Раскраски

Первое решение.

Предположим противное и покрасим доску в горошек:

Заметим, что один прямоугольник покрывает либо либо черных клеток, то есть четное количество. Значит, прямоугольники покроют четное число черных клеток. Но в указанной раскраске их штук, значит, покрыть все черные клетки по одному разу невозможно.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Предположим противное и покрасим доску матрасиком:

Горизонтальные прямоугольники занимают две белые и две черные клетки. А вертикальные могут занимать либо белых, либо черных клетки. Так как всего черных и белых клеток поровну, то и черных прямоугольников будет столько же, сколько и белых. Таким образом, вертикально расположенных прямоугольников на доске четное количество.

Перекрасим доску в горизонтальные полоски. Рассуждая аналогично, получим, что количество горизонтально расположенных прямоугольников тоже чётно. Таким образом, общее число всех прямоугольников на доске — четно. Но, если бы можно было разрезать доску на прямоугольники то прямоугольников должно было быть штук. Но — нечетное. Получили противоречие, значит, доску нельзя разрезать на прямоугольники

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Разделим доску на квадраты размером и раскрасим их в черно-белые цвета в шахматном порядке:

Видно, что белых клеток на больше. Прямоугольник занимает на доске две белые и две черные клетки. Если нам удастся разрезать квадрат на прямоугольники то цветов должно быть поровну, но у нас белых клеток больше — противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Четвёртое решение.

Предположим противное и покрасим доску диагонально в цвета:

Тогда любой прямоугольник покрывает ровно по клетке каждого цвета. Если нам удастся разрезать квадрат на прямоугольники, то всех цветов на доске будет поровну. Легко сосчитать, что клеток второго цвета а четвертого а должно было быть поровну — противоречие.