Аркфункции

ОДЗ:

Используем формулу

Заметим, что корень - подходит. Докажем, что других нет, используя монотонность. Пусть

Тогда для доказательства, что она монотонная будем использовать производную.

Докажем, что производная положительная, т.е. докажем следующую оценку при данных ограничениях:

Оценим правую часть:

Тогда правая часть не больше

Оценим левую часть:

при Значит хочется доказать, что (одну единицу мы взяли для оценки косинуса), т.к. тогда если это верно, то верно что и левая часть больше правой.

Доказательство:

Ввиду ограничения на получаем:

Подставим во второй множитель последнего неравенства:

Значит при всех верно что

Тогда функция монотонная и имеет один корень