Тема Тригонометрия

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#32374Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- || 4x|| 2+ cosx = ||cos3 ||sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте воспользоваться тем, что справа находится модуль.

Подсказка 2

Что, если sin(x) < 0?

Подсказка 3

Докажите, что тогда равенство невозможно и надо рассматривать случаи, когда sin(x) ≥ 0.

Подсказка 4

Попробуйте оценить разность тригонометрических функций.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $sinx <0$ , то равенство невозможно (область значений косинуса), потому $|| 4x|| sinx ≥ cos 3 sinx ≥0$ , откуда

√- || 4x || √- 2 =||cos3-||sinx− cosx≤ sinx − cosx= 2sin(x− π∕4)

Отсюда $sin(x− π∕4)= 1$ и $| | |cos4x3|= 1$ , то есть $x = 3π4-+ πk$ . Вспомним, что $sinx≥ 0$ , то есть $x = 3π4-+2πk$ . Далее $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk,k∈ ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

| | √2= |||cos4x|||sinx − cosx≤ |sin x|− cosx ≤|sinx|+ |cosx| 3

Если $a= |sinx|, b= |cosx|$ , то $(a+b)2 = a2+b2+ 2ab ≤2a2+ 2b2 = 2$ . Значит,

√ - ||| 4x||| √- 2= |cos3 |sinx− cosx≤ sinx − cosx≤ |sin x|+ |cosx|≤ 2

Значит, все неравенства становятся равенствами.

Значит, $2 2 a +b = 2ab$ , $− cosx= |cosx|$ и $| 4x| |cos3-|sinx= |sinx|$

Итого: $sinx = 1√2$ , $cosx= −√12$ , $cos4x3 = ±1$ . Это равносильно задаче. Осталось посчитать $x$ . Из первых 2 условия $x = 3π4-+2πk$ . Тогда $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk$ .

Ответ:

$3π +6πk,k∈ ℤ 4$