Двойной подсчёт

Пусть — количество людей в парламенте, — количество общих комитетов для любой пары парламентёров, а в каждом комитете по человек.

Зафиксируем одного из людей парламента (назовем его Фёдор). Рассмотрим для Фёдора всевозможные пары из человека и комитета такие, что этот человек и Фёдор находятся в одном комитете. С одной стороны, количество таких пар равно (с каждым из оставшихся человеком Фёдор имеет общих комитета). С другой, оно равно (в каждом из комитетов имеется оставшихся парламентёров), где — количество комитетов, в которых состоит Фёдор. Получаем, что Откуда следует, что Но заметим, что для любого другого парламентёра, проведя аналогичные рассуждения, получим то же самое число в правой части. Значит константное для любого парламентёра.