Упорядочивание

(a) Достаточно найти несколько чисел, которые в сумме равны Упорядочим числа в порядке возрастания. Рассмотрим сумму, я сумма равна сумме наименьших чисел. Если какая-то из них делится на то она равна и задача решена, потому что эти суммы меньше Если же никакая не делится, то найдутся две суммы с одинаковыми остатками при делении на потому что без остатков Рассмотрим разность этих сумм, она делится на а значит равна Снова получили требуемое.

(b) По условию не все числа равны Отсюда следует, что хотя бы одно число равно Действительно, если все числа не меньше и хотя бы одно число строго больше, то сумма будет строго больше

Достаточно найти несколько чисел, которые в сумме равны Занумеруем числа индексами от до так, что и рассмотрим сумму, где я сумма равна сумме первых чисел. Если какая-то из сумм делится на то она равна и задача решена. Пусть никакая из сумм не делится. Если какие-то две суммы дают одинаковые остатки при делении на то их разность делится на то есть равна что также даёт требуемое. Пусть теперь все суммы дают различные остатки, то есть среди них в каком-то порядке встречаются все остатки от до Возьмём сумму с остатком В силу упорядочивания она не равна Значит, она содержит Вычтем из неё и получим сумму некоторых чисел, кратную то есть равную