Тема АЛГЕБРА

Геометрия помогает алгебре → .04 Увидеть векторы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Геометрия помогает алгебре

Задачи на движение: графический подход

Увидеть расстояние между точками

Увидеть треугольник

Увидеть векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104695

Решите систему уравнений

(| 1- 1- 4- |||{ x2 + y2 + z2 = 9 | x2+ 9y2 +z2 = 4 |||( √ - √- 2 3x − 6y+ 3z = 2

Источники: ОММО - 2025, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на два первых уравнения. Это же просто суммы квадратов каких-то чисел. Почему бы не применить к ним какие-то рассуждения связанные с координатами?

Подсказка 2

Давайте рассмотрим векторы с координатами (1/x, 1/y, 1/z) и (x, 3y, z). Что мы про них знаем, исходя из первых двух уравнений?

Подсказка 3

Очевидно, нам известны их длины. Но также можно посчитать их скалярное произведение. Что можно сказать про их взаимное расположение?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что в левых частях первых двух уравнений — суммы квадратов. Так можно записать квадраты длин векторов

( 1 1 2) a= x,y,z и b =(x,3y,z).

Согласно условию, $|a|= 3,|b|=2$ . Заметим, что скалярное произведение векторов $a$ и $b$ равно

(a,b)= 1⋅x+ 1 ⋅3y + 1 ⋅z = 6 x y z

что совпадает с $|a|⋅|b|$ , а значит, вектора коллинеарны, причём $a= 3b 2$ . Поэтому

(|| 1 = 3⋅x (|| x =± √√2 { x1 = 29⋅y ⇐⇒ { y =± √32 ||( y2 = 23⋅z ||( z = ± 32√ z 2 3

Подставим эти значения в третье уравнение (выбор знака перед каждым слагаемым независим):

√- √- ±2 2 ∓2 2 ±3= 3

Равенство возможно только в двух случаях: $( √- √- ) √23,32, 2√3$ или $( √- √- ) −√23,− -23 ,√23$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Умножим на 4 и 9 первое и второе равенство в системе соответственно и сложим их:

( ) ( ) ( ) 9x2+ 4- + 81y2 +-4 + 9z2+ 16 = 72 x2 y2 z2

По неравенству о средних получаем, что

(| 2 -4 ||||| 9x + x2 ≥12 |{ 2 4- ||| 81y + y2 ≥ 36 ||||( 2 16 9z + z2 ≥ 24

Тогда

( 2 4 ) ( 2 4) ( 2 16) 9x + x2 + 81y + y2- + 9z +z2 ≥ 72

Следовательно, равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждом из неравенств выполняется равенство, то есть

(|| ( 2)2 ||||| 3x − x = 0 ||{ ( 2)2 || 9y − y = 0 ||||| ( )2 ||( 3z − 4 = 0 z

Откуда получаем

- (|| √6- ||||| x =± 3 |{ √2- ||| y =± 3 ||||| 2√3 ( z =± 3

Подставим полученные значения в третье уравнение:

√- √- ±2 2 ∓2 2 ±2= 2

Чтобы избавиться от иррациональности слева необходимо чтобы $x$ и $y$ были одного знака, а равенство превращается в тождество при $2√3- z =--3 .$ Таким образом, получаем 2 решения: $( √6 √2 2√3-) -3 ;-3-;-3$ и $( √6 √2 2√3) −-3-;− -3 ;-3$

Ответ:

$(√6 √2- 2√3) ( √6 √2 2√3) -3 ;-3-;-3 , − -3 ;− 3-;-3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83742

Даны числа $x,y,z$ такие, что

x 4 6 4 + sin y+ ln z = 16

Докажите, что

x+1 2 3 2 + 3sin y− 6ln z ≤ 28

Источники: Звезда - 2024, 11.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тригонометрия, логарифм и показательная функция в одном месте — вряд ли мы здесь обойдёмся банальными преобразованиями. Видно только, что первое выражение, равное 16, — сумма трёх квадратов каких-то величин, а во втором выражении стоят похожие величины, но без квадратов. Какие есть неравенства, связывающие такие суммы?

Подсказка 2

Неравенство Коваля-Белова-Шурыгина! Ой, то есть Коши-Буняковского-Шварца) Ну то самое про квадрат суммы и сумму квадратов. Говоря по простому, это факт, что скалярное произведение не больше произведения длин (это же и так понятно, да?..) Давайте соорудим векторы с нужными координатами!

Подсказка 3

Компоненты первого вектора — величины, сумма квадратов которых равна 16. А второй вектор нужно подобрать так, чтобы их скалярное произведение выглядело как то выражение, которое не должно превосходить 28. Пробуйте!

Показать доказательство

Используем неравенство КБШ в векторном виде. Рассмотрим векторы $⃗a= (2x;sin2y;ln3z)$ и $⃗b= (2;3;−6).$ Скалярное произведение

x+1 2 3 ⃗a ⋅⃗b =2 + 3sin y− 6ln z ≤ |⃗a|⋅|⃗b|

Имеем

⃗ √-------- |b|= 4+ 9+ 36 =7

|⃗a|= ∘4x+-sin4y+-ln6z =4

Тогда получаем, что

2x+1+ 3sin2y− 6ln3z ≤ 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#121981

Дано 8 действительных чисел: $a,b,c,d,e,f,g,h.$ Докажите, что хотя бы одно из $6$ чисел $ac+ bd,ae+bf,ag +bh,ce+ df,cg+ dh,eg+ fh$ неотрицательно.

Показать доказательство

$PIC$

Рассмотрим векторы на плоскости:

u =(a,b), v =(c,d), w-=(e,f), z =(g,h).

Заданные выражения соответствуют скалярным произведениям:

u ⋅v =ac+ bd, u⋅w-=ac+ bf, u⋅z = ag+ bh,

- -- - - -- - v⋅w = ce+ df, v⋅z = cg+dh, w ⋅z = eg+fh.

Предположим, что все эти скалярные произведения отрицательны. Тогда:

- - - -- - - u⋅v < 0, u⋅w < 0, u⋅z < 0,

v⋅w-<0, v ⋅z <0, w⋅z < 0.

Рассмотрим вектор $- u.$ Из $- - u ⋅v < 0,$ $- -- u⋅w <0,$ $- - u⋅z < 0$ следует, что $- u$ образует тупые углы с $- v,$ $-- w,$ $- z.$ Аналогично, $- v$ образует тупые углы с $-- w$ и $- z,$ а $-- w$ — с $- z.$

Однако на плоскости невозможно разместить четыре вектора так, чтобы каждые два из них образовывали тупой угол. Следовательно, исходное предположение неверно. Хотя бы одно из скалярных произведений неотрицательно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63951

Найдите наименьшее значение функции

∘ --2------- ∘--2------- f(x)= 2x + 2x +13+ 2x + 8x+ 26.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, эту задачу можно решить с помощью производной… Но давайте попробуем найти более красивое решение! Давайте подумаем, нам нужно найти минимальное значение суммы двух корней, а что мы знаем про корни и как тогда можно представить их?

Подсказка 2

Да, корни всегда положительны! Поэтому мы можем представить их как отрезок или же вектор на плоскости! То есть, корень – это длина нашего вектора! В таком случае, каких векторы можно взять(с какими координатами), чтобы длина первого равнялась первому корню, а длина второго равнялась второму корню?

Подсказка 3

Так, длина вектора – это корень из суммы квадратов его координат! Первое подкоренное выражение обращается в ноль при x=-3 и при x=2, а второе при x=1 и при x=-5. Поэтому первый вектор равен (x+3;2-x), а второй вектор: (1-x)(x+5). Что можно сказать про сумму этих векторов?

Подсказа 4

Да, сумма этих векторов равна другому вектору: (4; 7). А длина этого вектора равна √65. Но заметим, что сумма длин исходных векторов не меньше чем длина получившегося вектора! Осталось показать, что минимальное значение достигается и задача решена!

Показать ответ и решение

Рассмотрим векторы

⃗ ⃗ ⃗a= (x +3;2− x),b= (1− x;x+ 5) и⃗s= ⃗a+ b= (4;7)

Так как

∘ -2-------- ⃗ ∘ --2------- |⃗a|= 2x + 2x+ 13, |b|= 2x + 8x +26

то

f(x)= |⃗a|+|⃗b|≥|⃗a+⃗b|= |⃗s|= √65

Равенство $|⃗a|+|⃗b|= |⃗a +⃗b|$ выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения $x$ является корнем уравнения $x1+−3x = 2−xx+5$ и равно $− 1311-$ .

Ответ:

$√65$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71015

Найдите максимальное значение величины $x2+ y2 +z2,$ если известно, что

2 2 2 x +y + z = 3x+8y+ z.

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает сумма квадратов?)

Подсказка 2

На квадрат длины вектора! Введем декартову систему координат. С левой части мы разобрались - это квадрат длины вектора (x, y, z). А чем является правая часть?)

Подсказка 3

Правая часть - это скалярное произведение векторов a = (x, y, z) и c = (3, 8, 1). Теперь правую часть можно оценить сверху с помощью длин сомножителей, осталось лишь сделать вывод) Помним, что вектор c - фиксированный!

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат и рассмотрим произвольный вектор $a$ с координатами $(x,y,z)$ и фиксированный вектор $c$ с координатами $(3,8,1)$ . Тогда левая часть условия представляет собой квадрат длины вектора $a,$ а правая — скалярное произведение векторов $a$ и $c :$

2 |a|= (a,c)

Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем

2 |a| ≤|a|⋅|c|⇔ |a|≤ |c|

Как известно, равенство возможно, а достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при $a = c.$

Подставляя значения, получаем $32+ 82 +11 = 74.$

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#73449

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

2 2 2 a +b + c =1

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+ bc√3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно получить оценку? Через производную не получится. Какие ещё варианты есть?

Подсказка 2

Давайте решим через векторы. Пусть |х| = √(а² + с²), |у| = b и 2·х·у = аb + bc√3. Какие векторы х и у выбрать?

Подсказка 3

х = (а, с), у = (b/2, √3b/2). Тогда нам нужно максимизировать 2· x⋅y. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Вспомним, что x⋅y = |x|⋅|y|⋅cos(θ), где θ - угол между векторами. Косинус ≤ 1. Тогда x⋅y ≤ |x|⋅|y|. Как тогда можно оценить правую часть?

Подсказка 5

По неравенству о средних! Сумму длин векторов x и у мы знаем. Тогда ab + bc√3 ≤ 1. Когда достигается равенство в неравенстве о средних?

Подсказка 6

Когда векторы х и у равны! Далее не трудно подобрать, чему равны a, b и c. Проверим, что они подходят.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По неравенству о средних

2 b2 √- 3b2 2 ab≤ a + 4 , 3bc ≤-4-+ c,

то есть

√ - ab+ 3bc≤ a2+ b2 +c2 = 1.

Равенство достигается при

2 b2 3b2 2 a = 4 ,-4-=c .

Подставляя это в равенство из условия, получим конкретные

√ - √- √- a =--2,b= -2,c= -6. 4 2 4

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из условия имеем

( |||{a2+ b2+ c2 = 1 a,b,c> 0 |||( √- ab+bc 3→ max

Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости

1 √3 ⃗x= (a,c);⃗y = (2b,2-b)

Для них выполнено

b2 3b2 1 √- |⃗x|2 = a2+ c2, |⃗y|2 =-4 +-4-= b2, ⃗x⋅⃗y = 2(ab+bc 3)

Тогда условие задачи перепишется как

( |||{|⃗x|2+ |⃗y|2 = 1 2 ⃗x⋅⃗y → max |||( a,b,c> 0

Как известно,

⃗x ⋅⃗y = |⃗x|⋅|⃗y|⋅cos(⃗x;⃗y)≤ |⃗x|⋅|⃗y|

По неравенству о средних $2|⃗x||⃗y|≤ |⃗x|2+|⃗y|2 = 1$

В итоге получается, что

√- ab +bc 3= 2⃗x⋅⃗y ≤ 2|⃗x|⋅|⃗y|≤21 = 1 2

При этом равенство достигается, когда векторы $⃗x,⃗y$ равны. Тогда $√- a= b2,c= -32b$ и $b2 =|⃗y|2 = 12$ . То есть подойдут, например,

√- √- √- a = -2,b= -2,c= -6- 4 2 4

Ответ:

$1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#75238

Даны $8$ ненулевых вещественных чисел $a,a ,...,a . 1 2 8$ Докажите, что по крайней мере одна из шести сумм $a1a3+ a2a4,a1a5+ a2a6,a1a7 +a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+ a4a8,a5a7+ a6a8$ неотрицательна.

Показать доказательство

Пусть векторы $v,v ,v ,v 1 2 3 4$ в прямоугольной системе координат имеют координаты $(a,a ),(a,a ),(a,a ),(a,a ) 1 2 3 4 5 6 7 8$ соответственно. Тогда среди указанных сумм встречаются значения всевозможных скалярных произведений двух векторов из набора $(v1,v2,v3,v4).$

Скалярное произведение двух векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол $α$ между этими векторами является тупым. Таким образом, достаточно показать, что среди любых четырех векторов в двумерном пространстве найдутся два, угол между которыми не превосходит $∘ 90.$

Предположим противное, тогда каждый из направленных углов $∠(v1,v2),∠(v2,v3),∠(v3,v4),∠(v4,v1)$ больше $∘ 90$ (без ограничений общности считаем, что каждый из углов принимает положительное значение). Следовательно, их сумма больше $∘ 360.$ C другой стороны,

∠(v1,v2)+ ∠(v2,v3)+ ∠(v3,v4)+ ∠(v4,v1)=360∘

тем самым получено противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90856

Числа $x ,...,x ,y ,...,y 1 n 1 n$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 x1 +...+ xn+ y1 + ...+yn ≤2.

Найдите максимальное значение выражения

A= (2(x1+ ...+ xn)− y1− ...− yn)⋅(x1+ ...+ xn +2 (y1+ ...+ yn)).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x₁² + ... + xₙ² + y₁² + ... + yₙ² — намёк на многомерную теорему Пифагора, а, значит, на многомерные векторы. Какое же пространство нам нужно рассмотреть и какие векторы?

Подсказка 2

Пространство — R^{2n} и вектор x = (x₁, ..., xₙ, y₁, ..., yₙ). Посмотрите на выражение А в условии и поймите, какие вспомогательные векторы нам понадобятся.

Подсказка 3

Именно! Это вектор a = (2,...2, -1, ..., -1) (двоек и -единиц поровну), а также вектор b = (1, ..., 1, 2, ..., 2) (тоже поровну). Какие-то похожие векторы а и b. Что же про них можно сказать?...

Подсказка 4

Точно! Они ортогональны (докажите это сами). Рассмотрим ещё один произвольный вектор c, который ортогонален a и b. Чем тогда является набор (a, b, c)?

Подсказка 5

Базисом нашего пространства! Тогда как можно представить наш вектор x?

Подсказка 6

Верно! Как линейную комбинацию векторов базиса. То есть x = na + mb + tc, где n,m,t — действительные. Вернёмся к нашему А. Запишем его с учётом наших продвижений...

Подсказка 7

А = <x,a> * <x,b> = (n<a, a> + m<b,a> + t<c, a>)*(n<a, b> + m<b,b> + t<c, b>) = nm|a|²|b|², где <> — скалярное произведение.

Подсказка 8

Самостоятельно докажите, что |x|² ≤ 2, потом сделайте оценку на nm. Тем самым вы сможете получит оценку на А. А что дальше?

Подсказка 9

Построить пример вектора x, когда достигается нужное значение. Небольшая подсказка: вектор не должен быть разнообразным...

Показать ответ и решение

Рассмотрим такие векторы в $ℝn$

x= (x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)

a =(2,2,...,2,− 1,− 1,...,−1)

b =(1,1,...,1,2,2,...,2)

Заметим, что $a⊥b$ . Значит, $x= αa+ βb+ c$ , где $c⊥a,b$ . Тогда

A =< x,a> ⋅<x,b>= α|a|2β|b|2 = 25αβ

Из ортогональности

|x|2 = α2|a|2+ β2|b|2 +|c|2 = 5α2+5β2+ |c|2 =x21 +...+ x2n+ y21 + ...+y2n ≤2

2 2 αβ ≤ a-+2-b-≤ 15

A ≤ 5

Такое значение достигается при $xi = √35n$ и $y = √15n.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77219

Решите уравнение

|| ∘ ---2|| ∘----2 |x+ x 1− x |= 1 +x .

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение: есть в нем какие-то элементы, на которые стоит обратить внимание?

Подсказка 2

Что особенного в модуле и x²? Может быть, они смогут как-то сократить количество х, которые нужно рассмотреть?

Подсказка 3

Какие значения х достаточно рассмотреть, если у нас есть четные функции слева и справа?

Подсказка 4

Раз решаем уравнение, то что стоит записать?

Подсказка 5

Так как взяли для рассмотрения только x≥0, то что можно сделать на ОДЗ?

Подсказка 6

После раскрытия модуля останутся два выражения с корнем. Что обычно делаем в таком случае?

Подсказка 7

Да, стоит возвести в квадрат. Но что можно сделать, чтобы эта операция прошла проще, чем если возводить части уравнения в текущем виде?

Подсказка 8

Перенесли +х вправо, чтобы упростить конструкцию, и возвели в квадрат. Но корень все еще остался. Что можно сделать, чтобы избавиться от него окончательно?

Подсказка 9

Да, снова оставить корень с одной стороны, а все остальное перенести в другую. Можно бы было, конечно, после этого честно раскрывать квадраты, но решать уравнения четвертой степени явно не хочется. Может быть, заметите что-то общее между левой и правой частью?

Подсказка 10

Может быть, в выражении справа можно сделать какое-то преобразование, чтобы вышло похоже на выражение слева? И стоит вспомнить, что сумму трех элементов можно представить, как сумму двух.

Подсказка 11

x⁴ + x² = x²(x² + 1). Можно ли с помощью этого как-то объединить левую и правую часть в одно выражение?

Подсказка 12

(a+1)² - 4a = 0. Ничего не напоминает?

Подсказка 13

Выразили как квадрат разности, и теперь осталось простое биквадратное уравнение.

Подсказка 14

Не забудьте, что мы рассматривали только часть допустимых х!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку выражение слева и справа — чётные функции, то достаточно рассмотреть случай $x ≥0.$

Тогда на ОДЗ $x∈ [0;1]$ все преобразования равносильны. А при $x∈∕$ $[0;1]$ решений нет.

∘ ----- ∘ ----- x 1− x2+x = 1+ x2

∘ ----2 ∘----2 x 1− x = 1+ x − x

x2− x4 = 1+2x2− 2x∘1+-x2

2x∘1-+-x2-=x4+ x2+ 1

4x2(1+ x2)=(x2(x2+ 1)+ 1)2

(x2(x2+ 1) − 1)2 = 0

x4+x2− 1= 0.

Решив квадратное относительно $2 x$ уравнение, получим $∘ √5−1- x= 2 .$

Учитывая чётность всех выражений в исходном уравнении $∘√---- x =± --5−21.$

Второе решение.

Используем неравенство Коши–Буняковского(скалярное произведение двух векторов на плоскости не превосходит произведения их длин) для векторов на плоскости вида $√ ----- ( 1− x2,x)$ и $± (x,1)$ . Получим