [ π [ π cos 5x− π = cos6x ⇐ ⇒ 5x− 4π =6x+ 2πk, ⇐⇒ x = −π4 +22ππkk, 4 5x− 4 =− 6x +2πk,k∈ ℤ x = 44 + 11 ,k∈ ℤ.

Теперь учтём условие $cos6x⁄= 0$ .

Если $x= − π +2πk 4$ , то $cos6x= cos(− 3π +12πk)= 0 2$ , т.е. условие $cos6x⁄= 0$ нарушается.

Если $x= π-+ 2πk- 44 11$ , то $cos6x =cos(3π+ 12πk) 22 11$ . Найдём те целые значения $n$ и $k$ , при которых выполняется равенство $3π 12πk π 22 + 11 = 2 +πn$ . Получаем $n−4 12k= 4+ 11n,k= n− 12$ . Поскольку $k∈ ℤ$ и $n∈ ℤ$ , отсюда следует, что $n−4 p= 12 ∈ℤ$ . Значит, $n = 12p+ 4,k= 11p+ 4$ . Полученные значения переменной $k$ необходимо исключить. Окончательно получаем $π- 2πk x = 44 + 11 ,k⁄= 11p +4,k∈ ℤ$ , $p∈ℤ$ .

Ответ:

$-π+ 2πk,k⁄= 11p+ 4,k∈ℤ,p∈ ℤ 44 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#98812

Решите уравнение $4sinx− 3cosx= 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на коэффициенты в нашем уравнении. Справа у нас 5, есть ли у нас идеи, как с таким числом работать?

Подсказка 2

Разделим обе части на 5. Что теперь можно сказать о коэффициентах перед тригонометрическими функциями?

Подсказка 3

Сумма их квадратов равна единичке! Тогда один из коэффциентов можно заменить на синус дополнительного угла, а другой — на косинус!

Подсказка 4

Тогда мы получим уравнение, в котором синус от некоторой разности равен единичке! А такое решать мы умеем ;)

Показать ответ и решение

4 3 5 sinx− 5cosx= 1

( (4) ) sin x− arccos 5 = 1

( ) x − arccos 4 = π +2πk,k∈ℤ 5 2

π (4) x = 2 + arccos 5 +2πk,k∈ℤ

Ответ:

$π + arccos(4)+ 2πk,k ∈ℤ 2 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#46083

Решите уравнение

√- (---sinx--- ) --cosx--- 3 sinx− cosx + tg2x = sinx+ cosx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите tg(2x) через sin(x) и cos(x). tg(a) = sin(a)/cos(a), начните с этого.

Подсказка 2

Учтите ОДЗ и домножьте левую и правую часть на sin(x)+cos(x). Все получится!

Показать ответ и решение

На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:

√-( sin x 2 sinxcosx ) cosx 3 sinx−-cosx-− (sin-x− cosx)(sinx-+cosx) = sinx+-cosx, √3-(sinx(sin x+cosx)− 2sinxcosx)= cosx(sinx − cosx), √- 3sin x(sinx − cosx)=cosx(sinx− cosx).

На ОД3 $sin x− cosx⁄= 0$ , так что получаем уравнение

√- 3sin x= cosx

√3- 1 2 sinx− 2cosx= 0

π sin(x− 6)= 0

x= π +πk,k∈ ℤ 6

При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.

Ответ:

$π + πk,k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32374

Решите уравнение

√- || 4x|| 2+ cosx = ||cos3 ||sinx.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $sinx <0$ , то равенство невозможно (область значений косинуса), потому $|| 4x|| sinx ≥ cos 3 sinx ≥0$ , откуда

√- || 4x || √- 2 =||cos3-||sinx− cosx≤ sinx − cosx= 2sin(x− π∕4)

Отсюда $sin(x− π∕4)= 1$ и $| | |cos4x3|= 1$ , то есть $x = 3π4-+ πk$ . Вспомним, что $sinx≥ 0$ , то есть $x = 3π4-+2πk$ . Далее $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk,k∈ ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

| | √2= |||cos4x|||sinx − cosx≤ |sin x|− cosx ≤|sinx|+ |cosx| 3

Если $a= |sinx|, b= |cosx|$ , то $(a+b)2 = a2+b2+ 2ab ≤2a2+ 2b2 = 2$ . Значит,

√ - ||| 4x||| √- 2= |cos3 |sinx− cosx≤ sinx − cosx≤ |sin x|+ |cosx|≤ 2

Значит, все неравенства становятся равенствами.

Значит, $2 2 a +b = 2ab$ , $− cosx= |cosx|$ и $| 4x| |cos3-|sinx= |sinx|$

Итого: $sinx = 1√2$ , $cosx= −√12$ , $cos4x3 = ±1$ . Это равносильно задаче. Осталось посчитать $x$ . Из первых 2 условия $x = 3π4-+2πk$ . Тогда $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk$ .

Ответ:

$3π +6πk,k∈ ℤ 4$

Предыдущий раздел

Следующий раздел