Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Тема Тригонометрия

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#36695Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение: $2arctg2x− arctgx − 1 =0$ .

Подсказки к задаче

Подсказка

Заменим arctg(x) на t (подумайте, каким может быть t) и решаем квадратное уравнение. Вот находим t, и теперь осталось подумать, какой из них нам подходит. Ну а потом выразить х через t.

Показать ответ и решение

Разложим левую часть на множители:

(arctgx− 1)(2arctgx+ 1)= 0

Так как решения $1$ и $− 1 2$ лежат в интервале $(− π,π) 2 2$ , то $tg1$ и $tg(− 1) 2$ подходят.

Ответ:

$tg1$ ; $tg(− 1) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#36696Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любом $x ∈(−1;1)$ верно

--x--- tg(arcsinx)= √1−-x2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте arcsin(x) за α (нужно обратить внимание на то, какие значения принимает α). Тогда нужно найти tg(α). Что мы можем точно сказать про знак cos(α)?

Подсказка 2

Верно, cos(α) > 0 (потому что α от -π/2 до π/2). Теперь выразим sin(α) и cos(α) через х, а отсюда и до тангенса рукой подать :)

Показать доказательство

Так как $x∈ (− 1;1),$ то

( π π) α= arcsinx ∈ − 2,2

Тогда $cosα >0,$ поэтому

∘ ------- ∘----- cosα= 1− sin2α = 1− x2

Значит,

sinα x tg(arcsinx)= cosα-= √1−-x2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#36697Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что

x+-y- arctgx+ arctgy = arctg 1− xy ,

если $x,y ∈ [0,1)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В каких пределах лежит правый арктангенс? Логично предположить, что в [0; π/2) (почему?). Могут ли существовать арктангенсы от х и у? Да запросто. А можем ли мы сказать точно, какие значения они принимают?

Подсказка 2

Верно, x от 0 до 1 -> сам arctg(x) ∈ [0; π/4). Причём и с arctg(y) то же самое. Давайте обозначим сумму этих арктангенсов за α. Тогда посмотрим на запись tg(α). Какую формулу мы можем применить?

Подсказка 3

Верно, нам поможет тангенс суммы! И получается тождество: tg(α) = (x+y)/(1-xy). Для чего были рассуждения первой подсказки? Для того, чтобы мы могли без зазрения совести применить функцию арктангенса к обеим частям уравнения и произнести заветное ЧТД :)

Показать доказательство

По формуле тангенса суммы

-x+-y tg(arctgx+ arctg y)= 1 − xy

Если $x,y ∈[0,1)$ , то $[ ) arctgx,arctgy ∈ 0,π4$ . Отсюда $[ ) arctgx+ arctgy ∈ 0,π2$ .

Значит, мы можем взять арктангенс от обеих частей формулы и получить:

arctgx+ arctgy = arctg x+-y-. 1− xy

Замечание. Обратите внимание, что в этой задаче самым важным является указание области значений суммы арктангенсов с учётом ограничений из условия для равносильности переходов между тождествами.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#36698Максимум баллов за задание: 7

Докажите тождество

1 1-- π 4arctg5 − arctg 239 = 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перенесите arctg(1/239) вправо и начните оценивать обе части предположительно правильного тождества. Посмотрим на правую часть: arctg(1/239) + π/4. Как мы можем оценить данное выражение?

Подсказка 2

Естественно, оно > 0 и оно же < π/2. Теперь оценим левую часть: arctg(1/5) точно положителен и меньше π/2, значит, уже двойной арктангенс лежит от нуля до π. Но что, если посчитать tg(2arctg(1/5))?

Подсказка 3

Да, по формуле двойного угла мы сможем высчитать его точное значение, и окажется, что он меньше единицы! А значит аргумент снова < π/4! Тогда и левая, и правая часть тождества от нуля до π/2. Значит, они могут быть равны, если равны их тангенсы. Используем формулу тангенса суммы - тождество доказано.

Показать доказательство

Заметим, что

1 ( π ) arctg 5 ∈ 0,2

Значит,

1 2 arctg 5 ∈ (0,π)

но при этом

( ) 2 tg 2arctg 1 = --5--= 10= -5< 1 5 1− 125- 24 12

Значит,

1 ( π) 2arctg5 ∈ 0,4

( ) 4arctg 1 ∈ 0,π 5 2

Теперь заметим

arctg-1-+ π ∈(0,π) 239 4 2

На основе написанного выше, для проверки равенства $4 arctg 1= arctg-1-+ π 5 239 4$ достаточно проверить, что тангенсы левой и правой части равны. Тогда и сами углы будут равны, а не отличаться на кратное $π$ число.

( 1) 56 120 tg 4arctg5 = 1−-25-=119 144

( ) tg arctg-1-+ π = 2139 +-1= 240= 120 239 4 1− 2139- 238 119

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#38263Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin(5arcctgx)= 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Синус от некоторой величины равен 1. Тогда мы можем понять, чему равна эта величина с помощью применения арксинуса!

Подсказка 2!

2) Да, получим, что 5arcctg(x) = Pi/2 + 2Pik. Теперь попробуем вспомнить, какая область значения у arcctg(x) и посмотреть на возможные его значения!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

π 5arcctgx = 2 + 2πn,n ∈ℤ

По области значений $5arcctgx ∈(0,5π)$ , так что возможные случаи $π π 5π π 9π 5arcctgx ∈{2,2π+ 2 = 2 ,4π+ 2 = 2 }$ . Так что $π π 9π x ∈{ctg 10,ctg 2 = 0,ctg10}$ .

Ответ:

${ctg π,0,ctg 9π} 10 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#38264Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-1- 1-- 2arcsinx⋅arccosx = 3arccos√x-⋅arcsin √x.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть две пропорциональные величины, от которых мы берем arcos. Очень полезно было бы написать ОДЗ в этой задаче! (Как и во всех задачах по арктриге...)

Подсказка 2

Да, у нас будет два ОДЗ, и пересекутся они по не очень большому количеству значений..... Осталось проверить, что оно подойдет!

Показать ответ и решение

$arcsinx$ определён только при $− 1 ≤x ≤1.$

$√1- arcsin x$ определён только при $√1 − 1≤ x ≤1,$ то есть при $x ≥1.$

Получаем, что уравнение имеет смысл только при $x= 1.$ Проверим, является ли это значение решением:

2arcsin1⋅arccos1= 3arccos1⋅arcsin 1

Получили верное тождество, ведь $arccos1 =0.$

Ответ:

$1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#38266Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2arcsin x+ arccos(1 − x)= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) От арктригонометрических функций очень удобно брать cos и sin, ведь мы получим из содержимое как раз. Давайте перенесем arcos в другую сторону и попробуем взять cos от обеих частей...

Подсказка 2!

2) Да, взяли, справа получилось 1-x, а слева косинус от арксинуса. Это какое-то не очень красивое выражение, было бы здорово сделать вместо него синус, как мы можем заменить косинус на синус?

Подсказка 3!

3) Верно, возвести равенство в квадрат и высеть из 1. Не забудьте разобраться в ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ −1≤ x≤ 1 −1≤ 1− x≤ 1

0≤ x≤ 1

Тогда $arcsinx ≥0.$ Поэтому левая часть не меньше нуля, так как каждое из слагаемых неотрицательно (второе в силу области значений арккосинуса). Для равенства правой части, то есть нулю, каждое из них должно быть равно нулю.

{ 2arcsinx =0 arccos(1− x)=0

x= 0

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#38267Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 5π2 arcsin x+ arccos x = 36

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1)Давайте посмотрим, мы знаем, что слева получается некоторый угол, и справа тоже. Давайте обозначим то, что получится из извлечения arcsin за Pi*t, и будем искать t! Тогда как выразить arcos(x)?

Подсказка 2!

2) Верно, это Pi/2 - Pi*t. Тогда давайте подставим это в наше изначальное выражение..... Что-то знакомое, на что похоже?

Подсказка 3!

3) Верно, н аквадратное уравнение относительно t!

Показать ответ и решение

Пусть $arcsinx= πt$ , тогда $arccosx= π − πt 2$ , откуда

2 2 π2 2 2 2 5π2 2 1 2 5- πt + 4 − π t+π t = 36 ⇐⇒ t+ 4 − t+ t = 36

То есть $2 1 11 π π 2t − t+ 9 = 0 ⇐⇒ t= 6,3 ⇐ ⇒ arcsinx= 6,3$ . Оба решения входят в область значений арксинуса, откуда и получаем ответ.

Ответ:

$1,√3 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#38268Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

π arctg(2+ cosx)− arctg(1+ cosx)= 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Как удобно, у нас два арктангенса! Давайте возьмем от них тангенс, чтобы перейти от арктриги к обычной). Вспоминаем формулу тангенса разности...

Подсказка 2!

2) Ага, очень удачно, у нас tg(arctg), такое мы знаем! Заменяем на содержимое, дальше дело техники!

Показать ответ и решение

Пусть $α =arctg(2+cosx),β =arctg(1+cosx)$ .

Возьмём тангенc от обеих частей:

tgα − tgβ 2+ cosx− 1− cosx tg(α − β)= 1 ⇐⇒ 1+-tg-αtgβ = 1 ⇐⇒ 1+-(2+cosx)(1+-cosx) = 1

Что эквивалентно $(1+ cosx)(2 +cosx)=0 ⇐ ⇒ cosx= −1 ⇐⇒ x= π+ 2πn,,n ∈ℤ.$

Легко проверить, что все найденные значения $x$ подходят:

arctg(2− 1)− arctg(1− 1)= π − 0 4

Ответ:

$π +2πn, n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#46598Максимум баллов за задание: 7

При каких $x$ числа $arcsin(3−x)$ и $arctg(5⋅3x− 7)$ являются величинами двух различных углов прямоугольного треугольника?

Показать ответ и решение

В условии не сказано, что даны величины именно острых углов, поэтому надо проверить три случая:

$−x π arcsin3 = 2 =⇒ x= 0$ , здесь $x 5 ⋅3 − 7= −2$ , но $arctg(−2)$ не может быть углом в прямоугольном треугольнике.
$x π arctg(5⋅3 − 7)= 2$ невозможно по определению функции арктангенса.
$arcsin3−x = α∈ (0,π2),arctg(5⋅3x− 7)= π2 − α$ . Отсюда
$√ ------- 5⋅3x− 7= tg(90∘− α)= cosα= --1− 3−2x sinα 3− x$
При $3−x = t$ имеем
$5 − 7t= ∘1-− t2$
Нужно будет учесть $5− 7t≥0.$ Пока что просто бездумно возведём в квадрат
$25− 70t+ 49t2 = 1− t2$

$25t2− 35t+ 12= 0$

${3 4} t∈ 5,5$
После проверки $5− 7t≥ 0$ остаётся только $t= 3 =⇒ x =log 5. 5 33$

Ответ:

$log 5 33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#49148Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

19 ( 3) arctg8+ arctg22 + arcctg −2

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что зная, от какого значения у нас arctg, мы можем найти тангенс суммы, а затем взять от этого чуда арктангенс. То есть: Давайте найдем для начала тангенс суммы первых двух слагаемых. Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы, так как мы знаем тангенс от первого слагаемого (8) и от второго (19/22)

Подсказка 2!

Да, это будет -3/2! Теперь, зная тангенс суммы, можно выразить просто сумму! Осталось только прибавить к ней третье слагаемое :) Главное осторожно разберите области значений

Показать ответ и решение

Найдём сначала значение тангенса суммы, для этого рассмотрим сумму первых двух слагаемых

( 19) 8+ 19 3 tg arctg8+ arctg22 = 1−-1292⋅8 =− 2 22

Из области значений арктангенса $arctg8+ arctg 1292 ∈ (0;π).$

Тогда $arctg8+arctg 1922-=arctg(− 32)+ π.$

Осталось воспользоваться тем, что $arctga +arcctga= π2$ , имеем

( ) arctg8+ arctg 19-+ arcctg − 3 = arctg(− 3)+ arcctg(− 3)+ π = 3π 22 2 2 2 2

Ответ:

$3π 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#51606Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1 π- x+ 6arccos(cos15x +2cos4xsin2x)= 12.

Показать ответ и решение

Поскольку $arccosy ∈[0,π]$ , то область значений второго слагаемого $[0,π] 6$ , откуда $x∈ [− π,-π] 12 12$ .

Преобразуем уравнение

π arccos(cos15x− sin2x+sin6x) =-2 − 6x

и возьмём косинус обеих частей

(π ) cos15x− sin2x+ sin6x= cos -2 − 6x = sin6x ⇐⇒ cos15x= sin2x, (1)

( ) ( ) ( ) sin π − 15x − sin2x= 0 ⇐⇒ 2cos π∕2− 13x sin π∕2−-17x = 0, (2) 2 2 2

Разберём два случая

$x ∈[0,1π2]$ . Посмотрим на $(1)$ уравнение. Нам требуется решить, тогда $sin 2x$ монотонно возрастает от $0$ до $12$ , при этом $15x∈ [0,54π]$ . Если убрать те значения, где косинус отрицателен, то останется только $[0,π2 ]$ , на этом отрезке функция косинуса монотонно убывает, откуда на $[0, π-] 12$ не более одного решения. Этим решением будет $π- 34$ , для которого равен нулю синус из $(2)$ .
$x ∈[− π-,0) 12$ . Аналогично отрицателен и монотонно возрастает синус из $(1)$ от $− 1 2$ до $0$ . При этом $15x∈ [− 5π-,0) 4$ , убирая те значения, где косинус неотрицателен, имеем $15x ∈[− 5π,− π) 4 2$ . Заметим, что $cos(− 5π)= − 1√-< − 1 4 2 2$ , поэтому косинус принимает значения из $1 [− 2,0)$ только на $2pi π [− 3 ,−2)$ и монотонно возрастает на этом полуинтервале, откуда снова решений не более одного и из $(2)$ , находя $0$ косинуса, имеем $-π x= −26$ .

Ответ:

$−-π, π 26 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#71439Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( ) ( 1 √3 ) 8x3+ 4x2− 18x− 9⋅arccos(x − 1)≤ arccos 4cos40∘ + 4cos50∘

Источники: ПВГ-2022, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое некрасивое выражение стоит в правой части, очень хочется от него избавиться...

Подсказка 2

Давайте приведем слагаемые в аргументе к общему знаменателю, поделим числитель и знаменатель на 2, тогда в числителе получится что-то красивое! Сворачивайте!

Подсказка 3

Знаменатель тоже можно преобразовать по тригонометрическим формулам. Ого, оказывается эта страшилка равна единице, значит арккосинус равен нулю!

Подсказка 4

Левая часть легко раскладывается на линейные множители, ну а ноль арккосинуса мы знаем (x=1). Решаем неравенство!

Подсказка 5

Не забывайте, пожалуйста, об ОДЗ! Арккосинус требует соблюдения всех условий!

Показать ответ и решение

Так как

1 √3- 1 √3- sin30∘⋅sin40∘+cos30∘ ⋅cos40∘ 4cos40∘ +4cos50∘ = 4cos40∘ +4sin40∘ =------2sin40∘cos40∘-------=

∘ ∘ ∘ = cos(40-− 3∘0-)=--cos(1∘0-)∘-= 1, sin80 sin(90 − 10 )

то получается неравенство

(8x3 +4x2− 18x − 9)⋅arccos(x− 1)≤0

Левая его часть определена при $|x − 1|≤ 1,$ поэтому $x∈ [0;2].$ На этом отрезке первый сомножитель

(8x3+ 4x2− 18x− 9)= (2x +1)(2x− 3)(2x+ 3)

неотрицателен при $[ ] x∈ 3;2 2$ и отрицателен при $[ ) x∈ 0;3 . 2$ Второй сомножитель всегда неотрицателен и равен нулю при $x =2.$

Поэтому $[ ] x ∈ 0;3 ∪ {2}. 2$

Ответ:

$[0;3]∪ {2} 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#71526Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x√11- x√11- 5x√11 arcsin 2√21-+ arcsin4√21 = arcsin-8√21-

Источники: ОММО-2022, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь, когда в задаче мы видим тригонометрические функции, нужно сразу вспоминать про ограничения на аргументы.

Подсказка 2

Когда мы найдём ограничения на x, можно использовать стандартную идею в арктриге, давайте возьмём прямую функцию от обратных. В нашем случае, функцию синуса от правой и левой части уравнения.

Подсказка 3

В правой части всё легко и понятно, но вот с левой явные проблемы. Давайте обратим внимание на то, что слева у нас ни что иное, как синус суммы. Распишем его по формуле.

Подсказка 4

Воспользуемся тем, что cos(arcsin(t)) = √(1-t²). После чего получаем уравнение, которое при вынесении общего множителя разобьётся на два случая, когда x = 0(не забудьте проверить, что он подходит), а так же на второй случай, когда x≠0.

Подсказка 5

Во втором случае получается уравнение √(336-11x²) + √(84-11x²) = 5√21. Ограничения на x, которые мы считали в начале, тут нам помогут в утверждении, что подкоренные выражения положительные. Если несколько раз использовать тот факт, что правая и левая часть положительны и мы можем их возводить в квадрат, то дорешать уравнение не составит труда, главное, не забудьте проверить, что корни уравнения подходят.

Показать ответ и решение

Из условия на область определения арксинуса вытекает, что

8√21- 1344 |x|≤ 5√11-⇔ x2 ≤ 275

(1)

Вычисляя синус от обеих частей уравнения и учитывая, что

cosarcsint> 0

и, следовательно,

∘ ----- sin(arcsint)=t, и cos(arcsint) = 1− t2,

получаем

√-- ∘ -------- √ -- ∘------- √ -- x√11⋅ 1− 11x2-+ x√-11⋅ 1 − 11x2 = 5x√-11 2 21 16 ⋅21 4 21 4 ⋅21 8 21

Перенося все в левую часть уравнения, упрощая и вынося общим множитель за скобки, имеем

√-- x-11 (∘336-−-11x2+ ∘84−-11x2− 5√21) =0 8⋅21

Из данного уравнения следует, что или $x =0$ (который, очевидно, подходит), или $x$ является корнем уравнения

∘336−-11x2+ ∘84-− 11x2 = 5√21

Из условия $(1)$ следует, что все подкоренные выражения положительны. Поскольку обе части уравнения положительны, то их можно возвести в квадрат

∘ ------------------ 336− 11x2+ 2 (336− 11x2)(84− 11x2)+ 84− 11x2 = 525

Перенося всё кроме корня в правую часть уравнения, имеем

2∘ (336−-11x2)(84−-11x2)= 22x2+ 105

Возводя ещё раз обе части уравнения в квадрат, получаем

( 2)( 2) 4 2 4 336− 11x 84 − 11x = 484x + 4620x + 11025

или

23100x2 = 101871

Таким образом, уравнение имеет ещё два возможных корня

x =± 21 10

Проверка. Проверяем, что левая часть уравнения при данных значениях аргумента лежит в промежутке $[−π∕2;π∕2].$ Для этого вычисляем косинус левой части

( x√11 x√11) ∘ (---11x2)(----11x2)- 11x2 cos arcsin2√21 +arcsin 4√21 = 1− 4⋅21 1− 16-⋅21- − 8⋅21 =

∘ ---------------------- ( 11⋅21)( -11-⋅21-) 11⋅21 13⋅37 11⋅21 = 1− 4⋅100 1− 16⋅100 − 8⋅100 = 800 − 800 > 0

Поскольку значения косинуса положительно, а левая часть лежит в промежутке $[−π;π],$ то она лежит в промежутке $[− π∕2;π∕2].$ Значит, все найденные числа являются решением задания.

Ответ:

$0;±21 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#74465Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

y = (arcsinx)⋅(arccosx)

Источники: БИБН-2022, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На прямую оценить наше произведение как-то непросто. Но мы же помним, что arcsinx+arccosx=π/2. Поэтому можно избавиться от arccosx...

Подсказка 2

Давайте сделаем замену: arcsinx=t. Тогда нам необходимо найти min и max функции t(π/2-t), при -π/2≤t≤π/2. Что будет являться максимумом нашей функции?

Подсказка 3

Т.к. t(π/2-t)- это парабола с ветвями вниз, то ее максимум находится в вершине. Осталось найти минимум. Ясно, что он находится на каком то из концов отрезка [π/2;π/2]. Найдите его и завершите решение!

Показать ответ и решение

Значения $arcsinx$ и $arccosx$ при любом $x ∈[−1;1],$ как известно, связаны соотношением

π arcsinx+ arccosx = 2

Таким образом, требуется исследовать функцию

y(t)= t(π∕2− t),

где $[ π π] t= arcsin x∈ − 2;2 .$ Данная квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом принимает наибольшее значение в точке $π t= 4$ (вершине параболы), равное $π2 16.$ Наименьшее значение принимается на границе промежутка $[ π π] − 2;2 ,$ а именно, в точке $π t=− 2$ и оно равно $π2 − 2$ (на другом конце промежутка, при $π t = 2,$ значение равно нулю). Соответствующие значения $x,$ в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функции, таковы: $√2 x= 2$ и $x =− 1.$

Ответ:

$π2,− π2 16 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#80512Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

7 2arccosx =arccos3x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ [− 3,3] 7 7$

7 2arccosx= arccos 3x∈ [0,π]

Тогда $[ π] arccosx ∈ 0,2$ . Значит, $3 x∈[0,7]$ . Тогда обе части лежат в интервале $[0,π]$ , значит, можно применить к обеим частям $cos$ и получится равносильное условие

7 2x2 − 1= 3x

6x2− 7a− 3= 0

(2x− 3)(3x +1)= 0

Но нам не подходит ни один из корней.

Ответ: нет корней

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#80513Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x x 6π 4 arcsin(2 − 7)− arccos(5 − 124)= x .

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ − 1≤ 2x − 7 ≤1 x − 1≤ 5 − 124≤ 1

2≤ x≤ 3

По области значений аркфункций

4arcsin(2x − 7)− arccos(5x− 124)≤ 2π − 0,

поэтому $6πx ≤2π,$ откуда $x≥ 3.$ Но из этого промежутка в ОДЗ входит только $x= 3.$

Подстановка показывает, что $x= 3$ является решением. А других решений не может быть в силу рассуждений выше.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#91914Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что

π 4 1 2 − arcsin 5 = 2arctg3

Показать доказательство

Пусть $α =arcsin4,β = arctg 1. 5 3$

Заметим, что $π 0< α< 2$ , откуда $π −2 < −α< 0$ и $π π 0< 2 − α < 2.$ Далее, так как $π 0 <β < 4$ , то $π 0< 2β < 2.$

Итак, углы $π 2 − α$ и $β$ заключены между 0 и $π 2.$ Поэтому для доказательства равенства $π 2 − α= 2β$ достаточно показать, что какая-нибудь тригонометрическая функция (например, тангенс) каждого из этих углов имеет одно и то же значение. Докажем, что

(π ) tg2β =tg 2 − α

Так как $tgβ = 13$ , то

tg2β = 12−-tgtβg2-β = 34.

Пользуясь формулой $tg(π2 − α)= ctgα$ и учитывая, что $sinα = 45$ и $0<α < π2$ , находим $cosα= 35$ и $ctgα= 34.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#48861Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ уравнение $arcsin(cosx)=cos(arcsin(x− a))$ имеет единственное решение?

Источники: Росатом - 2021, 11.5, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на левую часть. С аркфункциями работать не хочется, поэтому нужно от них избавиться. Нам намного удобнее работать с выражением arccos(cos(x)). Попробуйте привести всё к нему в левой части.

Подсказка 2

Отлично! Левая часть равна π/2 - arccos(cos(x)). Теперь взглянем на правую часть. Тут также хочется избавиться от тригонометрических функций. Обозначьте arcsin(x - a) как за угол α и воспользуйтесь тем, что sin(α) = x - a.

Подсказка 3

Так, теперь мы получили, что левая часть равна √(1 - (x-a)^2). Попробуем изобразить графики полученных функций.(Заметьте, что левую часть можно рассматривать только на отрезке [-π;π], ведь у неё период 2π).

Подсказка 4

Нам нужно только одно решение. То есть можно смотреть только на a от -π до π, а потом записать ответ с периодом 2π. Теперь всего лишь осталось посмотреть, как наша полуокружность движется в зависимости от a, и найти точки, где одно пересечение.

Показать ответ и решение

Изобразим график $y = arcsincosx$ на $[−π,π]$ . Сама функция имеет период $2π$ , поэтому на остальной прямой график будет повторяться

$PIC$

Теперь посмотрим на график правой части $∘ --------2 y = cosarcsin(x− a)= 1− (x− a)$ , который будет полуокружностью

$PIC$

Например, графики будут расположены так при $a0 =− π$

$PIC$

С ростом параметра $a$ оранжевый график перемещается вправо. Достаточно рассмотреть значения $a ∈[−π,π]$ , поскольку оранжевый график может пересекать не более одного “уголка” синего графика (помним про периодичность). Остаётся найти те значения параметра, при которых изменяется количество общих точек на $[−π,π]$ .

Первое такое значение будет в момент первого пересечения при движении оранжевого графика вправо

$PIC$

Заметим, что правая точка оранжевого графика соответствует $x= a+ 1$ , откуда

a+ 1= − π ⇐⇒ a1 =− π − 1 2 2

При дальнейшем движении решение будет только одно вплоть до положения

$PIC$

когда решений становится два. Левая точка оранжевого графика соответствует $x= a− 1$ , откуда

π π a− 1= −2 ⇐⇒ a2 =− 2 +1

Дальше решения будет два вплоть до положения, когда произойдёт касание

$PIC$

Поскольку касательная имеет коэффициент наклона $− 1$ , то на полуокружности это точка $1 1 (a− √2,√2)$ (учитывая смещение на $a$ из центра координат). При этом точка касания лежит на прямой $π y =x + 2$ (левая часть уголка), откуда

1 1 π π √- √2-= a− √2 + 2 ⇐ ⇒ a3 =− 2 + 2

Далее решений не будет вплоть до касания с противоположной стороны уголка в симметричной точке $a4 =− a3 = π2 − √2$ , где решение будет одно. Далее вплоть до $a5 = −a2 = π2 − 1$ решений два. Потом от неё до $a6 = π2 + 1$ решение единственное, а после до $a7 = π$ решений нет.

В итоге для единственности подойдут

a ∈[a1,a2)∪(a5,a6]∪{a3,a4}

Остаётся учесть период и написать ответ.

Ответ:

$[− π− 1+ 2πk,− π + 1+2πk)∪ (π − 1+2πk,π+ 1+ 2πk]∪{− π+ √2+ 2πk,π − √2-+ 2πk} , k∈ ℤ 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#101250Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( x+-2020-) arctg 1− 2020x − arctgx= arctg2020.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать выражение и избавиться от arctg в одной из частей. Что для этого нужно сделать с обеими частями?

Подсказка 2

Перенесите arctg(x) вправо и воспользуйтесь тем, что tg(arctg(x)) = x.

Подсказка 3

После того, как мы возьмем тангенс от обеих частей и преобразуем их, мы придем к интересному выводу об x ;) Однако не забудьте о том, что изначально правая часть была равна арктангенсу некоторого числа!

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде