Двойной подсчёт
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В классе 
мальчиков и 
девочек (
Они расселись за круглым столом так, что никакие два мальчика и никакие две девочки не
сидят рядом. У учителя есть 
карточек, на них написаны числа 
каждое по одному разу. Он так раздал каждому
школьнику по одной карточке, что число у любой девочки больше числа у любого мальчика. Затем каждая девочка написала на листочке
сумму чисел на трех карточках: ее собственной и сидящих рядом с ней мальчиков. При каких 
все полученные 
чисел могли оказаться
равными?
Источники:
Подсказка 1
По условию понятно, что у мальчиков карточки от 1 до n, а у девочек - от n+1 до 2n. Вот пусть у девочек все суммы вышли равными какому-то m. Тогда можно ли понять, чему равно m?
Подсказка 2
Например, сумма всех чисел, полученных у девочек, будет равна mn. А с другой стороны, это сумма чисел девочек + удвоенная сумма чисел мальчиков) Посчитайте, чему тогда будет равно m.
Подсказка 3
Выйдет, что m = 2n+1 + (n+1)/2, откуда уже понятно, что n - нечетное. Можно ли для любого нечетного n подобрать пример?
Подсказка 4
Можно) Но нужно понять как. Может быть, можно как-то раздать мальчикам карты хорошо, а после по карточкам мальчиков понять, какие у каждой девочки должны быть карты?
По условию мальчики получили карточки с числами от 1 до 
а девочки карточки с числами от 
до 
Предположим, что у всех
девочек на листочках оказалось написано число 
Тогда сумма всех чисел на листочках равна 
с другой стороны она может быть
получена следующим образом: надо сложить все числа, которые есть у девочек и добавить к ним удвоенную сумму всех чисел, которые есть
у мальчиков.
Следовательно,
Стало быть, 
и 
— нечетно. Пусть 
тогда 
Для примера надо последовательно раздать
карточки мальчикам от 1 до 
идя через одного. Если теперь для каждой девочки посмотреть на сумму чисел, на карточках соседних
с ней мальчиков, то по одному разу получатся все суммы от 
до 
Дальше нужно дополнить их числами от 
до 
(раздав соответствующие карточки девочкам) так, чтобы все суммы стали равны 
Пример раздачи карточек для 
и 
показан на рисунке.
при нечетных 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
