Раскраски

Предположим, что существует такая расстановка чисел, что оба червяка доберутся до противоположного углового кубика. Пусть числа, стоящие в начальном и конечном угловых кубиках равны и соответственно. Можно считать, что Заметим, что числа и отличаются по крайней мере на так как второй червяк сделал хотя бы ходов (как минимум по в каждом из трех направлений). Также можно считать, что каждый червяк не заползает в каждый кубик больше одного раза (иначе путь от этого кубика до него же можно опустить). Тогда первый червяк должен последовательно проползти через кубики с числами Второй должен последовательно проползти через кубики с числами Рассмотрим теперь шахматную раскраску нашего куба. Можно считать, что кубик с числом покрашен в черный цвет. Заметим, что соседние по грани кубики должны иметь разные цвета. Это означает, что кубики с числами должны быть покрашены в черный цвет (следует из пути -ого червы), а кубики должны быть покрашены в белый цвет (следует из пути -ого червя). То есть кубик с числом должен быть покрашен и в черный, и в белый цвета. Полученное противоречие завершает доказательство.