Классическая вероятность
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Преследуя преступника, полицейский упустил его в одном из дворов. В этот двор был единственный вход, а также 3 подъезда, в любом из которых мог скрыться преступник. Известно, что
- если полицейский войдет в подъезд, в котором укрылся преступник, то гарантированно поймает его;
- если полицейский войдет в подъезд, где преступника нет, то с вероятностью 
тот убежит через выход из двора (и поймать его уже не
удастся), с вероятностью 
преступник никуда не переместится, и с вероятностью 
спрячется в другом подъезде, где полицейского
сейчас нет;
- не найдя преступника в подъезде, полицейский каждый раз выбирает другой подъезд для осмотра совершенно случайным образом.
С какой вероятностью полицейский поймает преступника? Перемещения между подъездами можно считать мгновенными.
Источники:
Подсказка 1
Давайте упростим задачу: не будем держать всю информацию в голове и попробуем нарисовать граф, показывающий возможные случаи и их вероятности.
Подсказка 2
У нас получается бесконечный граф, но достаточно записать вероятности лишь нескольких первых ходов. Далее вероятности будут одинаковы: если полицейский не угадывает подъезд и преступник не сбегает, то вероятность не изменится. Мы можем составить уравнение.
Подсказка 3
Осталось только просуммировать вероятности, когда полицейский ловит преступника, и получить ответ.
С вероятностью 
полицейский поймает преступника в первом же подъезде, в который зайдёт, и с вероятностью 
преступника там не окажется, значит, с вероятностью 
преступник сбежит из двора (сразу после первого захода
полицейского в подъезд), и с вероятностью 
преступник так или иначе окажется в одном из подъездов, где сейчас нет
полицейского.
Построим дерево, отображающее все возможные (на рёбрах написаны соответствующие условные вероятности):
Оказавшись в точке 
полицейский будет иметь выбор из двух подъездов, и с равной вероятностью поймает преступника в любом из
них, этим обусловлены вероятности 
поймать преступника и дать ему скрыться в другом подъезде. После чего преступник снова либо
сбежит со двора с вероятностью 
либо останется в подъезде, где нет полицейского.
Заметим, что вероятность поймать преступника в точке 
равна вероятности поймать преступника в точке 
обозначим эту
вероятность за 
Тогда, учитывая все возможные события в точке 
получим 
отсюда 
Учитывая события из
точки 
вероятность поймать преступника 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
