Чётность

Пусть в турнире участвовали игроков. Они должны были сыграть партий, из них партий сыграли друг с другом невыбывшие игроки. По условию

откуда или 9.

В обоих случаях число несостоявшихся партий нечётно. Ещё из условия следует, что у выбывших осталось не сыграно по одинаковому числу партий. Сумма этих чисел чётна, значит, не равна общему числу несостоявшихся партий. Такое возможно в единственном случае: когда партия между выбывшими учитывается в сумме дважды. Значит, выбывшие не играли между собой.

Среди пяти чисел в сумме точно есть одно чётное, так как если все числа нечётные, то и их сумма нечётная, а чётное. Значит, есть одно чётное число, а нечётное. Такого быть не может.

Рассмотрим любой квадратик в нашем квадрате. Изначально все клетки в нем белые. Заметим, что любая операция внутри нашего маленького квадрата не меняет четность количества белых клеток. Действительно, либо операция никак не изменяет наш квадрат, либо меняет цвета только клеток. Если эти клетки белого цвета, тогда количество белых клеток в квадратике уменьшилось на (но четность не поменялась), если обе клетки чёрные, то количество белых клеток в квадратике увеличилось на (но четность опять не поменялась), если же клетки были разных цветов, то количество белых клеток в квадратике просто не поменяется. Итого, в любом квадратике будет четное число белых клеток, если изначально их там так же было четно. Но в квадрате который мы хотим получить, угловой квадратик имеет нечетное количество белых клеток. Противоречие.

Рассмотрим все понедельники в году. Каждый из сотрудников отдыхал ровно в одном из них. Значит, суммарно в понедельники отдыхали человек. Но ведь найдётся понедельник, в который отдыхало нечётное количество человек. Аналогично с остальными днями недели.

Предположим, что такого человека нет. Значит, рядом с каждым стоит ровно по одному северянину. Будем обозначать за Х не северянина. Тогда рядом с каждым Х стоит один Х и один С(северянин). Получается, Х разбиваются на изолированные пары: СХХС. Всего Х что нечётно. Значит, такой ситуации быть не может.

Пусть в каждом кармане было по монет, а орлов выпало , тогда решек выпало . Их разность: — чётное число и не может равняться 7.

Если произведение 4 натуральных чисел нечетно, то все эти 4 числа обязательно нечетны. Но сумма 4 нечетных чисел четна, значит, Совунья не права.

Покрасим четные числа в красный цвет, а нечетные в синий. Так как по кругу стоят 11 чисел, то красные и синие числа не могут чередоваться, то есть идти в порядке …К-С-К-С…. Это значит, что найдутся два одноцветных рядом стоящих числа, то есть два соседних числа одной четности. Тогда их сумма четна, и Бараш сможет указать именно эти два числа.

Если бы так случилось, что количества испачканных краской клеток и неиспачканных отличаются на 9, то эти количества были бы разной четности. Тогда их сумма нечетна. Но их сумма равна общему числу клеток на шахматной доске, то есть равна 64 — четному числу, чего быть не может. (Как будто бы не может быть что 64 - четное число) Значит, такого быть не могло.

Будем решать задачу от противного. Рассмотрим разложение чисел на простые множители, представив каждое число в виде . Посмотрим, что происходит при переходе от одного числа к другому. У нас либо добавляется, либо пропадает один простой множитель, либо одна из изменяется на 1. В любом случае сумма изменяется на 1, то есть меняет чётность. Значит, чётность этой суммы должна чередоваться — но это невозможно, если чисел всего 2021, то есть нечётное количество.

Из условия следует, что зелёные дарили кактусы фиолетовым, а фиолетовые — зелёным. Так как общее количество человечков нечетно, то какого-то вида больше, чем другого. Допустим, что зелёных больше, тогда какому-то зелёному человечку кактуса не досталось.

Если бы такие три числа существовали, по крайней мере два из них имели бы одинаковую четность. Предположим, что это пара чисел и . Тогда сумма четная, а значит, четным должно быть и произведение Число же которому это произведение должно равняться, — нечетное. Полученное противоречие показывает, что целых чисел, удовлетворяющих условию, не существует.

Предположим, что так удастся расставить школьников.

Рассмотрим школьников на чётных позициях. Заметим, что среди них нет двух подряд девочек, откуда получаем, что на чётных позициях не более половины девочек. Аналогично на нечётных позициях не более половины девочек, а значит девочек не более 30.

Противоречие.

Так как каждой черной фишке соответствует диаметрально противоположная белая фишка и никакие две белые не стоят рядом, то фишки должны чередоваться, и значит, белых фишек тоже Получается, что всего фишек а на полуокружности между черной и белой фишкой стоит фишка, поэтому крайние из них одноцветны, следовательно, расстановка невозможна.

Очевидно, хотя бы одно четное число Алиса расставила. Если на круге есть хотя бы два чётных числа, то можно разделить круг на два полукруга так, чтобы в каждом полукруге было хотя бы одно чётное число, и тогда произведение чисел в каждом окажется чётных, что противоречит условию.

Заметим, что у каждого ребенка в наборе есть буквы K, О и P, так как в данных словах эти буквы встречаются дважды, а у одного ребенка буквы не повторяются. Буквы, из которых составлялись слова, помимо и -Л, Т и H , каждая использована по одному разу. Значит, всего было использовано карточек, а у двух малышей карточек в сумме четное количество. Значит, хотя бы одна карточка не использована.

Заметим, что всего пар соседних клеток из разных домино штук. В каждой из них должно быть хотя бы одно нечетное число. Но нечетных чисел всего по единиц, троек и пятерок.

Посмотрим на два оставшихся числа. Так как сумму всех чисел от до Аня знает, то два оставшихся числа таковы, что по их произведению также нельзя определить четность их суммы. Поэтому их произведение можно представить как причем и разной четности, а и одной. Тогда и — четные, поэтому четное из чисел и равно Далее все восстанавливается однозначно, и получаются числа и или и Тогда произведение пяти чисел будет равно

Первое решение.

Обозначим детей, давших ответы через А, Б, В соответственно. Заметим, что если в классе мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет ту же чётность, что и , а в ответах мальчиков - противоположную. Следовательно, дети А и Б одного пола, а В - другого.

Первые числа в ответах А и Б отличаются на 4, значит, они оба неправильные. Таким образом, количество одноклассников у А и Б равно 15 , а количество одноклассниц - 11 .

Если А и Б - мальчики, то в классе 16 мальчиков и 11 девочек. При этом у девочки В тогда 16 одноклассников и 10 одноклассниц, и ее ответ противоречит условию. Значит, А и Б девочки, и в классе 15 мальчиков и 12 девочек. ______________________

Второе решение.

Пусть какой-то ребёнок написал числа . Если бы оба числа он написал правильно, то он бы написал один из четырёх вариантов: .

Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то существует четыре варианта количества мальчиков и девочек в классе: и .

Аналогично, если этот ребёнок — девочка; возможные варианты в этом случае: .

Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло быть в классе, один из которых должен быть верным:

для это ;

для это ;

для это .

Осталось заметить, что только вариант встречается во всех трёх строчках.

Назовем группой экономистов несколько (возможно, одного) экономиста, сидящих подряд, слева и справа от которых сидят представители других профессий. При этом если нет менеджера или бухгалтера, рядом с которым сидят два экономиста, то каждый человек поднял руку не более одного раза, а тогда общее количество поднявших руку людей равно удвоенному количеству групп, т.е. четно. А по условию их Противоречие.