Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Тема Тригонометрия

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91355

Решите уравнение:

x2−-8 x π arcsin 8 = 2arcsin 4 − 2.

Показать ответ и решение

Для начала напишем ОДЗ:

(| x2 − 8 |{ −1 ≤--8-- ≤1 ||( x −1 ≤-4 ≤ 1

Откуда

− 4≤ x≤ 4

Возьмём синус от обеих частей уравнения. Тогда слева получится:

( x2− 8) x2− 8 sin arcsin--8-- = --8--

А в правой части получится:

( ) sin 2 arcsinx − π 4 2

По формуле синуса разности это равно:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2arcsin x cos π − cos2arcsinx sin π =− cos 2arcsinx 4 2 4 2 4

Что по формуле косинуса двойного угла равно:

2sin2(arcsinx) − 1 =2( x)2− 1 = x2− 8 4 4 8

Получатся, что левая часть уравнения равна правой, откуда решениями будут такие $x$ из ОДЗ, при которых правая часть уравнения попадает в область значения арксинуса. Так как арксинус является строго возрастающей функций, при $x < 0$ верно, что

x π π π 2 arcsin4 − 2 < 2arcsin(0)− 2 = −2

При $x≥ 0$ верно, что

π x π π π − 2 ≤ 2arcsin 4 − 2 ≤2arcsin1− 2 = 2

Итак, $x ∈[0;4].$

Ответ:

$[0;4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103994

Решите уравнение $arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5)$ .

Показать ответ и решение

Существует такой $x,$ при котором найдётся угол $α ∈ [0;π], α= arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5) 2$ тогда и только тогда, когда

( |{ 0≤ 9x− 6≤ 1 |( 0≤ 7x−25≤ 1 2 (9x − 6) + (7x− 5) =1

Уравнение из системы равносильно

2 2 81x − 108x+ 36+49x − 70x +25= 1

130x2− 178x+ 60= 0

x= 3 или x= 10 5 13

Но так как

9⋅ 3 − 6 = 27-− 6 <0, 5 5

то $x= 35$ не удовлетворяет первому неравенству системы.

А корень $x= 1103$ тривиальной подстановкой уже оказывается подходящим под неравенства системы.

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#107199

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что

(sinπx+ sinπy)sinπx= (cosπx+ cosπy)cosπx.

б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству

x y 3π arcsin 5 + arccos4 < 2 ?

Источники: Физтех - 2025, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

πx − πy 3πx+ πy cos(2πx)= − cos(π(x+ y)) ⇔ 2cos---2-- cos---2---= 0,

откуда $π π 2(y− x)= 2 + πk,k∈ℤ$ или $π π 2(3x+ y)= 2 + πm,m ∈ℤ$ .

Уравнению удовлетворяют все такие $(x,y)$ , что либо $y =1 +x+ 2k$ , либо $y = 1− 3x +2m$ , где $k$ и $m$ — целые. Заметим, что для целых $x,y$ все точки, описываемые равенством $y = 1− 3x +2m,m ∈ ℤ$ , уже встречаются среди точек вида $y =1+ x+ 2k,k ∈ℤ$ (достаточно взять $k =m − x)$ .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций $arcsint$ и $arccost$ сумма $arcsinx5+$ $+ arccosy4$ всегда лежит в $[ ] − π2,3π2-$ , поэтому неравенство задаёт ограничения $x ∈[−5,5],y ∈ [− 4,4]$ (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также $(x,y)⁄= (5,− 4)$ (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника $− 5≤ x≤ 5,− 4≤ y ≤ 4$ без угловой точки $(x,y)= (5,− 4)$ , лежащих на прямых $y = x+ 1+ 2k,k ∈ℤ$ . Несложно видеть, что при чётных $x$ в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных $x$ — по 5 точек, за исключением $x =5$ . Тогда получаем суммарно $5 ×5+ 4× 6= 49$ точек.

Ответ:

а) $y =1+ x+ 2k$ , где $k∈ℤ,x ∈ℝ;$

$y = 1− 3x+ 2m$ , где $m ∈ ℤ,x ∈ℝ$

б) 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81378

Решите уравнение

2x−-1 x-+3- arctg x+ 2 + arctg3x− 1 = x

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.5 (см. www.fa.ru)

Показать ответ и решение

Посчитаем

2x-− 1 -x+-3 tg(arctg x+ 2 +arctg3x − 1)=

2x−-1 x+3- = -x+22x−+1-3x−x1+3-= 1− x+2-⋅3x−1-

7x2+ 7 = -x2+1-= 7

Тогда для корня уравнения $tg(x)= 7$ . При этом так как $π π − 2 < arctg(t)< 2$ , получаем $− π < x< π$ .

Откуда получаем, что кандидатами в корни могут быть только $arctg 7$ и $arctg 7− π$ . Покажем, что они подходят: для этого достаточно проверить, что при подстановке этих значений левая часть примет тот же знак, что и правая. (Так как левая часть всегда равна $arctg 7$ или $arctg7− π$ )

Для $x= arctg7$ имеем

arctg 2x-− 1 =arctg(2−-5-)>0, x+ 2 x+ 2

так как $2> 5> --5- 3 x +2$ для $x= arctg7$ в силу того, что $arctg7> arctg√3 = π> 1 3$ .

А также

x-+3- 1 -10-- arctg3x− 1 = arctg(3 + 9x − 3)> 0

Для $x= arctg7− π$ имеем

2x − 1 5 arctg-x+-2 =arctg(2− x+-2)<0,

так как

2< --5- ⇐⇒ 1> x+ 2> 2π − π+ 2= 2− 3π >0 x+ 2 5 5

А также

arctg x-+3-= arctg(1 +-10-)< 0, 3x− 1 3 9x − 3

потому что

1-< --1-- ⇐⇒ x< 0,3 − 9x< 30 (x> π − π > −3) 30 3− 9x 3

Значит, оба этих значения — корни.

Ответ:

$arctg7$ и $arctg7 − π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95955

Вычислите:

(a) $( ) arcsin sin4π3 ;$

(b) $sin(2arccos 13);$

Показать ответ и решение

(a)

Сначала найдем значение $4π- sin 3$ :

( ) ( ) √ - sin 4π3-= sin π+ π3 = − sin π3 = −-23

Теперь вычислим $( √-) arcsin −-32$ :

( √-) arcsin − -3- = − π 2 3

Итак, результат для (a):

( ) arcsin sin4π = − π 3 3

(b)

Используя формулу двойного угла для синуса:

sin(2𝜃)= 2sin(𝜃)cos(𝜃)

где $𝜃 =arccos13$ .

Сначала находим $sin(𝜃)$ :

∘---(--)- ∘----- ∘-- √- sin(𝜃)= ∘1-−-cos2(𝜃)= 1 − 1 2 = 1 − 1 = 8 = 2-2 3 9 9 3

Теперь подставим значения в формулу:

√- √- sin(2𝜃)=2 ⋅sin(𝜃)⋅cos(𝜃)= 2⋅ 232 ⋅ 13 = 492

Итак, результат для (b):

( ) √- sin 2arccos1 = 4-2 3 9

(c)

Используем основное тригонометрическое тождество:

2 2 cos(𝜃)+ sin (𝜃)= 1

где $𝜃 =arcsin 5 13$ . Из этого следует:

5- sin(𝜃)= 13

Теперь найдем $cos(𝜃)$ :

( )2 cos2(𝜃)= 1− sin2(𝜃)= 1− 5- = 1− 25-= 144- 13 169 169

Следовательно,

∘ 144 12 cos(𝜃)= 169 = 13

Так как $5 arcsin 13-$ находится в диапазоне от $π − 2$ до $π 2$ , где косинус неотрицателен, мы можем использовать положительное значение:

Итак, результат для (c):

( ) cos arcsin 5 = 12 13 13

Ответ:

(a) $− π 3$

(b) $4√2 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95957

Решите уравнение:

2 arccos x− arccosx − 6 =0.

Показать ответ и решение

Обозначим $y = arccosx$ . Теперь у нас есть квадратное уравнение

2 y − y− 6= 0

1 ±∘ (−-1)2−-4⋅1⋅(−-6) 1± √1+-24 1± 5 y =--------2⋅1------- = ----2----= -2--

Находим корни:

$1+5 y1 = 2--=3$

$1−5 y2 = 2--=− 2$

Делаем обратную замену.

$arccosx =3$ — это допустимое значение, так как $3$ находится в диапазоне от $0$ до $π$ . Тогда $x= cos3.$

$arccosx =− 2$ — это недопустимое значение, так как $arccosx$ не может быть отрицательным.

Ответ:

$cos3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95959

Решите уравнение:

1 sin(3arccosx)= 2.

Показать ответ и решение

Пусть $arccosx= a,$ где $a∈ [0;π].$ Тогда $sin3a= 1, 2$ тогда

⌊ π ⌊ -π 2π || 3a= 6 +2πk || a= 18 + 3 k ⌈ 3a= 5π +2πk ,k ∈ℤ =⇒ ⌈ 5π 2π- 6 a= 18 + 3 k ,k∈ ℤ

Под ограничения подходит только $k= 0$ и $k= 1.$ Тогда,

⌊ π- || arccosx= 18 || arccosx= π-+ 2π = 13π- ||| 18 3 18 || arccosx= 5π ||⌈ 18 arccosx= 5π+ 2π = 17π- 18 3 18

Найдем решения

⌊ ( ) x =cos π- ||| (18 ) || x =cos 13π ||| ( 18) || x =cos 5π ||⌈ (18 ) x =cos 17π 18

Ответ:

$cos(π-), cos(13π), cos(5π), cos(17π) 18 18 18 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95961

Докажите тождество

( 2) 2arcsin|x|= arccos1 − 2x .

Показать доказательство

Запишем ОДЗ:

{ − 1≤ |x|≤ 1 2 =⇒ −1≤ x≤ 1 − 1≤ 1− 2x ≤ 1

Сделаем замену:

[ π ] y = arcsin|x|, y ∈ 0; 2

|x|= siny

Тогда исходное уравнение преобразуется в следующее:

2 2y = arccos(1− 2 sin y)

Так как $2y ∈ [0;π]$ и $arccos(1 − 2sin2y)∈ [0;π],$ то можно взять от обеих частей косинус.

cos2y = 1− 2sin2y

cos2y = cos2y

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#96750

Вычислите:

1 -7 2arctg4 +arctg23.

Показать ответ и решение

Пусть

1 -7 α= arctg4 β = arctg23

Тогда

1 7 tgα= 4 tgβ = 23

1 tg2α = -2tgα--= -2⋅(4)--=-8 1− tg2α 1− 14 2 15

Посчитаем $tg(2α +β):$

8- -7 tg(2α+ β)= -tg2α-+tgβ--=--15-+8237 =1 1− tg2α⋅tgβ 1 −15 ⋅23

tg(2α+ β)=1 =⇒ 2α+ β = π 4

Следовательно,

2arctg 1+ 7-= π 4 23 4

Ответ:

$π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#96751

Решите уравнение:

arcsin x⋅arccosx =− 1.

Показать ответ и решение

Воспользуемся следущим фактом:

π arcsinx+ arccosx =-2

Тогда получили систему

{ π ( ) arcsinx+ arccosx= 2 =⇒ arcsinx ⋅ π− arcsinx =− 1 arcsinx⋅arccosx= −1 2

Решим это уравнение, как квадратное уравнение относительно $arcsinx.$ Тогда, $t= arcsinx, t ∈[− 1;1]$

π − t2+ 2t+ 1= 0

( )2 2 D = π2 − 4⋅(− 1)⋅1= π-+416

∘ ----- − π2-+-π2+416 π−-√π2-+16 t1 = −2 = 4

∘ -2--- √------ − π2-−-π-+416 π+--π2-+16 t2 = −2 = 4

Учитывая ограничения, заключаем, что $t2$ не подходит.

Обратная замена:

√ -2---- arcsinx= π-−--π4-+16

( √ -----) x = sin π-−--π2+16 4

Ответ:

$sin(π−√-π2+16) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#96752

Решите уравнение $arcsinx− arcctg x= 0.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение:

arcsin(x)− arcctg(x)= 0

ОДЗ:

− 1≤ x≤ 1

Перенесём $arcctg(x)$ направо:

arcsin(x)=arcctg(x)

$− π2 ≤arcsin(x)≤ π2$ и $0< arcctg(x)≤ π$ , вводим обозначения углов:

arcsin(x)= α, arcctg(x) =β

Теперь нужно решить:

α = β

Возьмём синусы от обеих частей, равенство достигается только в первой четверти ( $x≥ 0$ ), каждое значение синуса принимается по одному разу, поэтому равенство синусов гарантирует равенство углов:

sin(α)= sin(β)

Найдем $sin(β)$ , где $0 <β < π$ и $ctg(β)= x$ . По определению котангенса:

cos(β) sin(β)-= x

Возведем это уравнение в квадрат:

cos22(β)= x2 sin (β)

Используем основное тригонометрическое тождество $sin2(β)+ cos2(β)= 1$ , чтобы выразить $sin(β)$ через $x$ :

2 --1-- sin (β)= x2+ 1

Поскольку $0< β < π$ , $sin(β)$ > 0:

1 sin(β)= √x2+-1

Таким образом, наше уравнение становится:

sin(α)= √-1--- x2+ 1

Так как $sin(α)= x$ , то получаем уравнение:

---1-- x= √x2 +1

Возведём обе части в квадрат:

1 x2 = x2+-1

Умножим обе части на $x2+ 1$ , чтобы избавиться от знаменателя:

x2(x2+1)= 1

Раскроем скобки:

x4+ x2 = 1

Решим это биквадратное уравнение. Обозначим $2 y = x$ , тогда уравнение становится:

2 y + y− 1= 0

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

2 D =1 − 4⋅1⋅(−1)=1 +4 =5

Находим корни:

−1± √5 y =---2---

Так как $2 y = x ≥ 0$ , выбираем положительный корень:

√- y = −1+-5- 2

Следовательно, $√- x2 = −1+2-5$ . Поскольку $x≥ 0$ :

∘------- −1+-√5- x= 2

Ответ:

$∘ −1+√5 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#96753

Решите уравнение:

cos(2arccosx)= arcsin(cosx).

Показать ответ и решение

cos(2arccosx)= arcsin(cosx)

ОДЗ:

− 1≤ x≤ 1

Обозначим $arccosx= α$ .

cos2α = 2cos2α− 1= 2x2− 1,

поскольку при $− 1≤ x≤ 1$ получаем $cos(arccosx)=x$

arcsin(cosx)+ arccos(cosx)= π 2

{ arccos(cosx)= −x, −1 ≤x <0, arccos(cosx)= x, 0≤ x≤ 1.

{ 2 π 2x − 1= 2π + x, − 1≤x <0, 2x2− 1= 2 − x, 0 ≤x≤ 1.

С учётом ограничений (ОДЗ и условия для каждого уравнения) получаем:

1− √9+-4π x1 =----4----

√ ----- x2 = −-1+-9+-4π 4

Ответ:

$1-− √9-+4π-−-1+√9-+-4π 4 ; 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#96754

Решите уравнение:

-1-- -1-- π arctg x− 1 − arctg x+ 1 = 4

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x− 1⁄= 0 ⇒ x⁄= 1,

x +1 ⁄=0 ⇒ x⁄= −1.

Вспомним формулу разности арктангенсов:

(|| arctg ( a−b), если ab> −1, |{ (1+ aa−bb) arctga− arctgb =||| arctg (1+ab)+ π, если a> 0 и ab<− 1, ( arctg a1+−abb-− π, если a< 0 и ab<− 1.

a= --1- x− 1

b= -1-- x+ 1

ab= -1--⋅--1- = ----1-----= --1-- x− 1 x +1 (x − 1)(x+ 1) x2− 1

При $ab> −1$ :

( ) ( ) ( -1-− -1-) arctg -1-- − arctg --1- =arctg x−1--x+1- x− 1 x+ 1 1+ ab

-1-- -1-- (x+-1)− (x−-1) --2-- x− 1 − x+ 1 = (x− 1)(x+ 1) = x2− 1

--1-- --x2- 1+ ab =1+ x2− 1 = x2− 1

Таким образом:

(--2-) ( ) arctg (x2−21) = arctg -2 xx2−1 x2

( ) arctg 22 = π x 4

Так как $arctg1= π4$ , функция строго монотонна, приравняем аргументы:

2-= 1 ⇒ x2 =2 ⇒ x= ±√2 x2

--1- ab= 2 − 1 >− 1

Поскольку $√ - x= ± 2$ не равны ни 1, ни -1, следовательно, они принадлежат ОДЗ.

При $ab< −1$ и $a> 0$ :

( 2) π arctg x2 +π = 4,

что невозможно, так как левая часть больше, чем правая.

При $ab< −1$ и $a< 0$ :

( ) arctg -2 − π = π, x2 4

что также невозможно, так как левая часть становится отрицательной, что меньше правой.

Решение уравнения:

√- x =± 2

Ответ:

$√2;−√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#67587

Решите уравнение

π 5arcsin(cosx)=x + 2

Источники: Физтех-2023, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Так как по определению

({ sin b=a b= arcsina ⇐⇒ ( − π2 ≤ b≤ π2

То уравнение равносильно

( (x π ) { cosx =sin 5 + 10 ( − π ≤ x+ π-≤ π 2 5 10 2

( ( ) { cosx =cos 2π5-− x5 ( 3π x 2π- − 5 ≤ 5 ≤ 5

({ ±x= 2π− x +2πk,k∈ℤ ( 5 5 −3π ≤ x≤ 2π

( ⌊ |||| ⌈ x = π3 + 5π3k { x = 5πk-− π ,k∈ ℤ |||| 2 2 ( − 3π ≤ x≤ 2π

{ 4π π π } x∈ −3π;−-3 ;− 2;3;2π

Ответ:

${−3π;− 4π;− π;π ;2π} 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#77204

Решите уравнение

2 2arccosx− arccos(x +2x− 1)=sinx− arcsinx

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ −1 ≤x ≤1, √- 2 ⇒ 0≤ x≤ −1+ 3. −1 ≤x + 2x− 1≤1

Используем формулу $arcsinx+ arccosx = π: 2$

π 2 2 + arccosx − arccos(x + 2x− 2)=sin x

Заметим, что корень $x= π$ - подходит. Докажем, что других нет, используя монотонность. Пусть

π 2 f(x)= -2 + arccosx− arccos(x + 2x− 2)− sinx

Тогда для доказательства, что она монотонная будем использовать производную.

1 1 f(x)′ = −√---2-+(2x+ 2)⋅∘-----2-------2-− cosx. 1− x 1− (x + 2x− 2)

Докажем, что производная положительная, т.е. докажем следующую оценку при данных ограничениях:

(2x+ 2)⋅∘------1-------> cosx+ √--1-2- 1 − (x2+2x − 2)2 1− x

Оценим правую часть:

({ cosx <1 ---1-- √- ( √1-− x2 <2, при x∈ [0;−1+ 3]

Тогда правая часть не больше $3.$

Оценим левую часть:

1 ∘-----2-------2 > 1, т.к. мы делим 1 на число меньшее, чем 1 1− (x +2x − 2)

при $x∈ [0;−1+ √3].$ Значит хочется доказать, что $2x+ 1> √-1--- 1− x2$ (одну единицу мы взяли для оценки косинуса), т.к. тогда если это верно, то верно что и левая часть больше правой.

Доказательство:

---1-- 2 2 2x+ 1> √1-− x2 ⇒ (4x + 4x+ 1)(1− x )> 1

−4x4− 4x2+ 3x2+4x> 0.

Ввиду ограничения на $√- x∈ [0;−1+ 3],$ получаем:

{ 3 √- 4x>2 4x4− это верно для всех x∈ [0;−1+ 3] 3x − 4x > 0

2 4 2 2 3x − 4x > 0⇒ x (3− 4x )>0.

Подставим $x =−1 +√3-$ во второй множитель последнего неравенства:

√-2 3 2 9 3− 4⋅(−1+ 3) >3 − 4⋅(4) = 3− 4 > 0− верно

Значит при всех $√ - x ∈[0;−1 + 3]$ верно что

--1--- 2x+ 1> √1−-x2

Тогда функция монотонная и имеет один корень $x= π.$

Ответ:

$π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#101252

Решите неравенство:

√ -2 (x ) -π- π π ( 1- ) (x ) 2 x arcsin 2 − 6x2 + 2 ≥ 3|x|− x2 − 3 arcsin 2 .

В ответ запишите сумму всех целых значений $x,$ удовлетворяющих этому неравенству.

Показать ответ и решение

Перенесём всё влево и разложим на скобки:

( x π )( 1 ) arcsin2 − 6 2|x|+ x2 − 3 ≥ 0

1. Если

{ { arcsinx2 − π6 ≥0, ⇔ x ∈[1;2], 2 ⇔ x∈ [1;2]. 2|x|+ x12 − 3≥ 0 (2|x|+1)x(|2x|−1)-≥ 0

то цельми решениями являются 1 и 2.

2. Если

{ { arcsin x2 − π6 ≤ 0, ⇔ x∈ [− 2;1], 2 ⇔ x= ±1 2|x|+ 1x2 − 3 ≤0 (2|x|+1)(x2|x|−1)-≤ 0.

то целыми решениями являются -1 и 1.

Объединяя решения 1 и 2 случаев, получаем $x1 =− 1,x2 = 1,x3 =2$ . Их сумма равна 2.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#34723

Докажите равенство:

1 1 π arctg1+ arctg 2 + arctg3 = 2 .

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Отложим на оси координат от точки $D$ с координатами $(2;0)$ отрезок длины $2$ влево, длины $1$ вверх и длины $3$ вправо. Тогда $1 1 ∠BAD =arctg 2,∠BCD =arctg3.$ В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов $2 √- √-- 5 =5 +10− 2⋅ 5⋅ 10⋅cosABC.$ Тогда $√2- π cosABC = −-2 =⇒ ∠ABC =π −4$ . По теореме о сумме углов в треугольнике получаем, что $1 1 π arctg2 +arctg3 = 4$ , откуда следует $1 1 π arctg1 +arctg2 +arctg3 = 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Сначала заметим, что $arctg 1= π4$ . Кроме того, $arctg 12 + arctg 13 ∈ (0,π)$ из-за области определения каждого арктангенса из суммы. По формуле тангенса суммы

( ) 1 1 tg arctg 1+ arctg 1 =-2 +131-=1 =⇒ arctg 1 +arctg 1 = π 2 3 1− 2 ⋅3 2 3 4

Поскольку угол лежит на промежутке $(0,π)$ , то это единственное возможное значение. Отсюда сумма из условия равна $π π π 4 + 4 = 2$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Рассмотрим прямоугольник $ABDC$ со сторонами $2$ и $3$ и построим из точки $A$ лучи с нужными тангенсами:

$PIC$

Заметим, что $1 ∠EAB = arctg3$ и $1 ∠CAF = arctg2$ , то есть осталось доказать, что $∠F AE =45∘ = arctg1$ (поскольку сумма всех трёх равна $90∘$ ). Но $AF2+ FE2 =10 =AE2$ , так что по обратной теореме Пифагора $∠AFE =90∘$ , причём $△AF E$ равнобедренный прямоугольный, откуда и следует нужное равенство.