Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тригонометрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36694

Вычислите:

(a)    (    )
arctg tg 7π4 ;

(b)           -
cos(arcctg(− √3))  ;

(c) ctg(2arcsin1)
         2 .

Подсказки к задаче

Подсказка а)

Арктангенс от тангенса это не тот же самый угол, что в аргументе стоит, но такой, что он находится путем прибавления или вычитания целого количества периодов тангенса до тех пор, пока он не попадет в интервал от -π/2 до π/2.

Подсказка 1 b)

Обозначим arсctg(-√3) за α, тогда нам нужно найти сos(α). При этом α ещё лежит в пределах (0; π) => мы знаем ctg(α), с помощью которого можем выразить и сам сos(α). Хм, α от 0 до π, что тогда мы можем сказать про синус этого угла?

Подсказка 2 b)

Именно, sin(α) > 0, а значит мы запросто находим знак cos(α). Осталось грамотно выразить cos(α) через ctg(α). Вспоминаем основное тригонометрическое тождество (ОТТ). Нам нужно, чтобы в записи получился ctg(α), это получится сделать, если мы поделим ОТТ на sin²(α). Теперь мы знаем всё для того, чтобы найти cos(α) :)

Подсказка 1 с)

Обозначим arcsin(1/2) за α. Тогда надо найти ctg(2α), причем теперь мы знаем, что sin(α) = 1/2, а что вы можете сказать тогда про cos(α)?

Подсказка 2 с)

Верно, cos(α) > 0 (посмотрите на область значений арксинуса), а значит cos(α) явно считается через sin(α). А ctg(2α) находится как cos(2α)/sin(2α). Теперь остается просто выразить синусы/косинусы двойных углов через уже известные функции одинарных :)

Показать ответ и решение

(a)     (  7π) [  π π]
arctg tg4- ∈ − 2,2 и при этом     ( 7π)  7π
arctg tg-4 = -4 +πk  для какого-то k∈ℤ  . Отсюда получаем     (  7π)   π
arctg tg4- = −4  .

(b) Пусть           √-
α = arcctg(− 3)  . Из области значений арккотангенса α ∈(0,π)  и ctgα< 0  , откуда sinα> 0  и cosα< 0  . Тогда

ctgα= √--cosα---= −√3-
        1− cos2α

  2          2
cos α= 3(1− cos α)

Отсюда cos2α = 3
       4  и cosα = − √3 <0
        2  .

(c) Пусть         1
α =arcsin2  . Тогда    [ π π]
α∈  −2,2 и cosα≥ 0  . Отсюда       √3
cosα=  2  . Получим

                 √3
sin2α= 2sinα cosα = 2--

cos2α= 2cos2α − 1 = 1 =⇒  ctg2α= √1-
                 2              3

Замечание. Нетрудно видеть, что во втором пункте α= 5π6  , а в третьем α = π6  .

Ответ:

(a)   π
− 4  ;

(b)   √-
− 23  ;

(c) √1-
  3  .

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!