Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Тема Тригонометрия

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91355

Решите уравнение:

x2−-8 x π arcsin 8 = 2arcsin 4 − 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте первым делом возьмём синус от обеих частей уравнения, чтобы упростить левую) А вот в правой части появляется синус разности, который можно раскрыть!

Подсказка 2

Во время раскрытия синуса разности возникнет косинус двойного арксинуса, который также можно раскрыть)

Подсказка 3

После всех преобразований мы видим, что равенство выполняется при всех x. Но не забыли ли мы про ОДЗ?...

Показать ответ и решение

Для начала напишем ОДЗ:

(| x2 − 8 |{ −1 ≤--8-- ≤1 ||( x −1 ≤-4 ≤ 1

Откуда

− 4≤ x≤ 4

Возьмём синус от обеих частей уравнения. Тогда слева получится:

( x2− 8) x2− 8 sin arcsin--8-- = --8--

А в правой части получится:

( ) sin 2 arcsinx − π 4 2

По формуле синуса разности это равно:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2arcsin x cos π − cos2arcsinx sin π =− cos 2arcsinx 4 2 4 2 4

Что по формуле косинуса двойного угла равно:

2sin2(arcsinx) − 1 =2( x)2− 1 = x2− 8 4 4 8

Получатся, что левая часть уравнения равна правой, откуда решениями будут такие $x$ из ОДЗ, при которых правая часть уравнения попадает в область значения арксинуса. Так как арксинус является строго возрастающей функций, при $x < 0$ верно, что

x π π π 2 arcsin4 − 2 < 2arcsin(0)− 2 = −2

При $x≥ 0$ верно, что

π x π π π − 2 ≤ 2arcsin 4 − 2 ≤2arcsin1− 2 = 2

Итак, $x ∈[0;4].$

Ответ:

$[0;4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103994

Решите уравнение $arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5)$ .

Источники: КФУ - 2025, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изначально уравнение представлено в не самом приятном виде. Попробуем его преобразовать! Пусть t = arcsin(9x-6) = arccos(7x-5). Тогда удобно понимать, что t — некоторый угол. А что тогда можно сказать о синусе и косинусе этого угла?

Подсказка 2

Верно! Сумма квадратов синуса и косинуса t равна 1. Это необходимое условие того, чтобы уравнение имело решения! А какое условие будет достаточным?

Подсказка 3

Конечно! Не считая ОДЗ, достаточно, чтобы сумма квадратов 9x-6 и 7x-5 была равна 1. Теперь достаточно решить простенькое квадратное уравнение и найти ОДЗ!

Показать ответ и решение

Существует такой $x,$ при котором найдётся угол $α ∈ [0;π], α= arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5) 2$ тогда и только тогда, когда

( |{ 0≤ 9x− 6≤ 1 |( 0≤ 7x−25≤ 1 2 (9x − 6) + (7x− 5) =1

Уравнение из системы равносильно

2 2 81x − 108x+ 36+49x − 70x +25= 1

130x2− 178x+ 60= 0

x= 3 или x= 10 5 13

Но так как

9⋅ 3 − 6 = 27-− 6 <0, 5 5

то $x= 35$ не удовлетворяет первому неравенству системы.

А корень $x= 1103$ тривиальной подстановкой уже оказывается подходящим под неравенства системы.

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#107199

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что

(sinπx+ sinπy)sinπx= (cosπx+ cosπy)cosπx.

б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству

x y 3π arcsin 5 + arccos4 < 2 ?

Источники: Физтех - 2025, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт (а)

Раскроем скобки и после перенесения слагаемых воспользуемся тригонометрическими формулами. Какое уравнение тогда получится?

Подсказка 2, пункт (а)

Верно! В точности cos(2πx) = -cos(π(x+y)). А в каких случаях возможно такое равенство?

Подсказка 3, пункт (а)

С помощью формулы суммы косинусов легко получить уравнение, в котором произведение двух косинусов равно 0. Приравнивая каждый из косинусов к нулю, можем получить условия на x и y! Какими они будут?

Подсказка 1, пункт (б)

Из определения арксинуса и арккосинуса мы знаем, что значение их суммы всегда не меньше -π/2 и не больше 3π/2. Какие ограничения на x и y вытекают из этого условия?

Подсказка 2, пункт (б)

Верно! -5 ≤ x ≤ 5 и -4 ≤ y ≤ 4. Тут стоит быть осторожнее! У нас неравенство строгое. Есть ли точка, в которой достигается равенство?

Подсказка 3, пункт (б)

Конечно! Это точка (5,-4). Остается найти количество целых x и y, удовлетворяющих одному из полученных уравнений внутри прямоугольника. Как это сделать?

Показать ответ и решение

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

πx − πy 3πx+ πy cos(2πx)= − cos(π(x+ y)) ⇔ 2cos---2-- cos---2---= 0,

откуда $π π 2(y− x)= 2 + πk,k∈ℤ$ или $π π 2(3x+ y)= 2 + πm,m ∈ℤ$ .

Уравнению удовлетворяют все такие $(x,y)$ , что либо $y =1 +x+ 2k$ , либо $y = 1− 3x +2m$ , где $k$ и $m$ — целые. Заметим, что для целых $x,y$ все точки, описываемые равенством $y = 1− 3x +2m,m ∈ ℤ$ , уже встречаются среди точек вида $y =1+ x+ 2k,k ∈ℤ$ (достаточно взять $k =m − x)$ .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций $arcsint$ и $arccost$ сумма $arcsinx5+$ $+ arccosy4$ всегда лежит в $[ ] − π2,3π2-$ , поэтому неравенство задаёт ограничения $x ∈[−5,5],y ∈ [− 4,4]$ (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также $(x,y)⁄= (5,− 4)$ (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника $− 5≤ x≤ 5,− 4≤ y ≤ 4$ без угловой точки $(x,y)= (5,− 4)$ , лежащих на прямых $y = x+ 1+ 2k,k ∈ℤ$ . Несложно видеть, что при чётных $x$ в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных $x$ — по 5 точек, за исключением $x =5$ . Тогда получаем суммарно $5 ×5+ 4× 6= 49$ точек.

Ответ:

а) $y =1+ x+ 2k$ , где $k∈ℤ,x ∈ℝ;$

$y = 1− 3x+ 2m$ , где $m ∈ ℤ,x ∈ℝ$

б) 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81378

Решите уравнение

2x−-1 x-+3- arctg x+ 2 + arctg3x− 1 = x

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арктангенс — обратная функция от тангенса, поэтому, ровно как мы нередко логарифмируем в уравнениях, мы можем взять тангенс от обеих частей и получить следствие (заметьте, что это будет неравносильный переход).

Подсказка 2

Если взять тангенс от обеих частей, то можно раскрыть тангенс от суммы арктангенсов. При этом это будет равно tg(x). Тогда слева у нас получится 7, а справа tg(x). Тогда понятно какие значения может принимать х. Остается понять, подходят ли эти значения или нет. Как можно понять, подходят ли? Мы можем посмотреть на то, почему переход взятия тангенса неравносилен и на какие случаи он разбивается.

Подсказка 3

Он неравносилен, так как если tgx = tgy, то либо x = y, либо x = y + pi, то есть, так как у нас все происходит на интервале от -pi до pi, то по сути, нам надо проверить, что при подстановке наших корней, знак левой и правой части будет одинаковый. Это уже чисто техническая задача, при решении которой нужно просто грубо оценивать arctg7.

Показать ответ и решение

Посчитаем

2x-− 1 -x+-3 tg(arctg x+ 2 +arctg3x − 1)=

2x−-1 x+3- = -x+22x−+1-3x−x1+3-= 1− x+2-⋅3x−1-

7x2+ 7 = -x2+1-= 7

Тогда для корня уравнения $tg(x)= 7$ . При этом так как $π π − 2 < arctg(t)< 2$ , получаем $− π < x< π$ .

Откуда получаем, что кандидатами в корни могут быть только $arctg 7$ и $arctg 7− π$ . Покажем, что они подходят: для этого достаточно проверить, что при подстановке этих значений левая часть примет тот же знак, что и правая. (Так как левая часть всегда равна $arctg 7$ или $arctg7− π$ )

Для $x= arctg7$ имеем

arctg 2x-− 1 =arctg(2−-5-)>0, x+ 2 x+ 2

так как $2> 5> --5- 3 x +2$ для $x= arctg7$ в силу того, что $arctg7> arctg√3 = π> 1 3$ .

А также

x-+3- 1 -10-- arctg3x− 1 = arctg(3 + 9x − 3)> 0

Для $x= arctg7− π$ имеем

2x − 1 5 arctg-x+-2 =arctg(2− x+-2)<0,

так как

2< --5- ⇐⇒ 1> x+ 2> 2π − π+ 2= 2− 3π >0 x+ 2 5 5

А также

arctg x-+3-= arctg(1 +-10-)< 0, 3x− 1 3 9x − 3

потому что

1-< --1-- ⇐⇒ x< 0,3 − 9x< 30 (x> π − π > −3) 30 3− 9x 3

Значит, оба этих значения — корни.

Ответ:

$arctg7$ и $arctg7 − π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95955

Вычислите:

(a) $( ) arcsin sin4π3 ;$

(b) $sin(2arccos 13);$

Показать ответ и решение

(a)

Сначала найдем значение $4π- sin 3$ :

( ) ( ) √ - sin 4π3-= sin π+ π3 = − sin π3 = −-23

Теперь вычислим $( √-) arcsin −-32$ :

( √-) arcsin − -3- = − π 2 3

Итак, результат для (a):

( ) arcsin sin4π = − π 3 3

(b)

Используя формулу двойного угла для синуса:

sin(2𝜃)= 2sin(𝜃)cos(𝜃)

где $𝜃 =arccos13$ .

Сначала находим $sin(𝜃)$ :

∘---(--)- ∘----- ∘-- √- sin(𝜃)= ∘1-−-cos2(𝜃)= 1 − 1 2 = 1 − 1 = 8 = 2-2 3 9 9 3

Теперь подставим значения в формулу:

√- √- sin(2𝜃)=2 ⋅sin(𝜃)⋅cos(𝜃)= 2⋅ 232 ⋅ 13 = 492

Итак, результат для (b):

( ) √- sin 2arccos1 = 4-2 3 9

(c)

Используем основное тригонометрическое тождество:

2 2 cos(𝜃)+ sin (𝜃)= 1

где $𝜃 =arcsin 5 13$ . Из этого следует:

5- sin(𝜃)= 13

Теперь найдем $cos(𝜃)$ :

( )2 cos2(𝜃)= 1− sin2(𝜃)= 1− 5- = 1− 25-= 144- 13 169 169

Следовательно,

∘ 144 12 cos(𝜃)= 169 = 13

Так как $5 arcsin 13-$ находится в диапазоне от $π − 2$ до $π 2$ , где косинус неотрицателен, мы можем использовать положительное значение:

Итак, результат для (c):

( ) cos arcsin 5 = 12 13 13

Ответ:

(a) $− π 3$

(b) $4√2 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95957

Решите уравнение:

2 arccos x− arccosx − 6 =0.

Показать ответ и решение

Обозначим $y = arccosx$ . Теперь у нас есть квадратное уравнение

2 y − y− 6= 0

1 ±∘ (−-1)2−-4⋅1⋅(−-6) 1± √1+-24 1± 5 y =--------2⋅1------- = ----2----= -2--

Находим корни:

$1+5 y1 = 2--=3$

$1−5 y2 = 2--=− 2$

Делаем обратную замену.

$arccosx =3$ — это допустимое значение, так как $3$ находится в диапазоне от $0$ до $π$ . Тогда $x= cos3.$

$arccosx =− 2$ — это недопустимое значение, так как $arccosx$ не может быть отрицательным.

Ответ:

$cos3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95959

Решите уравнение:

1 sin(3arccosx)= 2.

Показать ответ и решение

Пусть $arccosx= a,$ где $a∈ [0;π].$ Тогда $sin3a= 1, 2$ тогда

⌊ π ⌊ -π 2π || 3a= 6 +2πk || a= 18 + 3 k ⌈ 3a= 5π +2πk ,k ∈ℤ =⇒ ⌈ 5π 2π- 6 a= 18 + 3 k ,k∈ ℤ

Под ограничения подходит только $k= 0$ и $k= 1.$ Тогда,

⌊ π- || arccosx= 18 || arccosx= π-+ 2π = 13π- ||| 18 3 18 || arccosx= 5π ||⌈ 18 arccosx= 5π+ 2π = 17π- 18 3 18

Найдем решения

⌊ ( ) x =cos π- ||| (18 ) || x =cos 13π ||| ( 18) || x =cos 5π ||⌈ (18 ) x =cos 17π 18

Ответ:

$cos(π-), cos(13π), cos(5π), cos(17π) 18 18 18 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95961

Докажите тождество

( 2) 2arcsin|x|= arccos1 − 2x .

Показать доказательство

Запишем ОДЗ:

{ − 1≤ |x|≤ 1 2 =⇒ −1≤ x≤ 1 − 1≤ 1− 2x ≤ 1

Сделаем замену:

[ π ] y = arcsin|x|, y ∈ 0; 2

|x|= siny

Тогда исходное уравнение преобразуется в следующее:

2 2y = arccos(1− 2 sin y)

Так как $2y ∈ [0;π]$ и $arccos(1 − 2sin2y)∈ [0;π],$ то можно взять от обеих частей косинус.

cos2y = 1− 2sin2y

cos2y = cos2y

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#96750

Вычислите:

1 -7 2arctg4 +arctg23.

Показать ответ и решение

Пусть

1 -7 α= arctg4 β = arctg23

Тогда

1 7 tgα= 4 tgβ = 23

1 tg2α = -2tgα--= -2⋅(4)--=-8 1− tg2α 1− 14 2 15

Посчитаем $tg(2α +β):$

8- -7 tg(2α+ β)= -tg2α-+tgβ--=--15-+8237 =1 1− tg2α⋅tgβ 1 −15 ⋅23

tg(2α+ β)=1 =⇒ 2α+ β = π 4

Следовательно,

2arctg 1+ 7-= π 4 23 4

Ответ:

$π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#96751

Решите уравнение:

arcsin x⋅arccosx =− 1.

Показать ответ и решение

Воспользуемся следущим фактом:

π arcsinx+ arccosx =-2

Тогда получили систему

{ π ( ) arcsinx+ arccosx= 2 =⇒ arcsinx ⋅ π− arcsinx =− 1 arcsinx⋅arccosx= −1 2

Решим это уравнение, как квадратное уравнение относительно $arcsinx.$ Тогда, $t= arcsinx, t ∈[− 1;1]$

π − t2+ 2t+ 1= 0

( )2 2 D = π2 − 4⋅(− 1)⋅1= π-+416

∘ ----- − π2-+-π2+416 π−-√π2-+16 t1 = −2 = 4

∘ -2--- √------ − π2-−-π-+416 π+--π2-+16 t2 = −2 = 4

Учитывая ограничения, заключаем, что $t2$ не подходит.

Обратная замена:

√ -2---- arcsinx= π-−--π4-+16

( √ -----) x = sin π-−--π2+16 4

Ответ:

$sin(π−√-π2+16) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#96752

Решите уравнение $arcsinx− arcctg x= 0.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение:

arcsin(x)− arcctg(x)= 0

ОДЗ:

− 1≤ x≤ 1

Перенесём $arcctg(x)$ направо:

arcsin(x)=arcctg(x)

$− π2 ≤arcsin(x)≤ π2$ и $0< arcctg(x)≤ π$ , вводим обозначения углов:

arcsin(x)= α, arcctg(x) =β

Теперь нужно решить:

α = β

Возьмём синусы от обеих частей, равенство достигается только в первой четверти ( $x≥ 0$ ), каждое значение синуса принимается по одному разу, поэтому равенство синусов гарантирует равенство углов:

sin(α)= sin(β)

Найдем $sin(β)$ , где $0 <β < π$ и $ctg(β)= x$ . По определению котангенса:

cos(β) sin(β)-= x

Возведем это уравнение в квадрат:

cos22(β)= x2 sin (β)

Используем основное тригонометрическое тождество $sin2(β)+ cos2(β)= 1$ , чтобы выразить $sin(β)$ через $x$ :

2 --1-- sin (β)= x2+ 1

Поскольку $0< β < π$ , $sin(β)$ > 0:

1 sin(β)= √x2+-1

Таким образом, наше уравнение становится:

sin(α)= √-1--- x2+ 1

Так как $sin(α)= x$ , то получаем уравнение:

---1-- x= √x2 +1

Возведём обе части в квадрат:

1 x2 = x2+-1

Умножим обе части на $x2+ 1$ , чтобы избавиться от знаменателя:

x2(x2+1)= 1

Раскроем скобки:

x4+ x2 = 1

Решим это биквадратное уравнение. Обозначим $2 y = x$ , тогда уравнение становится:

2 y + y− 1= 0

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

2 D =1 − 4⋅1⋅(−1)=1 +4 =5

Находим корни:

−1± √5 y =---2---

Так как $2 y = x ≥ 0$ , выбираем положительный корень:

√- y = −1+-5- 2

Следовательно, $√- x2 = −1+2-5$ . Поскольку $x≥ 0$ :

∘------- −1+-√5- x= 2

Ответ:

$∘ −1+√5 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#96753

Решите уравнение:

cos(2arccosx)= arcsin(cosx).

Показать ответ и решение

cos(2arccosx)= arcsin(cosx)

ОДЗ:

− 1≤ x≤ 1

Обозначим $arccosx= α$ .

cos2α = 2cos2α− 1= 2x2− 1,

поскольку при $− 1≤ x≤ 1$ получаем $cos(arccosx)=x$

arcsin(cosx)+ arccos(cosx)= π 2

{ arccos(cosx)= −x, −1 ≤x <0, arccos(cosx)= x, 0≤ x≤ 1.

{ 2 π 2x − 1= 2π + x, − 1≤x <0, 2x2− 1= 2 − x, 0 ≤x≤ 1.

С учётом ограничений (ОДЗ и условия для каждого уравнения) получаем:

1− √9+-4π x1 =----4----

√ ----- x2 = −-1+-9+-4π 4

Ответ:

$1-− √9-+4π-−-1+√9-+-4π 4 ; 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#96754

Решите уравнение:

-1-- -1-- π arctg x− 1 − arctg x+ 1 = 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем воспользоваться формулой разности арктангенсов. Тогда придётся разобрать три случая ;)

Подсказка 2

Рассмотрим случай ab > -1. После того, как мы аккуратно всё преобразуем по формулам, у нас останется арктангенс, равный π/4. Что тогда можно сказать про аргумент?

Подсказка 3

2/x² = 1! А что делать в случае ab < -1, a > 0? К какому уравнению мы придём?

Подсказка 4

arctg(2/x²) + π = π/4. Можно ли тут найти корни? Аналогично разбираем случай ab < -1, a < 0 ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x− 1⁄= 0 ⇒ x⁄= 1,

x +1 ⁄=0 ⇒ x⁄= −1.

Вспомним формулу разности арктангенсов:

(|| arctg ( a−b), если ab> −1, |{ (1+ aa−bb) arctga− arctgb =||| arctg (1+ab)+ π, если a> 0 и ab<− 1, ( arctg a1+−abb-− π, если a< 0 и ab<− 1.

a= --1- x− 1

b= -1-- x+ 1

ab= -1--⋅--1- = ----1-----= --1-- x− 1 x +1 (x − 1)(x+ 1) x2− 1

При $ab> −1$ :

( ) ( ) ( -1-− -1-) arctg -1-- − arctg --1- =arctg x−1--x+1- x− 1 x+ 1 1+ ab

-1-- -1-- (x+-1)− (x−-1) --2-- x− 1 − x+ 1 = (x− 1)(x+ 1) = x2− 1

--1-- --x2- 1+ ab =1+ x2− 1 = x2− 1

Таким образом:

(--2-) ( ) arctg (x2−21) = arctg -2 xx2−1 x2

( ) arctg 22 = π x 4

Так как $arctg1= π4$ , функция строго монотонна, приравняем аргументы:

2-= 1 ⇒ x2 =2 ⇒ x= ±√2 x2

--1- ab= 2 − 1 >− 1

Поскольку $√ - x= ± 2$ не равны ни 1, ни -1, следовательно, они принадлежат ОДЗ.

При $ab< −1$ и $a> 0$ :

( 2) π arctg x2 +π = 4,

что невозможно, так как левая часть больше, чем правая.

При $ab< −1$ и $a< 0$ :

( ) arctg -2 − π = π, x2 4

что также невозможно, так как левая часть становится отрицательной, что меньше правой.

Решение уравнения:

√- x =± 2

Ответ:

$√2;−√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#67587

Решите уравнение

π 5arcsin(cosx)=x + 2

Источники: Физтех-2023, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим аркфункцию, сразу стараемся избавиться от неё! Что для этого нужно сделать?

Подсказка 2

Да, достаточно перенести пятёрку вправо и взять синус от обеих частей уравнения! Таким образом, мы придём к уравнению: cos(x) = sin(x/5+π/10). Но уравнения от разных функций мы не умеем решать… Что надо сделать, чтобы уравнение стало более очевидным? И не забудьте про ограничения, когда работаете с аркфункциями!

Подсказка 3

Конечно, достаточно воспользоваться формулой приведения! То есть, sin(x/5+π/10) = cos(π/2 - (x/5+π/10)) = cos(2 π/5 – x/5). А также не забудем про ограничение на (x/5+π/10)! Поскольку это выражение равно арксинусу, то – π/2- π/10 ≤ x/5 ≤ π/2- π/10. Таким образом, мы получили, что cos(x) = cos(2π/5 – x/5). Осталось решить это уравнение, учитывая ограничения!

Подсказка 4

Верно, мы получаем, что |x| = 2π/5 – x/5 + 2πk, k ∈ ℤ. А из ограничений следует, что -3π ≤ x ≤ 2π.

Показать ответ и решение

Так как по определению

({ sin b=a b= arcsina ⇐⇒ ( − π2 ≤ b≤ π2

То уравнение равносильно

( (x π ) { cosx =sin 5 + 10 ( − π ≤ x+ π-≤ π 2 5 10 2

( ( ) { cosx =cos 2π5-− x5 ( 3π x 2π- − 5 ≤ 5 ≤ 5

({ ±x= 2π− x +2πk,k∈ℤ ( 5 5 −3π ≤ x≤ 2π

( ⌊ |||| ⌈ x = π3 + 5π3k { x = 5πk-− π ,k∈ ℤ |||| 2 2 ( − 3π ≤ x≤ 2π

{ 4π π π } x∈ −3π;−-3 ;− 2;3;2π

Ответ:

${−3π;− 4π;− π;π ;2π} 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#77204

Решите уравнение

2 2arccosx− arccos(x +2x− 1)=sinx− arcsinx

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ −1 ≤x ≤1, √- 2 ⇒ 0≤ x≤ −1+ 3. −1 ≤x + 2x− 1≤1

Используем формулу $arcsinx+ arccosx = π: 2$

π 2 2 + arccosx − arccos(x + 2x− 2)=sin x

Заметим, что корень $x= π$ - подходит. Докажем, что других нет, используя монотонность. Пусть

π 2 f(x)= -2 + arccosx− arccos(x + 2x− 2)− sinx

Тогда для доказательства, что она монотонная будем использовать производную.

1 1 f(x)′ = −√---2-+(2x+ 2)⋅∘-----2-------2-− cosx. 1− x 1− (x + 2x− 2)

Докажем, что производная положительная, т.е. докажем следующую оценку при данных ограничениях:

(2x+ 2)⋅∘------1-------> cosx+ √--1-2- 1 − (x2+2x − 2)2 1− x

Оценим правую часть:

({ cosx <1 ---1-- √- ( √1-− x2 <2, при x∈ [0;−1+ 3]

Тогда правая часть не больше $3.$

Оценим левую часть:

1 ∘-----2-------2 > 1, т.к. мы делим 1 на число меньшее, чем 1 1− (x +2x − 2)

при $x∈ [0;−1+ √3].$ Значит хочется доказать, что $2x+ 1> √-1--- 1− x2$ (одну единицу мы взяли для оценки косинуса), т.к. тогда если это верно, то верно что и левая часть больше правой.

Доказательство:

---1-- 2 2 2x+ 1> √1-− x2 ⇒ (4x + 4x+ 1)(1− x )> 1

−4x4− 4x2+ 3x2+4x> 0.

Ввиду ограничения на $√- x∈ [0;−1+ 3],$ получаем:

{ 3 √- 4x>2 4x4− это верно для всех x∈ [0;−1+ 3] 3x − 4x > 0

2 4 2 2 3x − 4x > 0⇒ x (3− 4x )>0.

Подставим $x =−1 +√3-$ во второй множитель последнего неравенства:

√-2 3 2 9 3− 4⋅(−1+ 3) >3 − 4⋅(4) = 3− 4 > 0− верно

Значит при всех $√ - x ∈[0;−1 + 3]$ верно что

--1--- 2x+ 1> √1−-x2

Тогда функция монотонная и имеет один корень $x= π.$

Ответ:

$π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#101252

Решите неравенство:

√ -2 (x ) -π- π π ( 1- ) (x ) 2 x arcsin 2 − 6x2 + 2 ≥ 3|x|− x2 − 3 arcsin 2 .

В ответ запишите сумму всех целых значений $x,$ удовлетворяющих этому неравенству.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что в неравенстве есть немало одинаковых частей. Быть может, попробуем разложить выражение на множители?

Подсказка 2

Отлично, тогда получится, что произведение двух скобок неотрицательно! Причем в одной из них — несложное тригонометрическое выражение, знаки которого рассмотреть несложно. Но что делать со вторым, в котором есть квадраты?

Подсказка 3

Приведите выражение во второй скобке в общему знаменателю, тогда знак знаменателя будет однозначно определён и решить будет несложно ;)

Показать ответ и решение

Перенесём всё влево и разложим на скобки:

( x π )( 1 ) arcsin2 − 6 2|x|+ x2 − 3 ≥ 0

1. Если

{ { arcsinx2 − π6 ≥0, ⇔ x ∈[1;2], 2 ⇔ x∈ [1;2]. 2|x|+ x12 − 3≥ 0 (2|x|+1)x(|2x|−1)-≥ 0

то цельми решениями являются 1 и 2.

2. Если

{ { arcsin x2 − π6 ≤ 0, ⇔ x∈ [− 2;1], 2 ⇔ x= ±1 2|x|+ 1x2 − 3 ≤0 (2|x|+1)(x2|x|−1)-≤ 0.

то целыми решениями являются -1 и 1.

Объединяя решения 1 и 2 случаев, получаем $x1 =− 1,x2 = 1,x3 =2$ . Их сумма равна 2.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#34723

Докажите равенство:

1 1 π arctg1+ arctg 2 + arctg3 = 2 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, равенство можно доказать без помощи геометрии (одно из слагаемых мы можем непосредственно посчитать – остаётся лишь найти сумму двух углов, чьи тангенсы мы знаем), но ведь явно тут есть и красивая геометрическая интерпретация! Попробуйте придумать конструкцию, в которой бы нам встретились прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3)

Подсказка 2

Раз мы хотим, чтобы сумма трёх углов была равна 90 градусов, то хорошей мыслью будет от прямого угла отложить какие-то два угла + доказать, что третий будет тот самый из нашей суммы. Попробуйте провернуть такое в рамках прямоугольника! Выберите удобные стороны и отсеките прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3), как раз отложив такие углы от одного из прямых углов прямоугольника

Подсказка 3

Остаётся лишь доказать, что третий угол равен 45 градусам! У нас есть углы 90, а мы хотим 45 – где-то рядом мог притаиться равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите его, и задача убита!

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Отложим на оси координат от точки $D$ с координатами $(2;0)$ отрезок длины $2$ влево, длины $1$ вверх и длины $3$ вправо. Тогда $1 1 ∠BAD =arctg 2,∠BCD =arctg3.$ В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов $2 √- √-- 5 =5 +10− 2⋅ 5⋅ 10⋅cosABC.$ Тогда $√2- π cosABC = −-2 =⇒ ∠ABC =π −4$ . По теореме о сумме углов в треугольнике получаем, что $1 1 π arctg2 +arctg3 = 4$ , откуда следует $1 1 π arctg1 +arctg2 +arctg3 = 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Сначала заметим, что $arctg 1= π4$ . Кроме того, $arctg 12 + arctg 13 ∈ (0,π)$ из-за области определения каждого арктангенса из суммы. По формуле тангенса суммы

( ) 1 1 tg arctg 1+ arctg 1 =-2 +131-=1 =⇒ arctg 1 +arctg 1 = π 2 3 1− 2 ⋅3 2 3 4

Поскольку угол лежит на промежутке $(0,π)$ , то это единственное возможное значение. Отсюда сумма из условия равна $π π π 4 + 4 = 2$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Рассмотрим прямоугольник $ABDC$ со сторонами $2$ и $3$ и построим из точки $A$ лучи с нужными тангенсами:

$PIC$

Заметим, что $1 ∠EAB = arctg3$ и $1 ∠CAF = arctg2$ , то есть осталось доказать, что $∠F AE =45∘ = arctg1$ (поскольку сумма всех трёх равна $90∘$ ). Но $AF2+ FE2 =10 =AE2$ , так что по обратной теореме Пифагора $∠AFE =90∘$ , причём $△AF E$ равнобедренный прямоугольный, откуда и следует нужное равенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#36694

Вычислите:

(a) $( ) arctg tg 7π4$ ;

(b) $- cos(arcctg(− √3))$ ;

Подсказки к задаче

Подсказка а)

Арктангенс от тангенса это не тот же самый угол, что в аргументе стоит, но такой, что он находится путем прибавления или вычитания целого количества периодов тангенса до тех пор, пока он не попадет в интервал от -π/2 до π/2.

Подсказка 1 b)

Обозначим arсctg(-√3) за α, тогда нам нужно найти сos(α). При этом α ещё лежит в пределах (0; π) => мы знаем ctg(α), с помощью которого можем выразить и сам сos(α). Хм, α от 0 до π, что тогда мы можем сказать про синус этого угла?

Подсказка 2 b)

Именно, sin(α) > 0, а значит мы запросто находим знак cos(α). Осталось грамотно выразить cos(α) через ctg(α). Вспоминаем основное тригонометрическое тождество (ОТТ). Нам нужно, чтобы в записи получился ctg(α), это получится сделать, если мы поделим ОТТ на sin²(α). Теперь мы знаем всё для того, чтобы найти cos(α) :)

Подсказка 1 с)

Обозначим arcsin(1/2) за α. Тогда надо найти ctg(2α), причем теперь мы знаем, что sin(α) = 1/2, а что вы можете сказать тогда про cos(α)?

Подсказка 2 с)

Верно, cos(α) > 0 (посмотрите на область значений арксинуса), а значит cos(α) явно считается через sin(α). А ctg(2α) находится как cos(2α)/sin(2α). Теперь остается просто выразить синусы/косинусы двойных углов через уже известные функции одинарных :)

Показать ответ и решение

(a) $( 7π) ( π π) arctg tg4- ∈ − 2;2$ и при этом

( 7π) 7π arctg tg-4 = 4-+ πk

для какого-то $k ∈ℤ$ . Отсюда получаем

( ) arctg tg 7π =− π 4 4

(b) Пусть $√- α = arcctg(− 3)$ . Из области значений арккотангенса $α ∈(0,π)$ и $ctgα< 0$ , откуда $sinα> 0$ и $cosα< 0$ . Тогда

cosα √ - ctgα= √1-− cos2α = − 3

cos2α= 3(1− cos2α)

Отсюда $cos2α = 34$ и $√- cosα = −-32 <0$ .

√- sin2α= 2sinα cosα = -3- 2

cos2α= 2cos2α − 1 = 1 =⇒ ctg2α= √1- 2 3

Замечание. Нетрудно видеть, что во втором пункте $5π α= 6$ , а в третьем $π α = 6$ .

Ответ:

(a) $π − 4$ ;

(b) $√- − 23$ ;

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#36695

Решите уравнение: $2arctg2x− arctgx − 1 =0$ .

Подсказки к задаче

Подсказка

Заменим arctg(x) на t (подумайте, каким может быть t) и решаем квадратное уравнение. Вот находим t, и теперь осталось подумать, какой из них нам подходит. Ну а потом выразить х через t.

Показать ответ и решение

Разложим левую часть на множители:

(arctgx− 1)(2arctgx+ 1)= 0

Так как решения $1$ и $− 1 2$ лежат в интервале $(− π,π) 2 2$ , то $tg1$ и $tg(− 1) 2$ подходят.

Ответ:

$tg1$ ; $tg(− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#36696

Докажите, что при любом $x ∈(−1;1)$ верно

--x--- tg(arcsinx)= √1−-x2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте arcsin(x) за α (нужно обратить внимание на то, какие значения принимает α). Тогда нужно найти tg(α). Что мы можем точно сказать про знак cos(α)?

Подсказка 2

Верно, cos(α) > 0 (потому что α от -π/2 до π/2). Теперь выразим sin(α) и cos(α) через х, а отсюда и до тангенса рукой подать :)

Показать доказательство

Так как $x∈ (− 1;1),$ то

( π π) α= arcsinx ∈ − 2,2

Тогда $cosα >0,$ поэтому

∘ ------- ∘----- cosα= 1− sin2α = 1− x2

Значит,

sinα x tg(arcsinx)= cosα-= √1−-x2