Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Классическая вероятность, условная вероятность и формула Байеса

Тема Теория вероятностей и математическая статистика

Классическая вероятность, условная вероятность и формула Байеса

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и математическая статистика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#45521Максимум баллов за задание: 7

Бросили $70$ игральных костей (кубиков с цифрами от $1$ до $6$ на гранях, вероятность выпадения каждой из граней одна и та же) и посчитали сумму выпавших чисел. Какая из вероятностей больше: того, что сумма больше $350$ , или того, что сумма не больше $140?$

Источники: Физтех - 2020 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим одну важную вещь! Как изменится сумма чисел, выпавших на всех костях, если вместо каждого числа выпадет его "дополнение до 7"? То есть вместо 1 - 6, 2 - 5 и так далее?

Подсказка 2!

Верно, если сумма была S, то сумма нового набора - 490 - S! Таким образом, все наборы ( в частности, наборы с суммой 140 и 350) разбиваются на пары! А что это значит в контексте вероятности?

Подсказка 3!

Что вероятность выпадения набора с суммой S и c суммой 490 - S одинакова! Отлично, осталось внимательно теперь рассмотреть вероятности, о которых говорится в условии)

Показать ответ и решение

Результат броска кубиков можно описать набором из 70 чисел от 1 до 6. Рассмотрим какой-либо такой набор. Если каждое из чисел набора заменить с $x$ на $7 − x$ , получим новый набор, состоящий из чисел от 1 до 6. При этом если сумма чисел в исходном наборе была $S$ , то она станет равной $490− S.$ То есть каждому набору с суммой $S$ мы можем поставить в соответствие набор с суммой $490− S.$

Так как $140+350= 490$ , то количество наборов с суммой больше 350 равно количеству наборов с суммой меньше 140. Отметим также, что все наборы равновероятны. Значит, вероятность выбросить больше 350 равна вероятности выбросить меньше 140. Но вероятность выбросить не больше 140 очков выходит больше выше рассмотренных, так как добавляются способы, в которых сумма составляет ровно 140 очков. Поэтому больше вероятность того, что сумма не превосходит 140.

Ответ:

того, что сумма не больше $140$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#51001Максимум баллов за задание: 7

Петя, Вася и Иван каждый на своей карточке написал наугад по одной цифре и передали карточки Маше так, чтобы она не видела написанных цифр. Маша случайным образом перемешала карточки и выложила их в ряд на стол. Найти вероятность того, что на столе можно увидеть трехзначное число, кратное $5$ и имеющее при делении на $7$ остаток $3.$

Источники: Росатом - 2020, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, кажется эта задача на вероятности. А точно ли на вероятности? Понятно, что всего возможных исходов ровно 1000. Давайте тогда будем считать благоприятные исходы, а результат потом поделим на 1000.

Подсказка 2

Кажется, что данное условие про делимость мы можем записать в виде уравнения. Немного порешав уравнение в целых числах, мы поймём какие x нам будут подходить. Осталось посчитать количество подходящих чисел!

Показать ответ и решение

Можно считать, что мы получаем на столе равновероятно любое число от $0$ (на трёх карточках могут быть нули) до $999$ . Тогда для вычисления вероятности нужно число благоприятных исходов поделить на число возможных исходов — на $1000.$

Первое решение.

Используя Китайскую теорему об остатках, получаем, что среди любых $35$ подряд идущих чисел нам подходит ровно одно с остатком $10$ по модулю $35$ . Первое такое трёхзначное число — $115$ , затем идут $150,185,...115+ 35 ⋅25= 990$ : всего чисел $26$ . Осталось поделить на $1000$ и получить ответ.

Второе решение.

По условию искомое трёхзначное число $x$ кратно $5$ и при делении на $7$ даёт остаток $3$ , то есть

x= 7n+ 3= 5n+ 5+(2n− 2),n∈ ℤ

С учётом этих условий получаем

2n− 2= 5k,k∈ ℤ =⇒ k= 2t,t∈ℤ =⇒ n= 5t+ 1 =⇒ x= 7(5t+ 1)+3 =35t+ 10

Осталось учесть условие на трёхзначность:

90 989- 100 ≤35t+ 10 <999 ⇐⇒ 2< 35 < 3≤ t≤ 28 < 35 <29

Подходят $28− 3+ 1= 26$ значений $t$ .

Ответ:

$0,026$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#78846Максимум баллов за задание: 7

Блоха Кузя может совершать прыжки из каждой вершины правильного тетраэдра $ABCD$ в три соседние вершины, причем выбор этих вершин случайный и равновозможный. Прыгать Кузя начала из вершины A и, совершив 2020 прыжков, опять оказалась в той же вершине. С какой вероятностью это могло произойти?

Источники: Росатом - 2020, отборочный этап (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

2020 прыжков довольно много, давайте рассмотрим конкретный прыжок на каком-то k-ом шаге, с какой вероятностью она сможет попасть в A?

Подсказка 2

Верно, есть 2 случая: она в самой вершине A, тогда за 1 шаг ничего не получится или не в A, тогда вероятность равна 1/3, а можем ли мы как-то обобщить наш результат, получить такую формулу, чтобы по кол-ву шагов знать вероятность попадания в A на следующем шаге?

Подсказка 3

Давайте начнём строить нашу последовательность p_n, где p_n - вероятность попасть в A на n-ом шаге. Очевидно, что p_0 = 1 (мы стартуем из A), p_1 = 0 (мы точно ушли из A), p_2 = 1/3 (пойти в обратном направлении), p_3 = (1-p_2)*1/3 = 1/3 - 1/9 (не пойти в обратном направлении на шаге 2, но вернуться в точку A на шаге 3). Аналогично, выписывая последующие члены последовательности получите предположение об общей формуле

Подсказка 4

pₙ = 1/3 - 1/9 + 1/27 + ... + (-1)ⁿ/(3ⁿ⁻¹), давайте докажем её по индукции! (тут нужно брать n = 2 для базы)

Показать ответ и решение

Рассмотрим некоторый промежуточный шаг в движении Кузи. Если она на этом шаге находится в точке $A$ , то вероятность попасть в $A$ на следующем шаге равна нулю. Если же она находится в любой из оставшихся точек $B,C$ или $D$ ,то вероятность попасть в $A$ на следующем шаге равна $1 3$ , так как из каждой такой точки есть три равновозможных пути, только один из которых приводит в $A$ . Пусть $pk$ — вероятность того, что на $k−$ ом шаге блоха находится в точке $A$ . Соответственно не в точке $A$ она находится с вероятностью $1− pk$ . Тогда на следующем шаге она окажется в $A$ с вероятностью

1 1 pk+1 = (1− pk)⋅3 +0 ⋅pk = (1− pk)⋅3

Таким образом, $p0 = 1$ (так как изначально блоха в точке $A$ ), $p1 =0, p2 = 13,$

( ) p3 = 1− 1 ⋅ 1= 1 − 1, ..., 3 3 3 9

Можно заметить закономерность и заключить при $n≥ 2$

p = 1− 1 +-1 ⋅⋅⋅+ (−-1)n- n 3 9 27 3n−1

Видим, что $p n$ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем равным $− 1. 3$ Следовательно,

1− (−1)n−1 n−1 n pn = 1⋅----3n1−1-= 3---+n(−−11) 3 1 +3 4⋅3

32019+-1 P(A)= p2020 = 4⋅32019

Замечание. Чтобы решение было более обоснованным, формулу для $pn$ при $n≥ 2$ можно доказать методом математической индукции.

База:

(−1)2 1 p2 = 32−-1 = 3

Шаг: пусть формула верна для $n= k$ , то есть

k pk = 1− 1 +-1 ⋅⋅⋅+ (−k1)−1 3 9 27 3

Тогда

1 ( 1 1 1- (−1)k) 1 pk+1 = (1− pk)⋅3 = 1 −3 + 9 − 27 + ⋅⋅⋅− 3k−1 ⋅3 =

k+1 k+1 = 1− -1- +-1- − -1--+⋅⋅⋅+ (−1k−)1- = 1− 1 + 1-⋅⋅⋅+ (−-1)k-- 3 3⋅3 9 ⋅3 27 ⋅3 3 ⋅3 3 9 27 3

то есть формула верна и для $n= k+ 1$ . А значит, верна и при любых $n ≥2.$

Ответ:

$32019-+1 4⋅32019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#90847Максимум баллов за задание: 7

Бросили $70$ игральных костей (кубиков с цифрами от $1$ до $6$ на гранях; вероятность выпадения каждой из граней одна и та же) и посчитали сумму выпавших чисел. Какая из вероятностей больше: того, что сумма больше $350$ , или того, что сумма не больше $140$ ?

Источники: Физтех - 2020, 9 класс (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем увидеть симметрию в этой задаче. Что можно сказать про вероятность получить числа на кубиках, сумма которых равна 7? (то есть x и 7-x)

Подсказка 2

Эти вероятности, очевидно, равны, так как вероятности получить любое число от 1 до 6 одинаковы. Получается, что есть равенство: P(x) = P(7 - x), то есть мы научились каждому числу на кубике предъявлять симметричную пару с такой же вероятностью. Что тогда можно сказать про 2, 3 и более бросков?

Подсказка 3

Рассмотрим два броска кубика. Пусть, выпала комбинация: {x, y}. Тогда в пару мы ей можем сопоставить пару {7-x, 7-y} и вероятность выпадения этой пары равна вероятности выпадения {x, y}. А если это обобщить не для конкретной комбинации, а для суммы чисел на кубиках? Что можно заметить?

Подсказка 4

Если за 70 бросков выпала сумма S, то эту сумму образует комбинация из 70 чисел (x₁, x₂, …, x₇₀). И, соответственно, вероятность выпадения такой комбинации равна вероятности выпадения (7-x₁, 7-x₂, …, 7-x₇₀). А что это значит для сумм?

Подсказка 5

Получается, что вероятность, что сумма равна S равна вероятности, что сумма равна 490-S. Какой вывод тогда можно сделать для нашей задачи?

Подсказка 6

P(x > 350) = P(x < 140) (вероятность того, что сумма больше 350 равна вероятности, что сумма меньше 140), т.к. все суммы бьются на пары с равными вероятности, а вероятность получить сумму 140 не равна нулю.

Показать ответ и решение

Ответ: что сумма не больше 140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#97438Максимум баллов за задание: 7

Пусть $A$ — множество, состоящее из $10$ элементов. $X$ и $Y$ — подмножества множества $A$ , такие что

X ∪ Y = A.

Из всех решений этого уравнения $(X,Y)$ наудачу выбирают одно. Какова вероятность того, что $X$ и $Y$ содержат ровно по $7$ элементов?

Показать ответ и решение

Общее количество возможных пар подмножеств $X$ и $Y$ для множества $A$ можно посчитать так. Для каждого элемента множества $A$ есть три варианта:

элемент принадлежит только $X$ ,
элемент принадлежит только $Y$ ,
элемент принадлежит одновременно и $X$ , и $Y$ .

Таким образом, общее количество способов выбрать подмножества $X$ и $Y$ равно $310.$

Теперь определим количество благоприятных исходов. Нам требуется, чтобы в $X$ и $Y$ содержалось ровно по $7$ элементов, причём $4$ из этих элементов должны быть общими для обоих множеств.

Выбираем $7$ элементов для множества $X$ из $10$ элементов множества $A$ . Количество таких способов равно $C710.$

Из выбранных $7$ элементов множества $X$ , $4$ элемента должны быть общими для обоих множеств $X$ и $Y$ . Это значит, что мы выбираем $4$ элемента, которые будут принадлежать и $X$ , и $Y$ . Количество таких способов равно $C4. 7$

Остальные $3$ элемента множества $A$ , которые не входят в $X$ , должны принадлежать множеству $Y$ для того, чтобы объединение множеств $X$ и $Y$ дало множество $A$ . Эти элементы определяются однозначно.

Теперь мы можем записать формулу для количества благоприятных исходов: $C7 ⋅C4. 10 7$

Найдём вероятность того, что $X$ и $Y$ содержат ровно по $7$ элементов. Она равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

C710⋅C47 P = --310--.

Ответ:

$C710⋅C47 310$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#97439Максимум баллов за задание: 7

В противоположных углах шахматной доски стоят Красная и Белая Королевы. Раз в минуту они случайным образом переходят на соседнюю по стороне клетку (одна только вправо или вверх, другая только влево или вниз). Какова вероятность, что они одновременно окажутся в одной клетке (и будут стоять там вместе в течение минуты)?

Источники: ФЕ - 2020, 11.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обе королевы начинают в противоположных углах и движутся навстречу друг другу. Сколько ходов потребуется каждой, чтобы достичь центра доски? Как это связано с вероятностью встречи? Подумайте о симметрии)

Подсказка 2

Каждая королева может двигаться только в 2 направлениях. Сколько всего существует различных путей для каждой из них за 7 ходов? Как посчитать количество «совпадающих» траекторий?

Подсказка 3

Все возможные точки встречи лежат на центральной диагонали. Для каждой клетки на этой диагонали вычислите число путей обеих королев до неё. Как использовать биномиальные коэффициенты С для этого?

Подсказка 4

Общее число возможных траекторий для двух королев - 2¹⁴. Сколько из них приводят к встрече? Чтобы получить итоговую вероятность, осталось досчитать ручками)

Показать ответ и решение

Допустим, что королевы встретились в одной клетке. Заметим, что «расстояние в ходах королев» между противоположными углами равно $14,$ поэтому встретились королевы в момент, когда каждая совершила по $7$ ходов. Траектории двух королев, взятые вместе, образуют $14$ -звенную ломаную. Количество таких ломаных равно $7 C14$ (чтобы задать ломаную, надо выбрать, какие $7$ из $14$ звеньев вертикальны), и это и есть количество подходящих способов движения королев. Общее же количество способов движения за $7$ ходов равно $7 7 14 2 ⋅2 = 2 ,$ и они равновероятны (каждая королева в каждый момент выбирает одно из направлений движения; оба направления возможны, поскольку они ещё не упёрлись в край доски). Значит, искомая вероятность равна $7 14 11 C14 :2 = 429 :2 .$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Возможно и такое рассуждение, приводящее к другой форме ответа. Все клетки, удалённые от углов на равное число ходов (а именно на $7$ ходов), лежат на диагонали доски. Для каждой клетки диагонали найдём количество ситуаций, при которых обе королевы за $7$ ходов дошли до неё. Пусть $k$ — номер клетки на диагонали (от $0$ до $7),$ тогда число путей для любой из королев до этой клетки равно $Ck7$ (из $7$ ходов $k$ в одном направлении, остальные в другом). Столько же способов для другой королевы. Значит, всего есть $( )2 Ck7$ способов встретиться в этой клетке. Суммируя количество способов встретиться на каждой из клеток и деля на общее количество ситуаций, получаем вероятность $∑ ( ) 7k=0Ck72 :214.$

Ответ:

$-429 2048$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#126016Максимум баллов за задание: 7

Саша и Маша задают друг другу по пять каверзных вопросов и отвечают на них, не задумываясь, случайным образом. Вероятность того, что на заданный Машей вопрос Саша скажет неправду, не зависит от номера вопроса и равна $1 2.$ Маша на вопрос Саши дает правдивый ответ с вероятностью $2 3$ независимо от порядка вопроса. После окончания диалога выяснилось, что Маша дала на два правдивых ответа больше, чем Саша. С какой вероятностью это могло произойти?

Источники: Росатом - 2020, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можем ли мы посчитать вероятность, с которой Саша дал k правильных ответов?

Подсказка 2

Это можно сделать, поняв, что количество правильных ответов Саши распределено по биномиальному закону. Аналогично для Маши.

Подсказка 3

Какие количества правильных ответов Саши и Маши нам подходят?

Подсказка 4

Маша дала на 2 правдивых ответа больше, а всего вопросов было 5, поэтому подойдут значения 0-2; 1-3; 2-4; 3-5. Чему равны вероятности этих событий?

Подсказка 5

Совместное распределение вероятностей определяется произведением одномерных распределений, потом останется только сложить все случаи.

Показать ответ и решение

Число правильных ответов Саши распределено по биномиальному закону с вероятностью успеха $1: 2$

(1)k (1)5−k Ck P1(k)=Ck5 2 2 = -532-

Число правильных ответов Маши распределено по биномиальному закону с вероятностью успеха $23 :$

( ) ( ) P2(k)= Ck 2 k 1 5−k = 2k⋅Ck5 5 3 3 243

Совместное распределение вероятностей определяется произведением одномерных распределений

P(k,m)= P1(k)P2(m )

Маша дала на 2 правдивых ответа больше, а всего вопросов было 5, поэтому требуется определить вероятность объединения событий, отвечающих значениям $k =0,m= 2;k= 1,m = 3;k= 2,m = 4;k= 3,m =5.$ Тогда

p= P(0,2)+P (1,3)+ P(2,4)+ P(3,5)

p= 1-⋅-40-+ 5-⋅-80+ 10⋅-80+ 10⋅ 32- 32 243 32 243 32 243 32 243

p= 65- 324

Ответ:

$-65 324$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#42194Максимум баллов за задание: 7

Двадцать человек, среди них $A,B,C$ , случайным образом садятся за круглый стол. Какова вероятность того, что, по крайней мере, двое из $A,B,C$ сидят рядом друг с другом?

Ответ дайте в виде обыкновенной несократимой дроби, например “1/2”.

Источники: Муницип - 2019, Таймырский автономный округ, 11.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам важна только позиция каждого из A,B,C, а не позиция каждого человека, поэтому можно проверять правильность рассадки только для A,B,C, тогда будем выбирать номера мест только для них. Для удобства во всех рассадках можно не учитывать порядок.

Подсказка 2

Полезно разбить задачу на подзадачи, которые легко решаются, какие 2 случая можно выделить, чтобы счёт стал удобнее?

Подсказка 3

Да, можно посчитать сначала кол-во благоприятных вариантов, когда A,B,C сидят рядом, а потом, когда только 2 из 3 сидят рядом, причём не важно какие 2 из 3, если мы не учитываем их порядок.

Подсказка 4

Чтобы посчитать в первом случае зафиксируйте самого левого из трёх, так как по нему однозначно строится последовательность из мест, затем двигайте его. Во втором случае так же фиксируем самого левого, по нему однозначно понимается позиция второго и ясно, какие места доступны для оставшегося, остаётся аккуратно всё посчитать.

Показать ответ и решение

Перенумеруем места за столом по часовой стрелке от 1 до 20. Будем считать исходом любой (неупорядоченный) набор из трёх номеров мест, на которых сидят $A,B,C$ , а благоприятным исходом - неупорядоченный набор из трёх номеров мест, на которых сидят $A,B,C$ , если номера не являются соседними числами (у числа 20 соседние - 19 и 1).

Число всех исходов равно $20⋅19⋅18- 6 = 20⋅57$ , поскольку первое место можно выбрать 20 способами, второе - 19, третье - 18, но мы условились считать неупорядоченные наборы, поэтому делим на число перестановок трех элементов $3!= 6.$ Для благоприятных ситуаций есть две возможности.

1) Все трое сидят рядом, то есть занимают места $(1,2,3),(2,3,4),...,(20,1,2).$ Очевидно, таких троек $20.$

2) Ровно двое сидят рядом, то есть занимают места $(1,2),(2,3),...,(20,1)$ , всего 20 пар мест. Если $A$ и $B$ , например, заняли места $(6,7)$ , то третий не может занимать места $5,6,7,8$ , но может занять любое из оставшихся мест, которых осталось 16. По принципу умножения число благоприятных исходов в этом случае равно $20 ⋅16$ , а общее число благоприятных исходов равно $20+ 20 ⋅16= 20⋅$ 17.

По классическому определению вероятности $p = 2020⋅1⋅577 = 1577.$

Ответ: 17/57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#45522Максимум баллов за задание: 7

Робот может совершать равные по длине шаги по дорожке вперед и назад, при этом выбор направления движения каждого шага является случайным и равновозможным. Робот сделал $10$ шагов и остановился. Найти вероятность того, что он окажется на расстоянии более двух шагов от начала движения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, давайте посчитаем, сколько у него способов оказаться в конкретном месте x, (пусть начинает робот в 0), а затем посмотрим, какие координаты подходят, а какие нет! Заметим, что x четное, так как робот сделал 10 шагов. Давайте составим систему уравнений и попробуем понять, сколько шагов роботу пришлось сделать вперед, а сколько назад, чтобы оказаться в x?

Подсказка 2!

Так, пусть а - шаги вперед, б - шаги назад. Тогда их сумма - 10, а из разность должна быть ровно x! Попробуйте найти а и б и понять, сколько способов выбрать, в каком порядке будут происходить эти а шагов вперед и б шагов назад!

Подсказка 3!

Итак, не забываем о четности k и об условии на его величину!

Показать ответ и решение

Посчитаем сколько способов у робота попасть в каждую координату $k.$ Понятно, что $k$ должно быть чётно. Всего робот делает $10$ шагов, при этом его суммарное смещение равно $k,$ то есть шагов одного вида было ровно на $k$ больше. Имеем систему ( $a$ — число шагов вперёд, $b$ — назад)

( |{ a +b= 10 |( a − b= k a,b≥ 0

Которая имеет единственное решение относительно $a= k+10,b= 10−-k. 2 2$ После этого роботу достаточно выбрать номера шагов, на которых он идёт вперёд — способов это сделать $Ca = Cb. 10 10$ Из условия возможны только $k∈ {−10,−8,−6,−4,4,6,8,10},$ в силу симметрии оставим только положительные. Всего при этом маршрутов у робота $210,$ в итоге имеем вероятность

C710 +C810+ C910+C1010 2⋅176 11 2⋅ -------210--------= 1024-= 32

Замечание. Такой процесс называется одномерным симметричным случайным блужданием, формулу несложно обобщить до случая несимметричного $p ⁄= 12,$ умножая на вероятности шага в каждую сторону. Почему сумма вероятностей будет равна единице?

Ответ:

$11 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#45523Максимум баллов за задание: 7

Игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого отмечено от одного до шести очков. Петя случайным образом бросает на стол три игральных кости одновременно и считает сумму числа очков, выпавших на всех костях. Каждое значение $s$ этой суммы, расположенное от $3$ до $18,$ может появится с определенной вероятностью. Найти $s,$ при котором эта вероятность максимально возможная.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, воспользуемся приемом дополнения. Вероятность получить сумму s у нас такая же, как получить какую вероятность?

Подсказка 2!

Правильно, 21 - s, так как если вместо числа s выпадет число 7 - s, сумма будет ровно нужная. То есть можно рассмотреть только значения от 3 до 10!

Подсказка 3!

Интуитивно кажется, что наибольшее количество троек x1,x2,x3 соответствует максимальному S (его больше возможностей разбить на слагаемые), попробуйте разобраться с этим и обосновать!

Показать ответ и решение

Заметим, что вероятность получить значение $s$ такая же, как и вероятность получить значение $21− s,$ ведь соответствующие исходы для $s$ и $21− s$ можно разделить соответственно на пары троек $(a1,a2,a3)< − >(7− a1,7− a2,7 − a3),$ где $ai$ — число, выпавшее на $i$ -ом кубике, и $a1+a2+ a3 = s.$ Поэтому рассмотрим значения $s$ в пределах от $3$ до $10,$ а для $21− s$ вероятность будет такая же.

Итак, нужно понять, какому $s$ соответствует большее число троек $(a1,a2,a3),$ таких что $a1+ a2+ a3 =s,ai ∈{1;2;3;4;5;6}.$

Поставим в ряд $s$ шаров, между ними будет $s− 1$ позиций, куда мы будем ставить перегородки (на одну и ту же позицию ставить перегородки не разрешается). Количество шаров между перегородками и будет соответстовать $a1,a2,a3.$

Количество способов поставить перегородки равно $2 (s−1)(s−2) Cs−1 =---2----$ (возрастающая функция от $s$ ).

При $s= 9$ при подсчёте мы получим $3$ различные перестановок тройки $(1;1;7),$ которые не соответствуют условию $ai ≤ 6$ . При $s= 10$ получим $3$ различные перестановки тройки $(1;1;8)$ и $3!= 6$ перестановок тройки $(1;2;7),$ которые не соответствуют условию $ai ≤ 6.$

Итак, подходящих троек при $s≤ 8$ будет $(s−1)(s−2) ---2----≤ 7⋅26= 21.$ при $s= 9$ их $8⋅27− 3= 25,$ при $s=10$ их $9⋅82 − 3− 6= 27.$

Наибольшая вероятность $2673$ достигается при $s= 10$ и $s=21− 10= 11.$

Ответ:

$s= 10,s =11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#78842Максимум баллов за задание: 7

Из множества 1, 2, …, 10 выбираются равновероятно три числа (возможно одинаковых). Какова вероятность того, что сумма этих чисел равна 10?

Источники: Иннополис-2017, отборочный тур, 11 класс (см. olymp.innopolis.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала запишем условие в виде равенства, то есть у нас получится x+y+z=10 для каких-то чисел от 1 до 10. Давайте если не сталкивались с такой идеей, попробуем до неё дойти сами. Представим число 10 так, что как будто у нас есть 10 шаров. Что нам надо будет сделать тогда с ними, чтобы наше равенство было верным?

Подсказка 2

Верно, нужно как-то разделить шары на три кучки — это будет равносильно нашему равенству. Понятно, что в каждой кучке должен быть хотя бы один шар. Допустим, мы выложили шары в ряд и делим на кучки перегородками. Сколько тогда есть в принципе вариантов разбить на кучки?

Подсказка 3

Да, нам нужно из девяти мест, которые есть между шарами, выбрать два. И это будут как раз те варианты, когда наше равенство верно. Теперь осталось только посчитать общее число вариантов и найти вероятность. Победа!

Показать ответ и решение

Нужно найти, сколькими способами можно решить уравнение

x1+ x2+x3 =10

где $x1,x2,x3 ∈ 1,2 ...,10$

Выпишем в ряд десять единиц и поставим между ними две перегородки (в разные места). Тогда $x1$ это число единиц до левой перегородки, $x2$ — между левой и правой, $x3$ — после правой. Так как единиц всего $10$ , то $x1 +x2+ x3 = 10$ . Заметим, что мест для расположения перегородок всего $9$ , а нам нужно выбрать только $2$ . Поэтому число решений уравнения равно $C2 = 36. 9$ Всего есть $103$ способов выбрать $3$ числа из $10$ . Значит итоговая вероятность равна $-36-. 103$

Ответ: 0.036

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#100254Максимум баллов за задание: 7

Случайно выбранное шестизначное целое положительное число оканчивается на $32.$ Найти вероятность того, что оно делится на $14.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы как-то упростить себе жизнь, для начала надо понять какими свойствами обладает число такого вида. Запишите свойства в виде уравнений.

Подсказка 2

Первое свойство: число оканчивается на 32. Второе свойство: число делится на 14, но давайте скажем ещё, что оно оканчивается на 2.

Подсказка 3

A=14(5k+3)=100m+32. Составьте диофантово уравнение и решите его!

Подсказка 4

Выходит, что A=700t+532, теперь осталось сформулировать условие на вероятность выпадения чисел, делящихся на 14.

Показать ответ и решение

Всякое целое число $A$ , делящееся на 14 и оканчивающееся на 2, имеет вид

A = 14(5k+ 3),k≥ 0,k ∈Z.

Если оно оканчивается на 32 , то его можно представить в виде

A= 100m + 32,m ≥ 0,m ∈ Z.

Объединяя два этих условия, приходим к уравнению

100m +32 =70k+ 42

10m − 7k = 1

Его общее решение ${ m =5 +7t ,t≥0,t∈Z k= 7+ 10t$ . Тогда выбранное число, оканчивающееся на 32 и делящееся на 14, имеет вид $A = 700t+ 532$ . Количество таких шестизначных таких чисел определяется неравенством

100000≤ 700t+ 532 ≤999999

t∈ {143,144,...,1427}

Всего 1285 чисел (число благоприятных событий). Общее число шестизначных чисел, оканчивающихся на 32 равно 9000 (общее число опытов). Поэтому искомая вероятность

1285 257 P(A)= 9000-= 1800-

Ответ:

$1285 9000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#46108Максимум баллов за задание: 7

Вершины куба случайным образом покрашены в два цвета, причем четыре вершины в желтый цвет, а остальные четыре – в зеленый. Петя, не обращая внимания на раскраску вершин, бросает кубик на стол. Найти вероятность того, что все вершины, оказавшиеся на плоскости стола, будут желтыми.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что у нас невсегда вообще есть желтая грань! То есть на самом деле мы хотим подсчитать вероятность того, что желтая грань упаден на плоскость стола при ее условии ее существования.

Подсказка 2!

Вспоминаем формулу условной вероятности!

Показать ответ и решение

Всего способов покрасить $8$ вершин кубика в $2$ цвета, то есть разделить на две группы по $4$ вершины, имеется $C4 =70 8$ штук.

Из них есть $6$ , когда жёлтые вершины окажутся в плоскости одной грани (потому что всего граней $6$ ). Так что вероятность того, что в кубе окажется "жёлтая"грань равна $-6 70.$

При этом вероятность попадания нужной "жёлтой"грани (при условии того, что она есть) равна $1 6$ . Откуда по формуле условной вероятности искомая вероятность равна $6- 1 70 ⋅6$ .

Ответ:

$-1 70$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#106509Максимум баллов за задание: 7

Муха ползёт из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо. Найдите вероятность того, что в какой-то момент муха окажется в точке $(8;10),$ по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6).$

Источники: Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике, 2011, 9

Показать ответ и решение

Муха может достичь точки $(8;10)$ ровно за 18 шагов. Общее число возможных путей, состоящих из 18 шагов, равно $218$ .

Число путей, приводящих в точку $(5;6)$ , равно $5 C11.$ В точку $(6;6)$ из точки $(5;6)$ ведёт только один путь. Затем муха должна пройти из точки $(6;6)$ в точку $(8;10),$ и здесь у неё $2 C 6$ возможных путей. Значит, общее число путей, удовлетворяющих условию задачи, равно $5 2 C11⋅C6$ . Следовательно, вероятность попасть в точку $(8;10)$ , по дороге пройдя точки $(5;6)$ и $(6;6),$ равна

C5 ⋅C2 11!⋅6! 11⋅10⋅9⋅4⋅7 103⋅28 -11218-6 =5!⋅6!⋅4!⋅2!⋅218 =----220----≈ -106--≈ 0,03.

Ответ:

$C511⋅C26 218$