Двойной подсчёт

Сопоставим каждому числу в таблице пару весов где  — количество таких же чисел в одной строке с выбранным (включая его), а  — количество таких же чисел в одном столбце с ним. Назовем полным весом числа из таблицы сумму двух его весов. Для каждого оценим снизу сумму полных весов чисел, равных Пусть такие числа входят в строк и столбцов. Заметим, что тогда числа, равные могут стоять только в пересечении таких строк и столбцов, откуда Заметим, что в каждой строке из сумма первых весов чисел, равных равна Аналогично со вторыми весами и столбцами. Тогда вся сумма полных весов равна

Если теперь просуммировать полученные неравенства по всем то получим, что сумма полных весов всех чисел в таблице не меньше По принципу Дирихле либо сумма первых весов не меньше либо сумма вторых весов не меньше Не нарушая общности, пусть верно первое предположение. Тогда в какой-то строчке сумма первых весов чисел не меньше Но с другой стороны легко видеть, что сумма первых весов одной строчки равно количеству различных чисел в этой строчке, то есть в найденной строке не менее различных чисел.