Двойной подсчёт

Расставим веса детям так, что если между ребёнком и Витей стоит промежутков между детьми (берём минимальное из расстояний), то его вес равен Пусть вес печеньки равен весу ребёнка, у которого она находится. Заметим, что наша операция не увеличивает сумму весов печенек. Пусть наиболее удалённого от Вити ребёнка зовут Никита.

Пусть Тогда рассмотрим ситуацию, где все печеньки находятся у Никиты. Его вес равен 1. Тогда сумма весов печенек меньше и если бы в процессе печенька появилась у Вити, то сумма весов стала бы не меньше Отсюда получаем противоречие. Значит, не подходит.

Докажем, что подойдёт. Рассмотрим любое распределение печенек. Пусть у Никиты печенек, тогда в одной из половин, на которые Никита и Витя делят круг, находится не менее печенек. Их общий вес не меньше откуда общий вес печенек в этой половине с Никитой не меньше Запустим процесс: пусть если у кого-то из них хотя бы 2 печеньки, то он отдаёт одну по направлению к Вите и одну съедает. Тогда сумма весов печенек не изменяется. Процесс конечен и если печеньки у Вити не появилось, то сумма весов стала не больше

что меньше изначальной суммы весов у этих людей, откуда и получаем противоречие.