Чётность
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Роза раскладывает по одной монете в каждую клетку таблицы 
орлом вверх. Ход состоит в том, чтобы выбрать монету и
перевернуть все монеты, находящиеся рядом с выбранной. Например, если выбрана центральная монета, тогда четыре монеты в ячейках
сверху, снизу, слева и справа от него переворачивались бы. Возможно ли, что после серии ходов все монеты окажутся орлом
вниз?
Подсказка 1:
Попробуйте применить соображения, связанные с чётностью.
Подсказка 2:
Хорошей идеей будет рассмотреть некоторое не слишком большое множество клеток, на положение монет в котором можно повлиять также из небольшого числа клеток.
Подсказка 3:
Как насчет того, чтобы рассмотреть главную диагональ? Ведь на неё влияют только клетки соседних диагоналей.
Подсказка 4:
Тут стоит рассуждать в лоб. Пусть клетки диагонали, примыкающей к главной сверху, были выбраны для хода соотвественно x₁, x₂, ..., x₂₀₂₂ раз. Аналогичные обозначения введём для нижней диагонали, но с переменной y. Посчитайте количество переворотов монеты на каждой клетке главной диагонали и поработайте с их чётностью.
Предположим, что так могло произойти. Рассмотрим монеты на главной диагонали. Заметим, что на них могли повлиять только монеты с
соседних диагоналей, будем называть их верней и нижней диагоналями. Тогда пусть мы выбирали первую монету на верхней диагонали 
раз, вторую — 
и так далее до 
Аналогично для нижней диагонали введём 
Все клетки главной диагонали попали
под действие ходов нечётное число раз. Тогда для первой клетки получаем 
нечётно. Для второй клетки 
также
нечётно, что означает чётность 
Аналогично получаем 
нечётно, и так далее. Значит, 
чётно,
откуда получаем противоречие для последней клетки главной диагонали. Значит, такой последовательности ходов быть не
могло.
нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
